Исо мэк руководство 98 1995

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ

ГОСТ Р 54500.3—

2011/

Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения

ISO/IEC Guide 98-3:2008 Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)

(IDT)

Издание официальное

Предисловие

Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ «О техническом регулировании», а правила применения национальных стандартов Российской Федерации — ГОСТ Р 1.0-2004 «Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения»

Сведения о стандарте

1    ПОДГОТОВЛЕН Федеральным государственным унитарным предприятием «Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И. Менделеева» (ФГУП «ВНИИМ») и Автономной некоммерческой организацией «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АНО «НИЦ КД») на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4

2    ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК125 «Статистические методы в управлении качеством продукции»

3    УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. № 555-ст

4    Настоящий стандарт идентичен международному документу Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения» [ISO/IEC Guide 98-3:2008 «Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995)»]

5    ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок—в ежемесячно издаваемых информационных указателях «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет

©Стандартинформ, 2012

Настоящий стандарт не может быть полностью или частично воспроизведен, тиражирован и распространен в качестве официального издания без разрешения Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

шить, увеличив число наблюдений. Математическое ожидание (ожидаемое значение) (С.2.9, С.3.1) случайной погрешности равно нулю.

Примечание 1 — Выборочное стандартное отклонение среднего арифметического значения ряда наблюдений (см. 4.2.3) не является случайной погрешностью среднего значения, хотя такое толкование встречается в некоторых публикациях. На самом деле эта величина является мерой неопределенности среднего значения, обусловленной случайными эффектами. Точное значение погрешности среднего значения, обусловленной этими эффектами, не может быть известно.

Примечание 2 — В настоящем Руководстве уделяется большое внимание различию терминов «погрешность» и «неопределенность». Эти слова не являются синонимами, отражают разные понятия, и их не следует путать друг с другом или использовать в неправильном значении.

3.2.3    Систематическую погрешность, также как и случайную, нельзя устранить полностью, но зачастую можно уменьшить. Если систематическая погрешность возникает в результате известного действия влияющей величины на результат измерения (далее — систематического эффекта), то это влияние можно количественно оценить и, если оно существенно по сравнению с требуемой точностью измерения, внести поправку (В.2.23) или поправочный коэффициент (В.2.24) для его компенсации. Предполагается, что после внесения поправки математическое ожидание погрешности, обусловленной систематическим эффектом, становится равным нулю.

Примечание — Неопределенность поправки, вносимой в результат измерения для компенсации систематического эффекта, не является систематической погрешностью (часто называемой смещением) результата измерения, связанной с этим эффектом, как ее иногда определяют. На самом деле она представляет собой меру неопределенности результата из-за неполного знания о требуемом значении поправки. Погрешность, появляющаяся от неполной компенсации систематического эффекта, не может быть известна точно. Термины «погрешность» и «неопределенность» следует использовать правильно и следить за тем, чтобы не путать их.

3.2.4    Далее предполагается, что приняты все меры для выявления значимых систематических эффектов и соответствующие поправки внесены в результат измерения.

Пример — В результат измерения падения напряжения (измеряемая величина) на высокоомном резисторе вносят поправку, обусловленную конечным электрическим сопротивлением вольтметра для уменьшения систематического эффекта, вызванного присоединением вольтметра. Для вычисления поправки используют значения сопротивлений вольтметра и резистора, которые получены в результате других измерений и сами содержат неопределенности. Эти неопределенности учитывают при оценивании составляющей неопределенности измерения падения напряжения, связанной с вносимой поправкой и, в конечном счете, с систематическим эффектом вследствие конечного электрического сопротивления вольтметра.

Примечание 1 — Часто с целью исключить систематические эффекты измерительные приборы и системы настраивают или калибруют с использованием эталонов и стандартных образцов, однако при этом следует учитывать составляющие неопределенности, вносимые эталонами и стандартными образцами.

Примечание 2 — Случай, когда поправку на известный значимый систематический эффект не вносят, рассмотрен в примечании к 6.3.1 и в F.2.4.5.

3.3 Неопределенность

3.3.1    Неопределенность результата измерения отражает отсутствие точного знания значения измеряемой величины (см. 2.2). Результат измерения после внесения в него поправки на известные систематические эффекты остается только оценкой значения измеряемой величины, поскольку содержит неопределенности, связанные со случайными эффектами и неточностью поправки результата на систематические эффекты.

Примечание — Может оказаться, что результат измерения (после внесения поправки) будет очень близким к значению измеряемой величины и тем самым иметь пренебрежимо малую погрешность. Эту неисклю-ченную малую систематическую погрешность не следует путать с неопределенностью результата измерения.

3.3.2    Разнообразие источников неопределенности измерений включает в себя:

a)    неполное определение измеряемой величины;

b)    несовершенную реализацию определения измеряемой величины;

c)    нерепрезентативность выборки (измерения проводят на образце, не представляющем измеряемую величину);

d)    неточное знание влияния условий окружающей среды на результат измерения или неточное измерение величин, характеризующих эти условия;

5

e)    субъективная систематическая погрешность (вносимая оператором при снятии показаний аналоговых приборов);

f)    конечную разрешающую способность или порог чувствительности прибора;

д) неточные значения, приписанные эталонам и стандартным образцам;

h)    неточные знания физических констант и других параметров, полученных из сторонних источников и используемых при обработке данных;

i)    аппроксимации и предположения, используемые в методе и методике измерений (измерительной процедуре);

j)    изменчивость в повторных наблюдениях при, казалось бы, неизменных условиях измерений.

Эти источники необязательно являются независимыми, например некоторые из источников, указанных в перечислениях а) — i), могут вносить вклад в источник, указанный в перечислении j). Если какой-либо систематический эффект не был выявлен, то он не может быть учтен в оценке неопределенности результата измерения, хотя и вносит вклад в погрешность измерения.

3.3.3    Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности разделяет составляющие неопределенности на две категории в зависимости от метода оценивания: по типу А или В (см. 2.3.2 и 2.3.3). Эта классификация применима только к неопределенности и не является заменой классификации погрешности на случайную и систематическую. Неопределенность поправки на известный систематический эффект может в некоторых случаях быть оценена по типу А, а в других случаях — по типу В. То же самое относится к неопределенности, обусловленной случайными эффектами.

Примечание — В ряде публикаций составляющие неопределенности разделяют на «случайные» и «систематические», связывая их с погрешностями, возникающими, соответственно, из случайных и известных систематических эффектов. Такая классификация составляющих неопределенности может привести к неоднозначности толкования при ее практическом применении. Например, «случайная» составляющая неопределенности в одном измерении может стать «систематической» составляющей в другом измерении, в котором результат первого измерения используется в качестве входных данных. При классификации методов оценивания составляющих неопределенности, а не самих составляющих, такая неоднозначность устраняется. В то же время это не мешает объединять отдельные составляющие, оцененные двумя разными методами, в группы для конкретных целей (см. 3.4.3).

3.3.4    Классификация по типам А и В введена только для указания на наличие двух разных способов оценивания составляющих неопределенности и для удобства обсуждения. Ее не следует интерпретировать как различие в природе составляющих неопределенности, полученных разными методами оценивания. Оба способа оценивания основаны на распределении вероятностей (С.2.3), и независимо от способа оценивания составляющие неопределенности количественно характеризуются одним и тем же параметром: дисперсией или стандартным отклонением.

3.3.5    Оценку дисперсии и² для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу А, получают на основе ряда повторных наблюдений, и она совпадает с известной статистической характеристикой — выборочной дисперсией s². Оценка стандартного отклонения (С.2.12, С.2.21, С.3.3) и, представляющая собой положительный квадратный корень из и², совпадает таким образом с выборочным стандартным отклонением и — s, и для удобства ее иногда называют стандартной неопределенностью типа А. Оценку дисперсии и² для составляющей неопределенности, оцениваемой по типу В, получают по имеющейся информации (см. 4.3), а оценку стандартного отклонения и иногда называют стандартной неопределенностью типа В.

Таким образом, стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения (С.2.5), полученной из распределения частот (С.2.18), а стандартную неопределенность типа В — по предполагаемой плотности распределения, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события [часто называемой субъективной вероятностью (С.2.1)]. Оба подхода являются общепринятой интерпретацией понятия вероятности.

Примечание — Оценивание составляющей неопределенности по типу В обычно основывается на всей имеющейся в распоряжении надежной информации (см. 4.3.1).

3.3.6    Стандартную неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, называют суммарной стандартной неопределенностью и обозначают и_с. Она является оценкой стандартного отклонения результата измерения, равной положительному квадратному корню из суммарной дисперсии, т.е. суммы дисперсий и ковариаций (С.3.4) всех составляющих неопределенности, и полученной по правилу, названному в настоящем Руководстве законом трансформирования неопределенностей (см. раздел 5).

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

3.3.7 Для удовлетворения потребностей в ряде областей промышленности и торговли, а также требований в областях здравоохранения и обеспечения безопасности используют расширенную неопределенность U, получаемую умножением суммарной стандартной неопределенности и_с на коэффициент охвата к. Назначением U является построение интервала, охватывающего результат измерения, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Выбор коэффициента к, обычно принимающего значения от 2 до 3, зависит от вероятности охвата или уровня доверия, соответствующего данному интервалу (см. раздел 6).

Примечание — Вместе со значением расширенной неопределенности U следует всегда указывать коэффициент охвата к. Это позволит восстановить значение стандартной неопределенности измеряемой величины, которая впоследствии может быть использована для расчета суммарной стандартной неопределенности результата измерения другой величины, зависящей от первой.

3.4 Практические аспекты

3.4.1    Если все величины, от которых зависит результат измерения, обладают вариативностью, то их неопределенности могут быть получены посредством статистических процедур. Однако на практике такой подход редко может быть реализован вследствие ограничений на временные и иные ресурсы, поэтому неопределенность результата измерения обычно оценивают, используя математическую модель измерения и закон трансформирования неопределенностей. Это объясняет используемое в данном Руководстве допущение, что измерение можно моделировать математически с точностью, достаточной для обеспечения требуемой точности измерения.

3.4.2    Поскольку математическая модель может быть неполной, для оценивания неопределенности на основе данных наблюдений следует обеспечить диапазоны вариативности влияющих величин, соответствующие тем, что имеют место в практических условиях измерений. Для получения достоверных оценок неопределенности рекомендуется, по возможности, использовать эмпирические математические модели, основанные на долговременных измерениях количественных величин, а также эталоны сравнения и контрольные карты, позволяющие судить, находится л и измерение под статистическим контролем. Если данные наблюдений, включая результаты статистически независимых измерений одной и той же измеряемой величины, свидетельствуют о неполноте модели, то модель должна быть пересмотрена. Использование хорошо спланированных экспериментов позволяет существенно повысить достоверность оценок неопределенности, поэтому планирование эксперимента следует рассматривать как важную часть в технике проведения измерений.

3.4.3    Чтобы оценить правильность работы измерительной системы, часто сравнивают выборочное стандартное отклонение полученных с ее помощью результатов измерений с оценкой стандартного отклонения, полученной суммированием составляющих неопределенности от разных источников. В этом случае необходимо учитывать составляющие неопределенности (независимо от того, как получена их оценка — по типу А или В) только от тех источников, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента.

Примечани е —Для этих целей все источники неопределенности разбивают на две группы: те, которые обусловливают вариативность измеряемой величины в ходе эксперимента, и те, которые в ходе данного эксперимента на изменения значений измеряемой величины влияния не оказывают.

3.4.4    Если неопределенность поправки на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то ее при оценивании неопределенности результата измерения можно не учитывать. Если сама поправка на систематический эффект незначительна по сравнению с суммарной стандартной неопределенностью результата измерения, то допускается не вносить эту поправку в результат измерения.

3.4.5    На практике, особенно в области законодательной метрологии, измерительный прибор часто поверяют сравнением с эталоном, и при этом неопределенности, связанные с эталоном и процедурой сравнения, пренебрежимо малы по сравнению с требуемой точностью поверки. Примером может служить использование эталонов массы при поверке весов. Если составляющими неопределенности вследствие их малости допустимо пренебречь, то разность между показанием прибора и эталоном можно рассматривать как погрешность поверяемого прибора (см. также F.2.4.2).

3.4.6    Иногда результат измерения выражают в единицах эталона, а не в соответствующих единицах Международной системы единиц физических величин (СИ). Т.е., по сути, результат измерения выражают в виде отношения к принятому значению эталона. При этом неопределенность, приписанная результату

7

измерения, может быть существенно меньше неопределенности, которая имела бы место при выражении результата измерения в единицах СИ.

Пример — Прецизионный источник напряжения на диоде Зенера калибруют методом сравнения с эталоном постоянного напряжения на основе эффекта Джозефсона. Для расчета напряжения, создаваемого эталоном, используют значение постоянной Джозефсона, рекомендованное для международного применения МКМВ. Относительная суммарная стандартная неопределенность и_с (V_S)IV_S (см. 5.1.6) калибровки источника на диоде Зенера будет равна 2-10г⁸, если напряжение источника V_s выражено в относительных единицах через напряжение, создаваемое эталоном, и 4-10г⁷, если оно выражено в единицах СИ (т.е. в вольтах). Разница в оценках обусловлена дополнительной неопределенностью, связанной с выражением постоянной Джозефсона в единицах СИ.

3.4.7    Ошибки при регистрации или анализе данных могут вносить значительную неизвестную погрешность в результат измерения. Если ошибка велика, то ее можно выявить проверкой данных, но небольшие ошибки могут быть замаскированы случайными изменениями измеряемой величины или даже быть приняты за случайные изменения. Такие ошибки не имеют отношения к неопределенности измерения.

3.4.8    Хотя настоящее Руководство устанавливает общую методологию оценивания неопределенности, его применение требует от пользователя критического мышления, интеллектуальной честности и компетентности. Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерения, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении.

4 Оценивание стандартной неопределенности

Дополнительное руководство преимущественно практического характера по оцениванию составляющих неопределенности приведено в приложении F.

4.1    Моделирование измерения

4.1.1    В большинстве случаев измеряемую величину У не измеряют непосредственно, а определяют через N других величин Х_ЬХ₂ X_N посредством функциональной зависимости f:

Y=f(X_bX₂…..X_N).    (1)

Примечание 1 — В настоящем Руководстве для упрощения записи один и тот же символ используется для обозначения как физической величины (измеряемой величины), так и случайной величины (см. 4.2.1), представляющей возможные значения этой физической величины. Если указано, что величина X, имеет некоторое распределение вероятностей, то она понимается как случайная переменная. При этом предполагается, что сама физическая величина характеризуется одним единственным значением (см. 1.2 и 3.1.3).

Примечание 2 — Если имеется ряд наблюдений случайной величины, то k-е наблюдение случайной величины X, обозначается X, _к. Например, если сопротивление резистора обозначить R, то его к-е наблюдение обозначается R_k.

Примечание 3 — Оценка X, (строго говоря, оценка математического ожидания X,) обозначается х₍.

Пример—Если к клеммам терморезистора с линейной зависимостью сопротивления от температуры с температурным коэффициентом а, имеющего при температуре t₀ сопротивление R₀, приложена разность потенциалов V, то рассеиваемую на данном терморезисторе при температуре t мощность Р (измеряемую величину) рассчитывают по формуле

P = f(V, Ro, a, t) = V²/{R₀ [1 +aft-1₀)]}.

Примечани e — Другим методам измерения P будут соответствовать другие математические модели.

4.1.2    Входные величины Х₁, Х₂…..X_N, от которых зависит выходная величина У, также можно рас

сматривать как измеряемые величины, и они тоже могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты, что усложняет вид функциональной зависимости f, которая, таким образом, никогда не может быть в явном виде определена полностью. Кроме того, функциональная зависимость / может быть определена экспериментально или существовать только в виде алгоритма численного расчета. Поэтому в настоящем Руководстве функциональная зависимость f понимается в более широком смысле, а именно, как функция, которая включает в себя все величины, в том числе поправки и поправочные коэффициенты, способные существенно влиять на неопределенность измерения У

8

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

Таким образом, если данные показывают, что функциональная зависимость/не моделирует измерение с требуемой точностью, то для устранения неадекватности модели в нее должны быть включены дополнительные входные величины (см. 3.4.2). Включением дополнительной входной величины можно учесть неполноту знаний о явлении, влияющем на измеряемую величину. В примере 4.1.1 дополнительные входные величины могут потребоваться, например, чтобы учесть известную неравномерность распределения температуры по резистору, нелинейную зависимость сопротивления резистора от температуры или зависимость сопротивления от атмосферного давления.

Примечание — В то же время формула (1) может иметь самый простой вид, например, У=Х₁ -Х₂. Такая модель соответствует, к примеру, сравнению двух определений одной и той же величины X.

4.1.3    Входные величины Х_1; Х₂, …,X_N могут быть разделены на две группы:

—    величины, значения и неопределенности которых определяют непосредственно в текущем измерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате однократного наблюдения, повторных наблюдений или по основанным на опыте суждениям. Они могут включать определения поправок к показаниям приборов и поправок на влияющие величины, такие как окружающая температура, атмосферное давление и влажность;

—    величины, значения и неопределенности которых получены из сторонних источников. К ним относятся величины, связанные с аттестованными эталонами, стандартными образцами веществ и материалов, а также величины, значения которых указаны в справочниках.

4.1.4    Оценку измеряемой величины У, обозначаемую у, получают из формулы (1), подставляя в нее входные оценки х_ь х₂, …. x_N для N входных величин Х_ь Х₂, …. X_N. Таким образом, выходная оценка у, являющаяся результатом измерения, имеет вид

y=f(x i,x₂…..x_N).    (2)

Примечание — В некоторых случаях оценку у получают как среднее арифметическое (см. 4.2.1) п независимых определений Y_k величины У по формуле

У = У = 1ХУ_Л = 1 tf(x_Xk, x_Zk,…,x_NM),

k=1    ‘k=1

когда каждое определение имеет одну и ту же неопределенность и каждое основано на полном наборе наблюдаемых значений N входных величин X/, полученных в одно и то же время. Этому способу усреднения следует отдать

_ _    _    _    .    п

предпочтение перед расчетом по формуле у = f(X_v Х₂ X_N), где X, = — ^Х,- к ~ среднее арифметическое

^п к=1

отдельных наблюдений X, _к, в тех случаях, когда функциональная зависимость /нелинейна. Для линейной зависимости /указанные два способа усреднения дают одинаковые результаты (см. Н.2 и Н.4).

4.1.5    Оценку стандартного отклонения результата измерения (оценки выходной величины) у в виде суммарной стандартной неопределенности, обозначаемой и_с (у), получают из оценок стандартного отклонения результатов измерений (оценок) х, каждой входной величины в виде стандартных неопределенностей, обозначаемых и (х_;) (см. 3.3.5 и 3.3.6).

4.1.6    Каждую входную оценку х, и связанную с ней стандартную неопределенность и (х,) получают из вероятностного распределения значений входной величины Х_г Это вероятностное распределение можно интерпретировать как частотную вероятность, основанную на серии наблюдений X, _к величины X_h или как априорное распределение. Оценки составляющих стандартной неопределенности по типу А основаны на частотном представлении вероятности, а по типу В — на априорных распределениях. Следует понимать, что в обоих случаях распределения отражают некоторое модельное представление знаний о случайной величине.

4.2 Оценивание стандартной неопределенности типа А

4.2.1 В большинстве случаев наилучшей оценкой математического ожидания случайным образом изменяющейся величины q [случайной переменной (С.2.2)], для которой при постоянных условиях измерения (см. В.2.1.5) были получены п независимых наблюдений q_k, является среднее арифметическое (или просто среднее) значение q из л наблюдений:

Л ^п

(3)

‘4=1

9

Поэтому для получения результата измерения/по формуле (2) в качестве оценких, входной величины^- по результатам п независимых повторных наблюдений X,_к используют среднее арифметическое

значение х, = X,, вычисленное в соответствии с формулой (3). Оценку входных величин, относящихся ко

второй группе по 4.1.3, для которых повторные наблюдения отсутствуют, получают другими методами (см. 4.1.3).

4.2.2 Разброс значений в наблюдениях обусловлен случайными изменениями влияющих величин (случайными эффектами, см. 3.2.2). Выборочную дисперсию s² (q_k), являющуюся оценкой дисперсии а² для данного распределения вероятностей величины q, получают по формуле

(4)

Положительный квадратный корень s(q_k) из выборочной дисперсии называют выборочным стандартным отклонением (см. В.2.17). Эта величина характеризует изменчивость наблюдений q_k или, точнее, их

разброс относительно среднего значения q .

4.2.3 Наилучшей оценкой дисперсии среднего значения a²(q), a² (q)= о² I п, является

(5)

Выборочная дисперсия среднего значения s² (q) и выборочное стандартное отклонение среднего значения s(q), равное положительному квадратному корню из s² (q), определяют количественно, насколько хорошей оценкой математического ожидания i_k величины q является q , и могут быть использованы в качестве меры неопределенности q .

Таким образом, стандартную неопределенность и (xj) оценки х, = X,-, полученную по л независимым повторным наблюдениям X■ _к входной величины X,, определяют как ц(х,) = s(X,) с использованием

формулы (5) для оценки s² (X, ). Для удобства и² (х, ) = s² (X, ) и и(х,) = s(X,) иногда называют, соответственно, дисперсией типа А и стандартной неопределенностью типа А.

Примечание 1 — Число наблюдений п должно быть достаточно большим, чтобы q и s² (q) являлись надежными оценками математического ожидания щ случайной величины q и дисперсии математического ожидания о² (q)= о² I п соответственно (см. примечание к 4.3.2). При построении доверительных интервалов

(см. 6.2.2) следует учитывать различие между s²(q) и с² (q). Если q распределена по нормальному закону (см. 4.3.4), то это различие учитывается применением f-распределения для выборочного среднего (см. G.3.2).

Примечание 2 — Хотя одной из основных характеристик распределения вероятностей является именно

дисперсия, в данном случае s² (q), на практике удобнее использовать s(q), поскольку эта величина имеет ту же размерность, что и q, и более проста для восприятия, чем дисперсия.

4.2.4 Для измерений, проводимых в хорошо известных условиях под статистическим контролем,

может быть доступна объединенная оценка дисперсии s² (или объединенное выборочное стандартное

отклонение s_p). Если значение измеряемой величины q определяют по п независимым наблюдениям, то в

качестве оценки выборочной дисперсии среднего значения q рекомендуется принимать s² / п , а не

s² (q_k) / п, а в качестве стандартной неопределенности, соответственно, и = s_p / -Jn (см. примечание к

Н.3.6).

4.2.5 Часто для получения оценки х, входной величины X/используют функциональную зависимость, полученную по экспериментальным данным методом наименьших квадратов. Выборочные оценки дисперсий и стандартных отклонений параметров функциональной зависимости, а также значений, прогнозируе-

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

мых по данной функциональной зависимости, обычно могут быть легко вычислены с помощью хорошо известных статистических процедур (см. Н.З и [8]).

4.2.6    При заявлении оценки составляющей неопределенности и (х,) типа А всегда необходимо указывать соответствующее ей число степеней свободы v, (С.2.31) — см. G.3. В простейшем случае л независимых наблюдений, когда х, = X, и i/(x,) = s(X,), v, = п — 1.

4.2.7    В случае коррелированной (например, во времени) последовательности наблюдений входной величины среднее значение и выборочное стандартное отклонение, полученные согласно 4.2.1 и 4.2.3, могут быть неадекватными оценками (С.2.25) соответствующих статистик (С.2.23). Для анализа таких наблюдений следует использовать статистические процедуры, специально разработанные для обработки рядов случайных коррелированных результатов измерений.

Примечание — Примером специальных процедур являются те, что используют для обработки результатов измерений эталонов частоты. Может оказаться, что измерения, проявляющие себя как некоррелированные на коротком интервале времени, должны рассматриваться как коррелированные на более длительных интервалах с применением специальных методов обработки (см., например, [9], где подробно рассматривается так называемая дисперсия Аллана).

4.2.8    Анализ оценивания неопределенности типа А в 4.2.1—4.2.7 не является исчерпывающим. Существует много ситуаций, иногда довольно сложных, требующих применения разных статистических методов. Важным примером является планирование эксперимента, часто основанное на применении метода наименьших квадратов, в целях калибровки для оценки неопределенностей, связанных с кратковременными и долговременными случайными изменениями результатов сличений материальных эталонов с неизвестными размерами единиц величин (например, концевых мер длины, эталонов массы) с эталонами сравнения с известными передаваемыми размерами единиц величин. В таких сравнительно простых измерительных задачах составляющие неопределенности часто можно оценить посредством дисперсионного анализа (см. Н.5) результатов иерархических экспериментов для заданного числа уровней иерархии.

Примечание — На низких ступенях поверочной схемы, когда размер единицы величины, передаваемый эталоном сравнения, считают известным точно (поскольку эти эталоны были калиброваны с использованием первичных эталонов), неопределенность результата калибровки может состоять только из стандартной неопределенности типа А, за которую принимают объединенное выборочное стандартное отклонение, полученное в условиях, полно характеризующих измерение.

4.3 Оценивание стандартной неопределенности типа В

4.3.1    Для оценки х, входной величины X,, которая не была определена в результате повторных наблюдений, значения оценки дисперсии и² (х,) или стандартной неопределенности и (х,) получают в результате обобщения и анализа всей доступной информации о возможной вариативности X,. Такая информация может включать в себя:

-данные предшествующих измерений;

—    полученные опытным или теоретическим путем сведения о свойствах материалов и характеристиках приборов;

-характеристики, заявляемые изготовителем;

-данные, приводимые в свидетельствах о калибровке и других документах;

—    неопределенности величин, которые вместе со значениями этих величин приведены в справочниках.

Для удобства оценки и² (х,) и и (х,), полученные таким образом, называют, соответственно, дисперсией типа В и стандартной неопределенностью типа В.

Примечание — Если х, получено из известного априорного распределения вероятностей, то соответствующую этой величине дисперсию следует обозначать и² (X)- Однако для упрощения в настоящем Руководстве используются обозначения и² (х_;) и и (х/).

4.3.2    Правильное использование доступной информации для оценивания стандартной неопределенности типа В требует физической интуиции, основанной на опыте и общих знаниях, которая приходит с накопленной практикой. Следует понимать, что оценка стандартной неопределенности по типу В может быть не менее надежной, чем оценка стандартной неопределенности по типу А, особенно если последняя получена в условиях небольшого числа статистически независимых наблюдений.

Примечание — Если распределение вероятностей q (см. примечание 1 к 4.2.3) является нормальным, то отношение a[s(q)]la(q) приблизительно равно [2(п -1)]“^1/2. Таким образом, если принять o[s(q)] в качестве

11

неопределенности s(q), то для 10 наблюдений (л = 10) относительная неопределенность s(q) будет равна 24 %, а для 50 наблюдений (п = 50) — 10 % (дополнительная информация приведена в таблице Е.1 приложения Е).

4.3.3    Если оценка х, взята из технической документации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого документального источника, в котором значение неопределенности х, дано в виде стандартного отклонения, умноженного на некоторый коэффициент, то стандартную неопределенность и(х,) можно получить, разделив справочное значение неопределенности на этот коэффициент, а оценку дисперсии и²(х,) — возведя полученный результат в квадрат.

Пример — Согласно сертификату о калибровке масса m_s, эталона из нержавеющей стали с номинальным значением 1 кг равна 1000,000325 г, а его «неопределенность в виде утроенного стандартного отклонения равна 240 мкг». В этом случае стандартную неопределенность эталона массы получают как u(mj = 240/3 = 80 мкг. Это соответствует относительной стандартной неопределенности u(mj/m_s = 80-Юг⁹ (см. 5.1.6). Оценка дисперсии составляет и²(тJ = (80-10^-6)² = 6,4-1<У~⁹ г².

Примечание — Как правило, источник информации, указывающий неопределенность измерения какой-либо величины, не приводит составляющие этой неопределенности. В большинстве случаев при выражении неопределенности измерения в соответствии с настоящим Руководством это не имеет значения, поскольку при вычислении суммарной стандартной неопределенности результата измерения единообразно суммируются стандартные неопределенности всех входных величин (см. раздел 5).

4.3.4    Приводимая в том или ином источнике информация о неопределенности х, не всегда имеет вид величины, кратной стандартному отклонению, как рассмотрено в 4.3.3. Часто такую неопределенность определяют в виде интервала с уровнем доверия 90 %, 95 % или 99 % (см. 6.2.2). Если не указано иное, то можно предположить, что для расчета указанного интервала была использована гипотеза о нормальном распределении (С.2.14) величины х₍. В этом случае стандартную неопределенность для х, получают делением приведенного в источнике информации значения на соответствующий коэффициент для нормального распределения. Так вышеуказанным трем уровням доверия соответствуют следующие коэффициенты: 1,64; 1,96 и 2,58 (см. также таблицу G.1 приложения G).

Примечание — В таком предположении не было бы необходимости, если бы неопределенность была выражена в соответствии с рекомендациями настоящего Руководства, в котором подчеркивается необходимость при заявлении неопределенности всегда указывать используемый коэффициент охвата (см. 7.2.3).

Пример—Согласно свидетельству о калибровке, сопротивление R_s эталонного резистора с номинальным значением 10 Ом равно 10,000742 Ом ± 129 мкОм при температуре 23 °С и «неопределенность 129 мкОМ соответствует интервалу с уровнем доверия 99 %». В этом случае стандартную неопределенность сопротивления можно принять равной и (R_s) = 129/2,58 = 50 мкОм. Это соответствует относительной стандартной неопределенности и (R_s) / R_s = 5,0-10~⁶ (см. 5.1.6). Оценка дисперсии равна и² (Rs) = (5,0-1 (Г⁶)² = 2,5-10г⁹ Ом².

4.3.5    Рассмотрим случай, когда на основе некоторого источника информации можно сделать заключение, что значение входной величины X) с равной вероятностью может находиться как в пределах интервала от а_ до а₊, таки вне этого интервала. Другими словами, вероятность того, что значениеХ, находится в интервале от а_ до а+ равно 0,5 или 50 %. Если есть основания предположить, что распределение вероятностей X, близко к нормальному, то лучшей оценкой х,- для убудет средняя точка этого интервала. Обозначив а полуширину интервала, а = (а+ -а_)/2, можно принять i/(x,) = 1,48а, поскольку для нормального распределения с математическим ожиданием д и стандартным отклонением о интервал д ± о/1,48 охватывает приблизительно 50 % распределения.

Пример — Станочник, определяя размеры детали, решил, что ее длина I с вероятностью 0,5 находится в интервале от 10,07 до 10,15 мм и записал это в виде I = (10,11 ± 0,04) мм, понимая под этим, что ± 0,04 — интервал с уровнем доверия 50 %. В этом случае а = 0,04 мм, и в предположении нормального распределения возможных значений I стандартная неопределенность длины будет равна и (1) = 1,48-0,04 = 0,06 мм. Оценка дисперсии будет и² (1) = (1,48-0,04)² = 3,5-10~³ мм².

4.3.6    Рассмотрим случай, подобный изложенному в 4.3.5, но когда на основе имеющейся информации можно утверждать, что «в двух случаях из трех значение Х_; будет находиться в интервале от а_ до а₊. Другими словами, вероятность того, что значение X) находится в интервале от а_ до а₊ равно приблизительно 0,67. Тогда с достаточным основанием можно принять и(х) = а, поскольку для нормального распределения с математическим ожиданием д и стандартным отклонением о интервал д ± о охватывает приблизительно 68,3 % распределения.

12

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

Примечани е — Точное значение стандартного отклонения о, соответствующего интервалу с доверительной вероятностью р = 2/3, равно 0,96742, тогда стандартную неопределенность и (х,-) следовало бы получить по формуле и (Xj) = а/0,96742 = 1,033э. Однако столь высокая точность вычислений стандартной неопределенности, очевидно, не является оправданной.

4.3.7 В ряде случаев можно оценить только границы (верхний и нижний пределы) для X), в частности, утверждать, что «для всех практических целей вероятность нахождения значения Xj в интервале от а_ до а₊ близка к единице, а вне пределов этого интервала — несущественна». Если дополнительная информация о возможных значениях X, внутри указанного интервала отсутствует, то остается предположить, что вероятность для X, принять любое значение в пределах интервала одинакова (что соответствует равномерному или прямоугольному распределению вероятностей, см. 4.4.5 и рисунок 2). Тогда х„ равное математическому ожиданию Xj, будет средней точкой интервала, х, = (а+ + а_)/2. Дисперсию и²(х,) такого распределения определяют по формуле

(6)

и²(х,) = (а+ — а_)²/12 .

Если разность между границами, а+-а_, обозначить 2а, то формула (6) примет вид

(7)

u²(Xj) — а²/3.

Примечание — Если составляющая неопределенности, полученная таким образом, дает значительный вклад в неопределенность результата измерения, то целесообразно рассмотреть возможность получения дополнительной информации для уточнения вида распределения.

Пример 1 — Согласно справочнику значение температурного коэффициента линейного расширения чистой меди при 20 °С сс₂₀ (Си) равно 16,52-10~⁶ °С~¹, а погрешность этого значения не превышает 0,40- КГ⁶ °С~¹. На основании такой ограниченной информации можно только предположить, что значение а₂о (Си) равновероятно распределено в интервале от 16,12-10~⁶ до 16,92-10~⁶ °С~* и что вероятность нахождения а₂о (Си) вне пределов этого интервала очень мала. Дисперсию симметричного прямоугольного распределения возможных значений о^о (Си) с полушириной а = 0,40-10~⁶ °С~* можно получить по формуле (7): и² (а₂₀) = (0,40-1(Г⁶)²/3 = 53,3-10~¹⁵ °С~². Тогда стандартная неопределенность будет равна

и (а₂₀) = (0,40-1Or⁶) /4з = 0,23-КГ⁶ °С~¹.

Пример 2 — В технических условиях изготовителем цифрового вольтметра указано, что «в промежутке от года до двух лет после калибровки прибора его погрешность состоит из относительной погрешности, равной 14-КГ⁶, и погрешности, приведенной к пределу измерений (1 В), равной 2-КГ⁶. Пусть спустя 20 месяцев после калибровки повторные измерения напряжения V в диапазоне до 1В дали среднее

значение V =0,928571 В. При этом известно, что стандартная неопределенность по типу А, связанная

с изменчивостью при повторных наблюдениях, u(V) =12мкВ. Оценку стандартной неопределенности по типу В по техническим условиям изготовителя можно получить в предположении, что указанная им погрешность определяет симметричные границы равномерного распределения аддитивной поправки AV к V с нулевым математическим ожиданием. Тогда полуширину а диапазона возможных значений A(V) определяют как а = (14-10^г6) 0,928571 + (2-КГ⁶) -1 = 15-10г⁶ В или 15 мкВ, и из формулы (7) получают u²(AV) = 75 мкВ² и u(AV) = 8,7 мкВ. Оценка значения измеряемой величины V, для простоты

обозначаемая тем же символом V, равна V = V + AV = 0,928571 В. Суммарную стандартную неопределенность этой оценки получают суммированием стандартной неопределенности по типу А, равной 12 мкВ, и стандартной неопределенности по типу В, равной 8,7 мкВ. Общий метод суммирования составляющих стандартной неопределенности дан в разделе 5, а этот конкретный пример рассмотрен в 5.1.5.

4.3.8 В рассмотренном в 4.3.7 случае верхняя (а₊) и нижняя (а_) границы диапазона изменений входной величины Xj могут быть расположены несимметрично относительно лучшей оценки х,-. Так, если нижнюю границу представить в виде а_ = х,-Ь_, а верхнюю — в виде а+ = х,+ Ь+, то может быть справедливо условие Ь_^Ь+. Поскольку в этом случае х,- (математическое ожиданиеX) не находится посередине интервала от а_ до а+, то распределение вероятностей X) не может быть равномерным в данном интервале. При этом имеющейся информации может быть недостаточно, чтобы сделать обоснованное заключение о виде распределения, а произвольный выбор разных моделей распределения даст разные оценки дисперсии. В этом случае простейшей оценкой дисперсии является

(8)

13

которая совпадает с дисперсией прямоугольного распределения в интервале шириной (Ь₊ + Ь_) (асимметричные распределения рассматриваются также в F.2.4.4 и G.5.3).

Пример — Пусть в примере 1 ( 4.3.7) в справочнике значение коэффициента дано как о^о (Си) = = 16,52-10г⁶ °С~¹ и указано, что «наименьшее возможное значение коэффициента равно 16,40-10~⁶ °С~¹, а наибольшее — 16,92-10~⁶ °С~¹». Тогда Ь_ = 0,12-10~⁶ °С~¹, Ь+ = 0,40-10~⁶ °С~¹, и по формуле (8) получаем и (О2о) = 0,15-10~⁶ ‘С-¹.

Примечание 1 — Во многих практических измерительных ситуациях, когда границы асимметричны, целесообразно вносить поправку в оценку х,- на величину (Ь+ — Ь_) / 2, чтобы новая оценка х) величины X/ находилась посередине диапазона, х] = (з₊ + э_) / 2. Это сведет ситуацию к случаю, рассмотренному в 4.3.7, при новых значениях Ь’+ = Ь1 = (Ь+ + Ь_) / 2 = (а+ — а_) 12 = а.

Примечание2 — Основываясь на принципе максимума энтропии, можно показать, что в случае асимметричных границ плотность вероятности распределения с максимальной энтропией имеет вид р(Х/) = = А ехр {- л(Х, — X/)}, где А и X являются решением системы уравнений: А = [Ь_ ехр (ХЬ_) + Ь+ ехр (-ХЬ+)]^-1, X = = {ехр [Я,(Ь₊ + Ь_)]-1 }/{Ь_ ехр [л(Ь₊ + Ь_)] + Ь+} X > 0 в случае Ь+> Ь_ и X < 0 в случае Ь+ < Ь_. Дисперсия такого распределения имеет вид и²(х₍) = Ь₊Ь_ — (Ь+ — Ь_) / X.

4.3.9    В случае, рассмотренном в 4.3.7, отсутствие информации о возможных значениях величины X, в пределах границ ее изменения от а_ до а₊ не позволило сделать иного предположения о плотности распределения вероятностей X,, кроме как принять ее постоянной в пределах интервала от а_ до а₊ и нулевой вне этого интервала. Распределение вероятностей такого вида содержит разрывы (на границах интервала), что зачастую не имеет под собой ясной физической основы. Во многих случаях можно ожидать, что значениях, вблизи границ интервала гораздо менее вероятны, чем в его центре. Тогда симметричное прямоугольное распределение целесообразно заменить симметричным трапецеидальным распределением с шириной нижнего основания а₊ — а_ = 2а и шириной верхнего основания 2ар, где 0 < р < 1. При Р -> 1 это распределение стремится к прямоугольному, рассмотренному в 4.3.7, а при р -»0 — к треугольному (см. 4.4.6 и рисунок2Ь). Математическое ожидание величины Х/Дпя такого трапецеидального распределения будет равно х, = (а_+ а₊) / 2, дисперсия и² (х_у) определяется по формуле

и² (Ху) = а² (1 + р²)/6,    (9а)

а в случае треугольного распределения (Р = 0):

и² (ху) = а²/6.    (9Ь)

Примечание 1 — Для нормального распределения с математическим ожиданием ц и стандартным отклонением о в интервал ц ± Зо попадают приблизительно 99,73 % значений случайной величины. Таким образом, если принять что интервал от а_ до а+ охватывает не 100 %, а 99,73 % значений и что случайная величина распределена по закону, близкому к нормальному (это будет дополнительной информацией о распределении случайной величины по сравнению с той, что рассмотрена в 4.3.7), то и² (х,) = а²/9. Для сравнения: дисперсия симметричного прямоугольного распределения на интервале полушириной а равна а²/3 [формула (7)], а дисперсия симметричного треугольного распределения на интервале полушириной а равна а²/6 [формула (9Ь)]. Различия в значениях дисперсий этих трех распределений довольно незначительны по сравнению с разницей в объемах информации, требуемой для обоснования выбора того или иного распределения.

Примечание 2 — Т рапецеидальное распределение можно рассматривать как свертку двух прямоугольных распределений (см. [10]): одного с полушириной а-], равной длине средней линии трапеции, а-| = а (1 + |3)/2, другого — с полушириной а₂, равной длине средней линии треугольника, образованного боковой линией, опущенной из нее высотой и частью нижнего основания трапеции, а₂ = а (1 — Р)/2. Тогда дисперсию трапецеидального распределения и² можно представить в виде суммы дисперсий этих двух прямоугольных распределений: и² = а²/3+а₂/3. Свертку распределений можно интерпретировать также как случайную величину, распределенную по равномерному закону на интервале 2а-|, значение которого известно с некоторой неопределенностью, определяемой другим равномерным распределением на интервале 2а₂, т. е. как равномерно распределенную случайную величину, границы распределения которой точно не известны. Но даже если з₂ составляет 30 % а_Л, стандартное отклонение трапецеидального распределения и будет превышать I >/з менее чем на 5 %.

4.3.10    Важно, чтобы одни и те же составляющие неопределенности не были учтены более одного раза. Если составляющая неопределенности, обусловленная конкретным эффектом, получена оцени-

14

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

Содержание

1    Область применения…………………………………. 1

2    Термины и определения……………………………….. 2

3    Основные понятия………………………………….. 3

4    Оценивание стандартной неопределенности………………………. 8

5    Определение суммарной стандартной неопределенности…………………. 18

6    Определение расширенной неопределенности……………………… 22

7    Представление результатов оценивания неопределенности………………… 24

8    Краткое описание процедуры оценивания и представления неопределенности……….. 26

Приложение А (справочное) Рекомендации Рабочей группы по неопределенности и МКМВ…..    28

Приложение В (обязательное) Основные метрологические термины…………….. 30

Приложение С (справочное) Основные термины и понятия математической статистики…….. 36

Приложение D (справочное) Понятия «истинное значение», «погрешность» и «неопределенность» . .    43

Приложение Е (справочное) Мотивы и основы для разработки Рекомендации INC-1 (1980)…… 48

Приложение F (рекомендуемое) Практические рекомендации по оцениванию составляющих неопределенности ……………………………….. 54

Приложение G (рекомендуемое) Число степеней свободы и уровни доверия…………. 63

Приложение Н (справочное) Примеры………………………….. 71

Приложение J (обязательное) Основные обозначения…………………… 95

Библиография…………………………………….. 99

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

ванием типа В, то она должна войти как независимая составляющая при расчете суммарной стандартной неопределенности только в той части, в какой этот эффект не вызывает вариативности результатов измерения. Это обусловлено тем, что та часть эффекта, которая вносит вклад в вариативность, уже включена в составляющую неопределенности, полученную на основе статистического анализа наблюдений.

4.3.11 Обсуждение оценивания стандартной неопределенности типа В в 4.3.3—4.3.9 проведено на качественном уровне. Однако получение оценок неопределенности в максимально возможной мере должно быть основано на количественных данных, как подчеркивается в 3.4.1 и 3.4.2.

4.4 Графическая иллюстрация оценивания стандартной неопределенности

4.4.1    На рисунке 1 графически показана оценка значения входной величины X, и оценка неопределенности этой оценки по выборке (повторным наблюдениям) из генеральной совокупности с неизвестным законом распределения.

4.4.2    На рисунке 1а показан пример, когда входной величиной X/является температура /, а неизвестным распределением является нормальное распределение с математическим ожиданием д* = 100 °С и стандартным отклонением а = 1,5 °С, плотность вероятности которого описывается формулой (см. С.2.14)

Примечание — Из определения плотности распределения вероятностей р (z) следует необходимость выполнения условия jp(z)dz = 1.

4.4.3 На рисунке 1Ь показана гистограмма п = 20 повторных наблюдений t_k температуры f, взятых, предположительно, из генеральной совокупности, которая описывается распределением, изображенным на рисунке 1а. Для построения гистограммы наблюдения, значения которых даны в таблице 1, были сгруппированы в классы шириной 1 °С. (Гистограмма приведена в качестве иллюстрации; ее построение не входит в статистический анализ данных.)

Таблица 1 —Двадцать повторных наблюдений температуры /, сгруппированных в классы шириной 1 °С

Границы классов < f < f2) Результаты наблюдений f, °С Нижняя граница класса Г,, °С Верхняя граница класса f2, °С 94,5 95,5 — 95,5 96,5 — 96,5 97,5 96,90 97,5 98,5 98,18; 98,25 98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49 99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42 100,5 101,5 100,68; 100,95; 101,11; 101,20 101,5 102,5 101,57; 101,84; 102,36 102,5 103,5 102,72 103,5 104,5 — 104,5 105,5 —

15

Аннотация к Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008

Руководство устанавливает общие правила оценивания и представления неопределенности измерения применительно к широкому спектру измерений. Основой Руководства является Рекомендация 1 (СИ 981) Международного комитета мер и весов (МКМВ) и Рекомендация INC-1 (1980) Рабочей группы по неопределенности. Рабочая группа по неопределенности была организована Международным бюро мер и весов (МБМВ) по поручению МКМВ. Рекомендация, разработанная Рабочей группой, является единственной рекомендацией в отношении выражения неопределенности измерения, одобренной межправительственной организацией.

Руководство разработано объединенной рабочей группой экспертов, назначенных МБМВ, ИСО, МЭК и МОЗМ.

Следующие семь организаций¹ поддержали разработку Руководства, которое публикуется от их имени:

—    Международное бюро мер и весов (МБМВ);

—    Международная электротехническая комиссия (МЭК);

—    Международная федерация клинической химии (МФКХ)²;

—    Международная организация по стандартизации (ИСО);

—    Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК)²;

—    Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП)²;

—    Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ).

Пользователей Руководства приглашают присылать свои замечания и предложения в любую из семи указанных международных организаций, чьи адреса указаны на обратной странице обложки³.

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

Предисловие к Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008

В 1978 г., признавая отсутствие международного единства по вопросу выражения неопределенности измерения, наиболее авторитетная международная организация в области метрологии МКМВ обратилась в МБМВ с просьбой рассмотреть эту проблему совместно с национальными метрологическими лабораториями и подготовить соответствующую рекомендацию.

МБМВ подготовило подробную анкету и разослало ее в 32 национальные метрологические лаборатории, заинтересованные в разрешении данной проблемы, а также, для сведения, в пять международных организаций. К началу 1979 г. были получены ответы из21 лаборатории [1]. Почти в каждом ответе подчеркивалась важность установления признанной на международном уровне процедуры выражения неопределенности измерения и объединения частных составляющих неопределенности в одну общую неопределенность. Однако в том, какой должна быть эта процедура, единства достигнуто не было. Для решения этого вопроса МБМВ организовало встречу, на которой присутствовали представители 11 национальных метрологических лабораторий. Эта Рабочая группа по неопределенности разработала Рекомендацию INC-1 (1980) «Выражение экспериментальных неопределенностей» [2]. Рекомендация была одобрена МКМВ в 1981 г. [3] и подтверждена в 1986 г. [4].

Задачу разработки подробного Руководства, основанного на подготовленной Рабочей группой Рекомендации (которая является, скорее, краткой формулировкой общих принципов, чем детализированной инструкцией), МКМВ передал Международной организации по стандартизации ИСО, которая могла в большей степени учесть потребности, возникающие из широких интересов промышленности и торговли.

Ответственность за решение указанной задачи была возложена на Техническую консультативную группу по метрологии (ИСО/ТАГ 4), целью которой, в том числе, является координация разработки руководств в области измерений, представляющих общий интерес для ИСО и других шести организаций, которые вместе с ИСО участвуют в работе ИСОЯАГ 4: МЭК (партнера ИСО в области международной стандартизации); МКМВ и МОЗМ (двух всемирно признанных международных организаций в области метрологии); ИЮПАК и ИЮПАП (двух международных союзов в области физики и химии) и МФКХ.

ИСОЯАГ 4, в свою очередь, учредила Рабочую группу 3 (ИСОЯАГ 4/РГ 3), состоящую из экспертов, предложенных МБМВ, МЭК, ИСО и МОЗМ и утвержденных председателем ИСОЯАГ 4. Перед ней была поставлена следующая задача: разработать руководящий документ, базирующийся на Рекомендации Рабочей группы по неопределенности МБМВ, в котором были бы сформулированы правила выражения неопределенности измерения и который использовался бы организациями и службами в области стандартизации, калибровки, аккредитации лабораторий, а также в метрологии.

Целью данного руководства должно было стать:

—    обеспечение предоставления полной информации о том, как получены утверждения о неопределенности измерений;

—    создание основы для международного сопоставления результатов измерений.

Настоящее первое издание Руководства ИСО/МЭК 98-3 отменяет и заменяет «Руководство по выражению неопределенности измерений», опубликованное совместно МБМВ, МЭК, МФКХ, ИСО, ИЮПАК, ИЮПАП и МОЗМ в 1993 г. и переизданное с исправлениями в 1995 г*

* Примечание к изданию 2008 г.: При разработке издания 2008 г. в версию 1995 г. были внесены необходимые исправления, подготовленные JCGM/WG 1. Эти исправления затрагивают пункты 4.2.2, 4.2.4, 5.1.2, В.2.17, С.3.2, С.3.4, Е.4.3, Н.4.3, Н.5.2.5 и Н.6.2.

V

Введение

0.1 Сообщению о результате измерения физической величины должна сопутствовать некоторая количественная характеристика качества результата измерений, чтобы при использовании данного результата возможно было оценить его достоверность. Без такой информации результаты измерений нельзя сопоставить ни друг с другом, ни со значениями, указанными в технических условиях или стандарте. Это требует наличия простой в применении, понятной и общепризнанной процедуры, позволяющей характеризовать качество результата измерений, т.е. оценивать и выражать его неопределенность.

0.2 Понятие неопределенности как количественной характеристики является относительно новым в истории измерений, хотя понятия погрешности и анализа погрешностей давно используются в метрологической практике. В настоящее время общепризнанно, что после того, как найдены оценки всех ожидаемых составляющих погрешности и в результат измерения внесены соответствующие поправки, все еще остается некоторая неопределенность в отношении полученного результата, т.е. сомнение в том, насколько точно он соответствует значению измеряемой величины.

0.3 Подобно тому, как Международная система единиц (СИ), будучи системой практически универсального использования, привнесла согласованность во все научные и технические измерения, международное единство в оценивании и выражении неопределенности измерения обеспечило бы должное понимание и правильное использование широкого спектра результатов измерений в науке, технике, торговле, промышленности и законодательстве. В условиях международного рынка чрезвычайно важно, чтобы метод оценивания и выражения неопределенности был единым во всем мире, а результаты измерений, проведенных в разных странах, были легко сопоставимы между собой.

0.4 Идеальный метод оценивания и выражения неопределенности результата измерения должен быть

-универсальным, т.е. применимым ко всем видам измерений и всем видам входной информации, используемой в измерениях.

Величина, непосредственно используемая для выражения неопределенности, должна быть:

— внутренне согласованной, т.е. непосредственно выводиться из составляющих ее компонентов и не зависеть от того, как эти компоненты группируются и как они делятся на подкомпоненты;

-переносимой, т.е. допускающей непосредственное использование неопределенности, полученной для одного результата измерения, в качестве составляющей неопределенности другого измерения, в котором используется первый результат.

Кроме того, зачастую в промышленности и торговле, а также в здравоохранении и в сфере обеспечения безопасности результат измерения должен быть представлен с указанием охватывающего его интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Таким образом, идеальный метод оценивания и выражения неопределенности измерения должен предоставлять возможность указать такой интервал, в частности, который был бы действительно близок к доверительному интервалу с заданным уровнем доверия.

0.5 Подход, на котором базируется настоящий руководящий документ, изложен в Рекомендации INC-1 (1980) [2] Рабочей группы по неопределенности, организованной МБМВ по инициативе МКМВ (см. предисловие). Данный подход, обоснованность которого обсуждается в приложении Е, соответствует всем вышеуказанным требованиям. Этого нельзя сказать о большинстве других используемых в настоящее время методах. Рекомендация INC-1 (1980) была одобрена и вновь подтверждена МКМВ его собственными Рекомендацией 1 (СИ981) [3] и Рекомендацией 1 (СИ 986) [4], перевод которых приведен в приложении А (разделы А.2 и А.З соответственно). Поскольку основой для настоящего Руководства остается Рекомендация INC-1 (1980), ее перевод также приведен в приложении А (раздел А. 1)⁴.

0.6 Краткое описание метода, установленного настоящим руководящим документом по оцениванию и выражению неопределенности измерений, приведено в разделе 8, а ряд подробных поясняющих примеров — в приложении Н. Остальные приложения посвящены: терминам, используемым в метрологии (приложение В), основным терминам и понятиям математической статистики (приложение С), сопоставлению понятий «истинное значение», «погрешность» и «неопределенность» (приложение D), практическому руководству по оцениванию составляющих неопределенности (приложение F), оцениванию степеней свободы и уровней доверия (приложение G), используемым основным математическим символам (приложение J). В конце документа приведена библиография.

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения

Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement

Дата введения 2012 — 10—01

1 Область применения

1.1    Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопределенности измерения, которые следует соблюдать при измерениях разной точности и в разных областях — от технических измерений на производстве до фундаментальных научных исследований. Подход, установленный настоящим Руководством, распространяется на широкий спектр измерений, включая те, что используют для:

—    обеспечения требуемого качества продукции и контроля качества на производстве:

—    проверки выполнения требований законов и нормативных документов;

—    проведения фундаментальных и прикладных исследований и разработок в науке и технике;

—    калибровки эталонов и приборов, а также проведения испытаний в соответствии с национальной схемой обеспечения единства измерений (для обеспечения прослеживаемости к национальным эталонам);

—    разработки, поддержания и сличения международных и национальных эталонов единиц физических величин, включая стандартные образцы веществ и материалов.

1.2    Настоящее Руководство, в первую очередь, рассматривает выражение неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением. Если предмет изучения нельзя охарактеризовать единственным значением, а лишь некоторым распределением значений или если он характеризуется зависимостью от одного или более параметров (например, представляет собой временной процесс), то измеряемыми величинами, требуемыми для его описания, являются параметры распределения или зависимости.

1.3    Настоящее Руководство распространяется также на оценивание и выражение неопределенности результатов теоретических расчетов и испытаний, методов измерений, анализа сложных систем. Поскольку в таких приложениях результат оценивания величины и его неопределенность могут быть умозрительными и полностью основанными на гипотетических данных, то термин «результат измерений», используемый в настоящем Руководстве, следует толковать в этом более широком контексте.

1.4    Настоящее Руководство устанавливает общие правила оценивания и выражения неопределенности измерения и не содержит подробных указаний для конкретных измерений. В нем не рассматривается также вопрос, каким образом полученная оценка неопределенности результата конкретного измерения может быть использована в дальнейшем, например, для вывода о сопоставимости данного результата с результатами аналогичных измерений, для установления допусков в технологическом процессе, для заключения о соблюдении или несоблюдении установленных требований безопасности. Подобные вопросы, связанные со специфическими областями измерений или с конкретным использованием количественных оценок неопределенности, могут рассматриваться в других стандартах, основанных на настоящем Руко-

водстве⁵. Такие стандарты могут представлять собой упрощенные версии настоящего Руководства, но они должны содержать в себе все необходимые сведения, исходя из требуемого уровня точности и сложности измерений, на которые они распространяются.

Примечание — Возможны случаи, когда концепция неопределенности измерения неприменима в полном объеме, например при определении точности метода испытаний (см., например, [5]).

2 Термины и определения

2.1    Общие метрологические термины

Определения ряда общих метрологических терминов по тематике настоящего Руководства, таких как «измеримая величина», «измеряемая величина» и «погрешность измерения», приведены в приложении В. Эти определения взяты из Международного словаря основных и общих терминов в метрологии [6]⁶. Кроме того, в приложении С приведены определения ряда основных статистических терминов, взятых большей частью из ИСО 3534-1 [7]. Когда один из этих метрологических или статистических терминов (или терминов, близко с ними связанных) встречается в тексте впервые (начиная с раздела 3), он выделяется полужирным шрифтом, а в скобках приводится номер подраздела, в котором дано его определение.

Ввиду особой важности для настоящего Руководства термина «неопределенность измерения» его определение дано как в приложении В, так и в 2.2.3. Определения других наиболее важных для настоящего Руководства терминов даны в 2.3.1 — 2.3.6. В этих подразделах так же, как и в приложениях В и С, выделение в термине слова скобками означает, что данное слово, если только это не приводит к путанице, может быть опущено.

2.2    Термин «неопределенность»

Понятие неопределенности подробно рассматривается в разделе 3 и приложении D.

2.2.1    Слово «неопределенность» означает сомнение, и, таким образом, в широком смысле «неопределенность измерения» означает сомнение в достоверности результата измерения. Специальные термины для величин, характеризующих количественную меру такого сомнения (например, стандартного отклонения), отсутствуют, поэтому слово «неопределенность» используют и в указанном широком смысле, и в смысле некоторой количественной меры.

2.2.2    В настоящем Руководстве слово «неопределенность», используемое без прилагательного, относится как к общему понятию неопределенности, так и к любым количественным мерам неопределенности. Если необходимо уточнить, какая количественная мера имеется в виду, то для этого используется соответствующее прилагательное.

2.2.3    Для применения в настоящем Руководстве и в международном словаре VIM [6] (VIM:1993, словарная статья 3.9) принято следующее формальное определение термина «неопределенность измерения»:

неопределенность (измерения) [uncertainty (of measurement)]: Параметр, относящийся к результату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Примечание 1 — Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или величина, пропорциональная стандартному отклонению) или полуширина интервала, которому соответствует заданный уровень доверия.

Примечание 2 — Неопределенность измерения, как правило, включает в себя много составляющих. Некоторые из них могут быть оценены из статистического распределения результатов ряда измерений и описаны выборочными стандартными отклонениями. Другие составляющие, которые также могут быть описаны стандартными отклонениями, оценивают, исходя из основанных на опыте предположений или иной информации о виде закона распределения.

ГОСТ Р 54500.3-2011/ Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008

Примечание 3 — Предполагается, что результат измерения является лучшей оценкой измеряемой величины, а все составляющие неопределенности, включая обусловленные систематическими эффектами (разного рода поправками, используемым эталоном сравнения), вносят вклад в разброс значений измеряемой величины.

2.2.4 Определение неопределенности измерения, приведенное в 2.2.3, является рабочим, привязанным, в первую очередь, к понятиям результата измерения и оценки его неопределенности. Однако оно не противоречит использованию понятия неопределенности измерений в других смыслах, таких как:

—    мера возможной погрешности оценки измеряемой величины, полученной как результат измерения;

—    оценка, характеризующая диапазон значений, в пределах которого находится истинное значение измеряемой величины (VIM:1984,3.09).

Хотя оба эти традиционно используемые представления справедливы как идеализация, основной акцент в них сделан на неизвестные величины: «погрешность» результата измерения и «истинное значение» измеряемой величины (в противоположность известной оценке этой величины) соответственно. Тем не менее, независимо от того, какой смысл вкладывают в понятие неопределенности, для оценивания составляющей неопределенности всегда используют одни и те же данные и имеющуюся информацию (см. также раздел Е.5).

2.3 Термины, вводимые Руководством

Как правило, пояснения терминов, вводимых настоящим Руководством, даны при их первом употреблении в тексте. Однако для удобства пользования Руководством определения этих терминов собраны в настоящем подразделе.

Примечание — Более полное рассмотрение вводимых в настоящем подразделе терминов содержится: для термина по 2.3.2 — в 3.3.3 и 4.2; для термина по 2.3.3 — в 3.3.3 и 4.3; для термина по 2.3.4 — в разделе 5 [см. также формулы (10) и (13)]; для термина по 2.3.6 — в разделе 6.

2.3.1    стандартная неопределенность (standard uncertainty): Неопределенность результата измерения, выраженная в виде стандартного отклонения.

2.3.2    оценивание (неопределенности) типа А [Туре A evaluation (of uncertainty)]: Метод оценивания неопределенности путем статистического анализа ряда наблюдений.

2.3.3    оценивание (неопределенности) типа В [Туре В evaluation (of uncertainty)]: Метод оценивания неопределенности, отличный от статистического анализа ряда наблюдений.

2.3.4    суммарная стандартная неопределенность (combined standard uncertainty): Стандартная неопределенность результата измерения, полученного из значений ряда других величин, равная положительному квадратному корню взвешенной суммы дисперсий или ковариаций этих величин, весовые коэффициенты при которых определяются зависимостью изменения результата измерения от изменений этих величин.

2.3.5    расширенная неопределенность (expanded uncertainty): Величина, определяющая интервал вокруг результата измерения, который, как ожидается, содержит в себе большую часть распределения значений, что с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине.

Примечание 1 —Долю распределения, охватываемую интервалом, можно рассматривать как вероятность охвата или уровень доверия для данного интервала.

Примечание 2 — Чтобы сопоставить интервалу, рассчитанному через расширенную неопределенность, некоторое значение уровня доверия, необходимо сделать в явном или неявном виде предположение о форме распределения, характеризуемого результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Уровень доверия, поставленный в соответствие этому интервалу, может быть известен только в той мере, в которой оправдано сделанное предположение о форме распределения.

Примечание 3 — В параграфе 5 Рекомендаций INC-1 (1980) расширенная неопределенность названа общей неопределенностью.

2.3.6    коэффициент охвата (coverage factor): Коэффициент, на который умножают суммарную стандартную неопределенность для получения расширенной неопределенности.

Примечание — Коэффициент охвата обычно принимает значения от 2 до 3.

3 Основные понятия

Дополнительное рассмотрение основных понятий можно найти в приложении D, в котором основное внимание уделено вопросам сопоставления (в том числе, графического) «истинного» значения, погрешности и неопределенности, и в приложении Е, где исследуются необходимость разработки и статистическая

3

база Рекомендации INC-1 (1980), на которой основано настоящее Руководство. В приложении J приведен словарь основных математических символов, используемых в настоящем Руководстве.

3.1    Измерение

3.1.1 Целью измерения (В.2.5) является определение значения (В.2.2) измеряемой величины (В.2.9), т.е. значения конкретной величины (В.2.1, примечание 1), которую надо измерить. Поэтому измерению предшествует определение измеряемой величины, метода измерения (В.2.7) и методики измерения (измерительной процедуры) (В.2.8).

Примечание — Термин «истинное значение» (см. приложение D) не используется в настоящем Руководстве по причинам, указанным в D.3.5. Термины «значение измеряемой величины» и «истинное значение измеряемой величины» рассматриваются как эквивалентные.

3.1.2    Обычно результат измерения (В.2.11) является только аппроксимацией или оценкой (С.2.26) значения измеряемой величины и, таким образом, будет полным только в том случае, если он сопровождается указанием неопределенности (В.2.18) этой оценки.

3.1.3    На практике определение (дефиниция) измеряемой величины зависит от требований кточности измерения (В.2.14). Измеряемую величину следует определять с достаточной полнотой (сучетом необходимой точности измерений), чтобы для всех практических целей, связанных с измерением, значение измеряемой величины было единственным. Именно в таком смысле выражение «значение измеряемой величины» используется в настоящем Руководстве.

Пример — Если длину стального стержня номинальной длины 1 м нужно узнать с точностью до микрона, то определение измеряемой величины должно включать температуру и давление, при которых длина стержня должна быть измерена. Таким образом, определение измеряемой величины должно иметь вид, например: длина стержня при температуре 25,00 °С и давлении 101 325 Па (с указанием, возможно, других необходимых параметров, например способа опирания стержня при измерении). Однако если длина стержня должна быть получена с точностью до миллиметра, то определение измеряемой величины не требует указания температуры, давления и иных аналогичных факторов.

Примечание — Недостаточно полное определение измеряемой величины может привести к росту составляющей неопределенности, которая в этом случае должна быть включена в оценку неопределенности результата измерения (см. D.1.1, D.3.4 и D.6.2).

3.1.4    Во многих случаях результат измерения получают на основе ряда наблюдений, выполненных в условиях повторяемости (В.2.15, примечание 1).

3.1.5    Предполагается, что причиной изменчивости результатов повторных наблюдений являются влияющие величины (В.2.10), от которых может зависеть результат измерений и которые невозможно поддерживать в точности постоянными.

3.1.6    Очень важно правильно составить математическую модель, с помощью которой совокупность повторных наблюдений преобразуется в результат измерения, поскольку помимо наблюдений в нее обычно необходимо включать различные влияющие величины, точные значения которых неизвестны. Эта неизвестность вносит вклад в неопределенность результата измерений наряду с изменчивостью результатов повторных наблюдений и с неточностью самой математической модели.

3.1.7    В настоящем Руководстве измеряемая величина рассматривается как скаляр, т.е. ее значение выражается единственным числом. Распространение на случай связанных между собой величин, определяемых одновременно в одном измерении, требует перейти от рассмотрения измеряемой скалярной величины и ее дисперсии (С.2.11, С.2.20, С.3.2) к измеряемой векторной величине и ковариационной матрице (С.3.5). В настоящем Руководстве измерение векторной величины рассматривается только в примерах (см. Н.2, Н.З и Н.4).

3.2 Погрешности, случайные и систематические эффекты, поправки

3.2.1    Погрешность (В.2.19) результата измерения обусловлена несовершенством измерительной процедуры. Традиционно погрешность рассматривают как сумму двух составляющих: случайной (В.2.20) и систематической (В.2.21).

Примечание — Погрешность является идеализированным понятием, поскольку на практике ее точное значение неизвестно.

3.2.2    Предполагается, что случайная погрешность возникает из непредсказуемых временных или пространственных изменений влияющих величин. Следствием таких изменений, называемых далее случайными эффектами, являются изменения измеряемой величины при повторных наблюдениях. Хотя случайную погрешность результата измерения нельзя компенсировать введением поправки, ее можно умень-

4

1

   Примечание к изданию 2008 г.: В 2005 г. к указанным семи международным организациям присоединилось Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК).

2

   Примечание к изданию 2008 г.: В 1995 г. наименования трех международных организаций были изменены. Теперь эти организации имеют следующие наименования: Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ); Международная организация по теоретической и прикладной химии (ИЮПАК); Международная организация по теоретической и прикладной физике (ИЮПАП).

3

   Примечание к изданию 2008 г.: В настоящее время ссылка на адреса восьми международных организаций, поддержавших разработку Руководства, приведены на сайте Объединенного комитета по разработке руководств в области метрологии (JCGM) http://www.bipm.org/en/committees/jc/jcgm.

4

В оригинале Рекомендация INC-1 (1980) приведена дважды: на французском языке в А.1 и на английском языке в 0.7. Во избежание дублирования подраздел 0.7 Введения из настоящего стандарта исключен.

Издание официальное

5

Примечание к изданию 2008 г.: Ряд таких документов общего и частного характера уже опубликован. Не претендующий на полноту перечень подобных документов можно найти на сайте http://www.bipm.org/en/committees/ jc/jcgm/wglbibliography.html. Кроме того, перечень действующих документов, ссылающихся на Руководство по выражению неопределенности измерений, можно получить, воспользовавшись полнотекстовым поиском на сайтах http://www.iso.org/ и http://www.iec.ch/.

6

Примечание к изданию 2008 г.: Третье издание словаря опубликовано в 2007 г. как Руководство ИСО/МЭК 99 «Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины» [ISO/IEC Guide 99, International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM)].

ГОСТ 34100.3.1-2017/ISO/lEC Guide 98-3/Suppl 1:2008

Группа Т80

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

 НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

 Часть 3

 Руководство по выражению неопределенности измерения

 Дополнение 1

 Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло

 Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 1. Propagation of distributions using a Monte-Carlo method

МКС 17.020

Дата введения 2018-09-01

 Предисловие

Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены в ГОСТ 1.0-2015 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2-2015 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, обновления и отмены»

Сведения о стандарте

1 ПОДГОТОВЛЕН Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 «Статистические методы в управлении качеством продукции» на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии международного документа, указанного в пункте 5

2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии

3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 июля 2017 г. N 101-П)

За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97	Код страны по  МК (ИСО 3166) 004-97	Сокращенное наименование национального органа по стандартизации
Беларусь	BY	Госстандарт Республики Беларусь
Казахстан	KZ	Госстандарт Республики Казахстан
Киргизия	KG	Кыргызстандарт
Россия	RU	Росстандарт

4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 сентября 2017 г. N 1066-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 34100.3.1-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 1:2008 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 сентября 2018 г.

5 Настоящий стандарт идентичен международному документу ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 1:2008* «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло» («Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) — Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method», IDT).

Международный документ разработан Рабочей группой WG 1 Объединенного комитета по руководствам в метрологии JCGM.

Официальные экземпляры международного стандарта, на основе которого подготовлен настоящий межгосударственный стандарт, и международных стандартов, на которые даны ссылки, имеются в Федеральном агентстве по техническому регулированию и метрологии.

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных докуметов соответствующие им межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

7 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Июль 2018 г.

Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе «Национальные стандарты» (по состоянию на 1 января текущего года), а текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

 Введение

0.1 Общие сведения

В настоящем стандарте рассматривается трансформирование распределений для заданной математической модели измерений [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (3.1.6)] с целью получения оценки неопределенности измерений и реализация этой процедуры методом Монте-Карло. Метод применим к моделям с произвольным числом входных величин и единственной выходной величиной.

Метод Монте-Карло является практической альтернативой способу оценки неопределенности по GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (3.4.8)]. Метод имеет особое значение, когда:

a) линеаризация модели не обеспечивает ее адекватного представления;

В случае а) оценки выходной величины и соответствующей стандартной неопределенности, полученные в соответствии с GUM, могут оказаться недостоверными. В случае b) при оценке неопределенности могут быть получены недостоверные интервалы охвата (обобщение понятия расширенной неопределенности, используемого в GUM).

1) наилучших оценок входных величин;

2) стандартных неопределенностей оценок входных величин;

3) числа степеней свободы для стандартных неопределенностей оценок входных величин;

4) всех ненулевых ковариаций пар этих оценок.

Кроме того, полученная плотность распределения вероятностей выходной величины позволяет определить для выходной величины интервал охвата с заданной вероятностью.

Наилучшие оценки входных величин, их стандартные неопределенности, ковариации и числа степеней свободы представляют собой ту информацию, которая необходима для применения метода расчета неопределенности по GUM. Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, основан на использовании плотностей распределения вероятностей входных величин для последующего расчета плотности распределения вероятностей выходной величины.

В то время как для применения способа оценивания неопределенности по GUM существуют некоторые ограничения, трансформирование распределений всегда позволяет получить плотность распределения вероятностей выходной величины на основе распределений входных величин. Плотность распределения вероятностей выходной величины представляет собой выражение знания об этой величине, полученного на основе знаний о входных величинах в виде сопоставленных им распределений. После получения плотности распределения вероятностей выходной величины могут быть определены математическое ожидание, используемое в качестве оценки выходной величины, и стандартное отклонение, используемое в качестве стандартной неопределенности этой оценки. Кроме того, плотность распределения вероятностей может быть использована для получения интервала охвата для выходной величины, соответствующего заданной вероятности.

Использование плотностей распределения вероятностей в соответствии с настоящим стандартом в основном согласуется с принципами GUM. Плотность распределения вероятностей величины отражает состояние знаний об этой величине, т.е. она численно определяет степень доверия тем значениям, которые могут быть приписаны упомянутой величине на основе доступной информации. Информация обычно состоит из необработанных статистических данных, результатов измерения, научных выводов, профессиональных суждений.

Для построения плотности распределения вероятностей случайной переменной на основе наблюдений может быть применена теорема Байеса [27, 33]. Информация о систематических эффектах может быть преобразована в соответствующую плотность распределения вероятностей на основе принципа максимума энтропии [51, 56].

Трансформирование распределений имеет более широкую область применения, чем способ оценивания неопределенности по GUM. Метод трансформирования распределений использует более обширную информацию, чем та, что содержится в наилучших оценках и соответствующих стандартных неопределенностях (а также в числах степеней свободы и ковариациях).

Исторический обзор приведен в приложении А.

Примечание 1 — В GUM рассматривается случай, когда линеаризация модели измерения неприменима [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание к 5.1.2)]. Однако это рассмотрение ограничено использованием только основных нелинейных членов в ряде Тейлора для функции измерения, а также предположением о нормальности распределения входных величин.

Примечание 3 — Плотность распределения вероятностей не следует понимать в смысле частотного описания вероятности.

Примечание 4 — «Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерений, зависит в конечном счете от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении» [17].

0.2 Основные сведения о JCGM

В 1997 г. семью международными организациями, подготовившими в 1993 г. «Руководство по выражению неопределенности измерения» (GUM) и «Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины» (VIM), был образован Объединенный комитет по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемый директором Международного Бюро Мер и Весов (МБМВ), который принял на себя ответственность за указанные документы от Технической консультативной группы по метрологии (ИСО/ТАГ 4).

Учредителями JCGM помимо МБМВ являются Международная электротехническая комиссия (МЭК), Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ), Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК), Международная организация по стандартизации (ИСО), Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП) и Международная организация по законодательной метрологии (МОЗМ).

В рамках JCGM созданы две Рабочие группы (РГ). Задачей РГ 1 «Выражение неопределенности измерения» являются содействие использованию Руководства (GUM), подготовка дополнений к Руководству и иных документов, способствующих его широкому применению. Задачей РГ 2 «Рабочей группы по Международному словарю основных и общих терминов в метрологии (VIM)» являются пересмотр VIM и содействие его применению. Более подробную информацию о деятельности JCGM можно найти на сайте www.bipm.org.

Дополнения к GUM, подобные тому, что положено в основу настоящего стандарта, имеют целью распространить руководство на те аспекты, которые в этом руководстве в полной мере не отражены. При этом, однако, разрабатываемые дополнения соответствуют, насколько это возможно, общей методологии, изложенной в GUM.

      1 Область применения

В настоящем стандарте установлен численный метод, согласующийся с основными принципами GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.1.5)] и предназначенный для получения оценки неопределенности измерения. Этот метод может быть применен к любым моделям, имеющим единственную выходную величину, в которых входные величины характеризуются любыми заданными функциями распределения вероятностей [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.1.4, G.5.3)].

Так же как GUM, настоящий стандарт посвящен вопросам определения выражения для неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (1.2)].

В настоящем стандарте установлены также методы, применимые в ситуациях, когда условия применения способа расчета неопределенности по GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.6.6)] не выполняются или информация об их выполнении отсутствует. Стандарт также может быть применен в ситуациях, когда возникают трудности при оценке неопределенности по GUM, например вследствие сложности модели. Методы изложены в виде, облегчающем их программирование для расчетов на компьютере.

Настоящий стандарт может быть использован для определения плотности распределения вероятностей выходной величины, что позволяет получить:

a) оценку выходной величины;

b) стандартную неопределенность, ассоциированную с этой оценкой;

c) интервал охвата для выходной величины, соответствующий заданной вероятности охвата.

При заданных (i) модели, описывающей взаимосвязь входных величин с выходной величиной, и (ii) плотностях распределения вероятностей входных величин существует единственная плотность распределения вероятностей выходной величины. Как правило, последняя не может быть определена аналитически. Настоящий стандарт позволяет определить величины, указанные в перечислениях а), b) и с) с приемлемой точностью, не используя приближений, которые нельзя оценить количественно.

Настоящий стандарт позволяет получить интервал охвата для заданной вероятности охвата, в том числе вероятностно симметричный и наименьший интервалы.

Настоящий стандарт применим к статистически независимым входным величинам с соответствующими функциями плотности распределения вероятностей, а также к статистически зависимым случайным переменным, описанным совместной плотностью распределения.

Как правило, настоящий стандарт применяют в случаях, когда:

— вклад разных составляющих неопределенности может быть существенно неодинаков [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.2.2)];

— трудно или неудобно находить частные производные от функции измерения, как того требует закон трансформирования неопределенностей;

— распределение выходной величины нельзя считать ни нормальным, ни масштабированным смещенным t-распределением [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.6.5)];

— оценка выходной величины и соответствующая стандартная неопределенность имеют приблизительно одинаковое значение [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.2.1)];

— модель является достаточно сложной [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.1.5)];

— плотности распределения вероятностей входных величин асимметричны [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.5.3)].

Прежде чем применять метод, установленный настоящим стандартом, рекомендуется проверить, позволяют ли условия измерительной задачи использовать способ оценивания неопределенности по GUM. Если условия позволяют, то основным методом расчета остается оценивание неопределенности способом, установленным в GUM.

Значение для неопределенности измерений, как правило, достаточно приводить с одной или двумя значащими цифрами. Методы, установленные настоящим стандартом, позволяют получить оценки с указанной точностью.

Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.

Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним. Он не исключает использования других методов расчета неопределенности, не противоречащих GUM.

Примечание 1 — Настоящий стандарт неприменим к моделям, описываемым многозначными функциями (например, в виде решения квадратного уравнения без указания, какой из корней должен быть выбран).

Примечание 2 — В настоящем стандарте не рассмотрен случай, когда априорно известна плотность распределения вероятностей выходной величины, однако установленный в нем метод может быть модифицирован и для этой ситуации [16].

      2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы*:

ISO/IEC Guide 98-3:2008, Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) (Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM:1995))

ISO/IEC Guide 99:2007, International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM) (Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM))

      3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины по ISO/IEC Guide 98-3 и ISO/IEC Guide 99, некоторые из которых (при необходимости модифицированные) приведены в настоящем разделе.

Обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении G.

3.1 распределение (вероятностей) (probability distribution): Функция, устанавливающая вероятность того, что случайная переменная принимает заданное значение или принадлежит к заданному множеству значений.

Примечание — Сумма вероятностей принятия случайной переменной всех возможных значений равна 1.

[Модифицировано по отношению к ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.3, ISO/IEC Guide 98-3:2008, словарная статья С.2.3]

Примечание 1 — Распределение вероятностей называется одномерным, если оно описывает поведение единственной (скалярной) случайной переменной, и многомерным, если оно описывает поведение вектора случайных переменных. Многомерное распределение вероятностей описывается также совместным распределением этих случайных переменных.

Примечание 2 — Распределение вероятностей может быть представлено в виде функции распределения и плотности распределения вероятностей.

[Модифицировано по отношению к ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.4; ISO/IEC Guide 98-3:2008, словарная статья С.2.4]

3.3 плотность распределения (вероятностей) (probability density function): Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной переменной

[Модифицировано по отношению к ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.5; ISO/IEC Guide 98-3:2008, словарная статья С.2.5]

[Модифицировано по отношению к ISO 3534-1:1993, словарная статья 1.37; Руководство ISO/IEC Guide 98-3:2008, словарная статья С.2.14]

Примечание — Нормальное распределение называют также распределением Гаусса.

Примечание 1 — Не всякая случайная переменная имеет математическое ожидание.

Примечание — Не всякая случайная переменная имеет дисперсию.

Примечание — Не все пары случайных переменных имеют ковариацию.

Примечание 2 — Ковариации также можно трактовать как совместные неопределенности.

Примечание 3 — Матрицу неопределенности также называют матрицей ковариации или дисперсионно-ковариационной матрицей.

_______________

Примечание 1 — Интервал охвата иногда называют байесовским интервалом.

Примечание 2 — В общем случае для заданной вероятности существует более одного интервала охвата.

Примечание 3 — Интервал охвата не следует называть доверительным интервалом, чтобы избежать путаницы с термином, имеющим строгую статистическую интерпретацию [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (6.2.2)].

Примечание 4 — Данное определение отличается от определения, приведенного в ISO/IEC Guide 99:2007, поскольку в настоящем стандарте не использован термин «истинное значение» по причинам, изложенным в GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (E.5)].

3.13 вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной переменной находится в границах интервала охвата.

Примечание — Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [Руководство ISO/IEC Guide 98-3:2008 (6.2.2)].

3.14 длина интервала охвата (length of a coverage interval): Разность наибольшего и наименьшего значений интервала охвата.

3.15 вероятностно симметричный интервал охвата (probabilistically symmetric coverage interval): Интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной переменной меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной переменной больше наибольшего значения (верхней границы) интервала.

3.16 наименьший интервал охвата (shortest coverage interval): Интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата.

3.17 трансформирование распределений (propagation of distributions): Метод, используемый для определения распределения выходной величины на основе распределения входных величин, от которых выходная величина зависит функционально.

Примечание — Метод может быть аналитическим или численным, точным или приближенным.

3.19 метод Монте-Карло (Monte-Carlo method): Метод трансформирования распределений на основе моделирования случайных выборок из этих распределений.

3.20 предел погрешности вычисления (numerical tolerance): Половина длины наименьшего интервала, содержащего все числа, отражающие результат вычислений, которые могут быть корректно представлены заданным числом значащих цифр.

Пример — При использовании в представлении результата вычисления двух значащих цифр записи 1,8 соответствуют все числа более 1,75 и менее 1,85. Тогда предел погрешности вычисления будет равен (1,85-1,75)/2=0,05.

Примечание — Расчет предела погрешности вычисления — см. 7.9.2.

      4 Соглашения и условные обозначения

В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.

Примечание 1 — В настоящем стандарте один и тот же символ использован для физической величины и случайной переменной, которая эту величину представляет [см. ISO/IEC Guide 98-3:2008 (4.1.1, примечание 1)].

Примечание 2 — Хотя многие модели измерений могут быть представлены формулой (1), более общим представлением является

Примечание — Определения, приведенные в разделе 3, даны в соответствии с изложенным соглашением об обозначениях.

4.5 Плотность распределения вероятностей нескольких случайных переменных часто называют совместной, даже если все входные величины являются независимыми.

Примечание — Символ с «крышкой» в литературе по математической статистике используют для обозначения оценки.

4.9 В настоящем стандарте термин «закон трансформирования неопределенностей» используют в смысле аппроксимации функции измерения рядом Тейлора первого порядка. Этот термин также может быть применен при использовании разложения в ряд более высокого порядка.

4.11 В настоящем стандарте использованы термины «интервал охвата» и «вероятность охвата». В GUM в качестве синонима «вероятности охвата» использован термин «уровень доверия» с предупреждением, что это не то же самое, что «доверительная вероятность» [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (6.2.2)], поскольку последний термин имеет специальное определение в математической статистике. Так как в некоторых языках перевод с английского терминов «уровень доверия» и «доверительная вероятность» совпадает, в настоящем стандарте термин «уровень доверия» не используется.

_______________

4.13 Если не определено иначе, то числа представляют с заданным количеством значащих цифр.

4.14 Некоторые символы, использованные в настоящем стандарте, имеют более одного значения (см. приложение G). Однако их смысл понятен из контекста.

4.15 В настоящем стандарте использованы следующие сокращения:

CGPM — Генеральная конференция по мерам и весам;

IEEE — Институт инженеров электротехники и электроники;

JCGM — Объединенный комитет по руководствам в метрологии;

GUM — Руководство по выражению неопределенности измерения;

VIM — Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины.

      5 Общие принципы

5.1 Основные этапы оценки неопределенности

5.1.1 Основные этапы оценки неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:

a) формулировка измерительной задачи включает в себя:

Примечание 1 — В некоторых случаях оценка выходной величины в виде математического ожидания может оказаться неприемлемой [см. ISO/IEC Guide 98-3:2008 (4.1.4)].

Примечание 2 — Некоторые величины, например подчиняющиеся распределению Коши, не имеют математического ожидания и стандартного отклонения. Однако интервал охвата для выходной величины всегда может быть построен.

5.1.2 При оценке неопределенности по GUM функции распределения входных величин в явном виде не используют. Однако в соответствии с ISO/IEC Guide 98-3:2008 (3.3.5) «…стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения вероятностей…, полученной из распределения частот…, а стандартную неопределенность типа В — по предполагаемой плотности распределения вероятностей, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события… Оба подхода используют общепринятые интерпретации понятия вероятности».

Примечание — Трактовка распределения вероятностей при определении оценки неопределенности типа В характерна для байесовского анализа [21, 27]. В настоящее время продолжаются исследования [22] границ применимости формулы Уэлча-Саттертуэйта для расчета числа степеней свободы, приписываемых стандартной неопределенности.

5.1.3 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог с возможным участием специалиста в той области знаний, в которой проводят измерение. В настоящем стандарте приведены рекомендации по выбору плотности распределения вероятностей [стадия 4) этапа а) в соответствии с 5.1.1] для некоторых общих случаев (см. 6.4). Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в соответствии с 5.1.1], для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой допустимой точностью для поставленной задачи.

Примечание — Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.1.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины формально полностью определена. Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и интервала охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения.

5.2 Трансформирование распределений

Этот способ основан на применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений входных величин (см. 5.9).

5.3 Получение окончательного результата

X — величина (безразмерная), Y — функция распределения

5.4 Способы трансформирования распределений

5.4.1 Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:

b) применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами первого порядка [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.2)];

c) применением того же закона трансформирования неопределенностей [см. перечисление b) выше], но с учетом членов разложения более высокого порядка [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание к 5.1.2)];

d) численными методами [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (см. 5.9).

Примечание 1 — Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Применение аналитических методов и примеры их использования приведены в [8, 13]. Далее эти методы в настоящем стандарте рассматриваются только в примерах (см. раздел 9).

Примечание 2 — Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценке неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании случайного процесса нет необходимости.

5.4.2 GUM допускает применение подходов к оценке неопределенности, отличных от того, что использован в самом GUM [см. ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.1.5)]. Однако самым общим из этих подходов является тот, что установлен в настоящем стандарте и основан на трансформировании распределений. Для линейных и линеаризованных функций измерения и входных величин, подчиняющихся нормальному распределению, такой подход согласуется с подходом GUM. Однако в случаях, когда условия применения подхода GUM не выполняются (см. 5.7 и 5.8), подход, установленный в настоящем стандарте, позволяет получить обоснованные заключения о неопределенности.

5.4.3 Трансформирование распределений требует выбора подходящего метода. Если можно продемонстрировать, что условия, необходимые для получения достоверных результатов в соответствии с GUM, выполнены, то может быть использован подход GUM. Если имеются основания полагать, что оценка неопределенности, полученная по GUM, окажется недостоверной, то должен быть применен другой подход. Может возникнуть ситуация, когда сложно оценить обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM. Однако во всех трех вышеописанных случаях хороший результат может быть получен с использованием метода Монте-Карло. В первом случае метод Монте-Карло может быть проще в применении, например, вследствие трудностей вычисления коэффициентов чувствительности [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.3)]. Во втором случае метод Монте-Карло позволит получить достоверный результат, так как его применение не требует использования дополнительных предположений. В третьем случае метод Монте-Карло может быть применен как собственно для получения оценки неопределенности, так и для оценки качества результатов, полученных способом расчета неопределенности по GUM.

5.4.5 На практике только в самых простых случаях преобразование распределений может быть выполнено без приближений. При оценке неопределенности по GUM применяется один метод приближения, в методе Монте-Карло — другой. Для небольшой, но важной подгруппы задач оценки неопределенности в соответствии с GUM не требуется применения приближений (решение является точным). Метод Монте-Карло не позволяет получить точные результаты, но для широкого класса задач он будет более обоснованным, чем подход GUM.

5.5 Представление результатов

5.5.1 После выполнения трансформирования распределений должна быть отражена, как правило, следующая информация:

e) другая значимая информация, такая как тип интервала охвата (вероятностно симметричный или наименьший).

Примечание 1 — Представляемое численное значение обычно получают путем округления числа, содержащего большее количество значащих цифр.

Примечание 3 — Если полученные результаты должны быть использованы в дальнейших вычислениях, следует определить, есть ли необходимость в сохранении большего числа значащих цифр.

5.6 Оценивание неопределенности по GUM

5.6.1 В GUM установлено общее руководство, распространяющееся на разные аспекты последовательного оценивания неопределенности в соответствии с 5.1.1, и установлен способ оценивания неопределенности для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов измерения. Общая схема оценивания неопределенности, установленная GUM, принята многими организациями, нашла широкое практическое применение, используется в стандартах и руководствах, в которых рассматриваются вопросы оценки неопределенности измерения, и реализована в программных средствах.

5.7 Условия применимости способа оценивания по GUM в случае линейной модели

5.7.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM при выполнении следующих условий:

5.8 Условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM для нелинейных моделей

5.8.1 Закон трансформирования неопределенностей может быть применен для нелинейных моделей при выполнении следующих условий:

b) условие a) справедливо в отношении производных всех порядков, используемых в законе трансформирования неопределенностей;

Примечание 5 — Если требуемое для существенно нелинейной функции измерения аналитическое определение частных производных высших порядков представляет трудности или может привести к ошибкам, то допускается применение методов численного дифференцирования с использованием соответствующего программного обеспечения. Как вариант, частные производные могут быть аппроксимированы численно методом конечных разностей [5]. (В GUM приведена формула конечно-разностной аппроксимации для вычисления частных производных первого порядка [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание 2 к 5.1.3)].) Однако следует соблюдать осторожность, оперируя конечными разностями для близких значений функции, поскольку погрешности округления чисел при использовании арифметики с конечной точностью способны привести к значительным ошибкам в расчетах.

5.8.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM, если выполнены условия a), b) и c), установленные в 5.7.2, а примечание 3 из 5.8.1 заменено на следующее: «Условие c) необходимо для того, чтобы интервал охвата мог быть определен из распределений этих величин».

5.8.3 Если условия 5.8.1 или 5.8.2 выполнены (что справедливо для многих практических ситуаций), то этого обычно достаточно для корректного применения способа оценивания неопределенности по GUM.

5.9 Метод Монте-Карло для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов

5.9.3 Математическое ожидание и дисперсия (а также более высокие моменты распределения) могут быть определены непосредственно по выборке на выходе модели. Для определения интервала охвата необходимо предварительно эту выборку упорядочить.

Примечание 1 — Формирование выборки из распределений вероятностей рассматривается в 6.4 и в приложении C.

Рисунок 4 — Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло

5.10 Условия применимости метода Монте-Карло

5.10.1 Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений с получением результатов оценивания неопределенности требует выполнения следующих условий:

1) непрерывна на интервале, где ее значения строго положительны,

2) унимодальна (т.е. имеет единственный максимум),

3) равна нулю или монотонно возрастает слева от моды и монотонно убывает или равна нулю справа от моды;

Примечание 1 — В отличие от требования a) непрерывности самой функции измерения никаких условий на производные этой функции не налагается.

Примечание 2 — Условия a) и b) обеспечивают однозначность функции обратной функции распределения и, следовательно, позволяют определить интервал охвата. Если определение интервала охвата не требуется, то необходимым является только условие a).

Примечание 3 — Условие c) необходимо только в случае определения наименьшего интервала охвата. Тогда условие c) обеспечивает единственность наименьшего интервала охвата, соответствующего заданной вероятности охвата. Если мода является граничной точкой интервала, на котором плотность распределения вероятностей отлична от нуля, то одно из двух условий перечисления 3) является лишним.

Примечание 5 — Условие e) необходимо для обеспечения достоверности результатов оценивания неопределенности (см. 8.2).

5.10.2 Если условия, указанные в 5.10.1, выполнены, то результаты оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло можно считать достоверными. Эти условия менее жесткие, чем те, выполнение которых необходимо для оценивания неопределенности по GUM (см. 5.7 и 5.8).

5.11 Сравнение способов оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло

5.11.1 Целью подраздела является сравнение принципов, лежащих в основе оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, используемого для преобразования распределений. В настоящем подразделе приведены некоторые обоснования использования метода Монте-Карло в условиях, когда обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM остается неясной.

5.11.2 Для сравнения способа оценивания неопределенности по GUM с методом Монте-Карло полезно сделать обзор основных положений GUM, касающихся оценивания неопределенностей типа А и типа В. При определении оценки неопределенности типа A GUM позволяет получить наилучшую оценку величины и соответствующей стандартной неопределенности в виде среднего арифметического и выборочного стандартного отклонения, полученных на основе независимых наблюдений. При определении оценки неопределенности типа В используют априорные знания о величине для описания с ее помощью плотности распределения вероятностей, на основе которых определяют наилучшую оценку величины и соответствующую стандартную неопределенность. В соответствии с GUM оба типа оценок основаны на использовании распределений вероятностей [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (3.3.4)] и общепризнанных интерпретаций вероятности [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (3.3.5)]. В подходе GUM оценивание неопределенности подразумевает трансформирование распределений вероятностей, поскольку входной и выходной величинам в нем ставятся в соответствие случайные переменные, обладающие своими распределениями вероятностей [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (G.6.6)] (см. также 5.1.2).

5.11.3 В методе оценивания неопределенности по GUM плотность распределения вероятностей выходной величины в явном виде не определяют. Ссылки настоящего стандарта при рассмотрении подхода GUM на распределение выходной величины исходят из того, что существование такого распределения обусловлено смыслом процедуры оценивания.

5.11.4 Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, в максимально возможной степени совместим с GUM, особенно в отношении использования плотностей распределения вероятностей для описания всех входящих в модель измерения величин, но может отличаться от него в следующем:

5.11.6 Метод Монте-Карло обладает следующими преимуществами:

a) сокращаются аналитические расчеты в случае более сложных или нелинейных моделей, особенно вследствие того, что не требуется определение частных производных первого или более высоких порядков, необходимых для оценки коэффициентов чувствительности в соответствии с законом трансформирования неопределенности;

e) для определения интервала охвата не требуется использования коэффициента охвата [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (2.3.6)].

      6 Плотности распределения вероятностей входных величин

6.1 Общие положения

Примечание — В некоторых случаях выбор приписываемой плотности распределения вероятностей может быть основан на иных соображениях. Но всегда должны быть зафиксированы основания, положенные в основу этого выбора.

Примечание — В ряде случаев от всех или некоторых зависимостей между входными величинами можно избавиться посредством их замены на другие переменные величины [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (F.1.2.4, Н.1.2)]. Такая замена может упростить применение как закона трансформирования неопределенностей, так и закона трансформирования распределений. Более подробно этот вопрос с иллюстрацией примерами рассмотрен в [15].

6.1.6 В настоящем стандарте не приводятся подробные рекомендации по выбору плотностей распределения вероятностей, индивидуальных или совместных. Вид выбранной плотности распределения вероятностей в неявном виде включает в себя знания и практический опыт метролога, составляющего модель измерения, который в конечном счете несет ответственность за качество конечных результатов.

6.1.7 Справочным руководством по видам распределения вероятностей может служить [18].

6.2 Теорема Байеса

6.2.2 В соответствии с теоремой Байеса для уточнения плотности распределения вероятностей используют произведение априорной плотности распределения вероятностей на функцию правдоподобия [20]. Функция правдоподобия в случае независимых наблюдений является произведением значений плотностей распределения вероятностей (например, гауссовых с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией) для полученных наблюдений. Апостериорную плотность распределения вероятностей получают интегрированием произведения априорной плотности распределения вероятностей и функции правдоподобия по всем возможным значениям дисперсии с последующей нормировкой.

Примечание 2 — Теорема Байеса может быть также применена для разных предположений о виде распределения наблюдаемых случайных переменных, например, когда их неизвестные математическое ожидание и стандартное отклонение полагают равными между собой.

6.3 Принцип максимума энтропии

6.3.1 При использовании принципа максимума энтропии, введенного Джейнсом [25], выбирают единственную плотность распределения вероятностей из всех возможных распределений с заданными свойствами, например заданными центральными моментами различного порядка или заданными интервалами, на которых плотность распределения вероятностей не равна нулю. Этот метод особенно полезен для выбора плотности распределения вероятностей величин, для которых данные наблюдений недоступны, или величин, которые невозможно измерить.

6.4 Выбор плотности распределения в некоторых типичных условиях

6.4.1 Общие положения

Сведения, приведенные в 6.4.2-6.4.11, и графическое представление распределений, к которым эти сведения относятся, собраны в таблице 1.

Примечание — Графики плотностей распределения вероятностей в таблице 1 даны без соблюдения масштаба. График многомерного нормального распределения не показан.

6.4.2 Равномерное (прямоугольное) распределение

Таблица 1 — Информация о случайной переменной и вид соответствующей плотности распределения вероятностей

Информация о величине	Распределение вероятностей	Пункт
Нижняя и верхняя границы: ,	Равномерное		6.4.2
Неточно известные нижняя и верхняя границы: ,	Криволинейно-трапецеидальное		6.4.3
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами ( , ) и ( , ) соответственно	Трапецеидальное ; , ,		6.4.4
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами ( , ) и ( , ) и равной длиной носителя	Треугольное Т ( , ); ,		6.4.5
Гармоническое колебание между нижней ( ) и верхней ( ) границами	Арксинусное (U-образное) U( , )		6.4.6
Наилучшая оценка и ее стандартная неопределенность	Нормальное (гауссово) N(x, )		6.4.7
Наилучшая оценка векторной величины и соответствующая матрица неопределенности	Многомерное нормальное (гауссово) N( , )		6.4.8
Выборка независимых наблюдений , …, из нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией	-распределение (Стьюдента); ; ,		6.4.9.2
Наилучшая оценка , расширенная неопределенность , коэффициент охвата , число эффективных степеней свободы	-распределение (Стьюдента); ( , )		6.4.9.7
Наилучшая оценка неотрицательной величины	Экспоненциальное		6.4.10
Число подсчитанных объектов в выборке	Гамма-распределение		6.4.11

6.4.3 Равномерное распределение с неточно известными границами

Примечание — Формула (3) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:

и

6.4.4 Трапецеидальное распределение

где

Примечание — Формула (7) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:

6.4.5 Треугольное распределение

Примечание — Формула (8) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:

6.4.6 Арксинусное (U-образное) распределение

Примечание — Посредством замены переменной

Это частный случай бета-распределения, когда оба параметра распределения равны одной второй.

6.4.7 Нормальное распределение (распределение Гаусса)

6.4.8 Многомерное нормальное распределение

Примечание 2 — Из многомерных распределений в настоящем стандарте рассматривается только многомерное нормальное распределение, часто применяемое на практике. Процедура получения выборки из многомерного нормального распределения приведена выше (а также в разделе С.5). Если необходимо использовать многомерное распределение, отличное от нормального, то необходимо определить процедуру формирования выборки из этого распределения.

представляют собой соответственно выборочное среднее и выборочную дисперсию [20].

Примечание 2 — В байесовской интерпретации вероятности, использованной в настоящем стандарте, такого понятия, как надежность оценки неопределенности, не существует. Соответственно, в настоящем стандарте число степеней свободы оценки неопределенности типа А не рассматривается как мера этой неопределенности, а понятие числа степеней свободы для оценки неопределенности типа В не используется.

а формулу (13) — на

6.4.10 Экспоненциальное распределение

Примечание — Дополнительную информацию в отношении приписывания плотности распределения вероятностей неотрицательной величине можно найти в [14].

6.4.11 Гамма-распределение

Примечание 2 — Гамма-распределение является обобщением распределения хи-квадрат и используется для анализа информации, относящейся к дисперсиям.

6.5 Распределения, получаемые по предшествующим расчетам неопределенности

Выполненные ранее вычисления неопределенности могут быть использованы для приписывания распределения выходной величине, которая в последующих расчетах неопределенности может выступать в качестве входной величины. Такое распределение может иметь аналитическое представление, например в виде нормального распределения. Оно может также иметь вид аппроксимации функции распределения для величины, полученной, например, при предшествующем применении метода Монте-Карло. Способы описания такой функции распределения приведены в 7.5.1 и разделе D.2.

      7 Применение метода Монте-Карло

7.1 Общие положения

Данный раздел содержит сведения о применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений (см. процедуру, описанную в 5.9.6 и графически изображенную на рисунке 4).

7.2 Число испытаний при применении метода Монте-Карло

7.3 Выборка из распределения вероятностей

Примечание — Для достоверности результатов применения метода Монте-Карло необходимо, чтобы генераторы псевдослучайных чисел, используемые для формирования выборок из заданных распределений, обладали соответствующими свойствами. В С.3.2 приведены некоторые критерии проверки сформированных выборок на случайность.

7.4 Оценка выходной величины

Примечание — При использовании закона трансформирования неопределенностей, когда аналитические выражения производных функции измерения по входным величинам известны точно, значения выходной величины и этих производных получают в точке наилучших оценок входных величин. Если аналитические выражения для производных неизвестны и для их оценок используют приближение в виде конечных разностей, то получают значения только выходной величины. Согласно рекомендации GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание 2 к 5.1.3)] значения функции измерения берут в точках наилучших оценок входных величин, а также в точках, отстоящих по обе стороны от этих наилучших оценок на расстоянии одной стандартной неопределенности (варьируя по очереди для каждой входной величины). В методе же Монте-Карло значения выходной величины получают при варьировании входных величин в окрестности их наилучших оценок, так что в отдельной выборке значение входной величины может отстоять от ее наилучшей оценки на несколько стандартных отклонений. Тот факт, что в методе Монте-Карло значения функции измерений получают в разных точках, может породить вопрос о свойствах вычислительной процедуры, в частности о ее устойчивости и (в случае применения адаптивной процедуры) сходимости. При возникновении сомнений пользователю следует убедиться в том, что метод дает достоверные оценки выходной величины для достаточно больших окрестностей наилучших оценок входных величин. Однако следует ожидать, что вопросы устойчивости и сходимости численного метода могут стать критическими только в исключительных случаях.

7.5 Дискретное представление функции распределения выходной величины

Примечание 4 — Необходимость внесения малых возмущений на этапе b) в действительности маловероятна из-за огромного множества различных чисел с плавающей запятой, появляющихся на выходе модели при подаче на ее вход данных с генератора случайных чисел. Тем не менее возможность внесения малых возмущений должна быть предусмотрена применяемыми программными средствами.

7.6 Оценка выходной величины и ее стандартной неопределенности

Примечание 1 — Для численных вычислений следует использовать формулу (17), а не эквивалентную ей математически формулу

7.7 Интервал охвата для выходной величины

7.8 Время вычислений

7.8.1 Большая часть времени вычислений по методу Монте-Карло расходуется на выполнение следующих трех этапов:

Примечание 2 — Ориентировочно оценку времени вычислений методом Монте-Карло можно выполнить на примере, задав модель измерения в виде суммы пяти членов:

составляет соответственно 20%, 20% и 60% общего времени вычислений, равного приблизительно нескольким секундам при выполнении расчетов на персональном компьютере с тактовой частотой в несколько гигагерц.

7.9 Адаптивная процедура реализации метода Монте-Карло

7.9.1 Общие положения

7.9.2 Точность вычисления числовых значений

7.9.3 Назначение адаптивной процедуры

В результате применения адаптивной процедуры, приведенной в 7.9.4, должны быть определены:

При этом числовые значения каждой из вышеуказанных четырех величин должны в среднем удовлетворять заданной точности вычисления.

Примечание 1 — То, что выполнение требования к точности вычислений может быть гарантировано не безусловно, а только в среднем, обусловлено природой случайности, на которой основан метод Монте-Карло.

7.9.4 Процедура

Практическая реализация адаптивной процедуры метода Монте-Карло с последовательным увеличением числа испытаний состоит в следующем:

Примечание 6 — Множитель 2, используемый на этапе k), основан на представлении выборочных средних в виде случайных переменных, подчиняющихся нормальному распределению, и соответствует вероятности охвата, приблизительно равной 95%.

      8 Проверка результатов

8.1 Проверка результатов оценивания неопределенности по GUM сравнением с методом Монте-Карло

8.1.1 Способ оценивания неопределенности по GUM во многих случаях работает хорошо. Однако не всегда можно сразу определить, соблюдены ли все условия для его применения (см. 5.7 и 5.8). Обычно гораздо проще оценить неопределенность с использованием метода Монте-Карло (при наличии соответствующего программного обеспечения), чем выяснить, выполнены ли все условия оценивания по GUM [8]. При наличии сомнений в обоснованности применения способа оценивания по GUM полученные с его помощью результаты нуждаются в проверке, а поскольку диапазон условий, при которых может быть применен метод Монте-Карло, значительно шире, чем для метода по GUM, то для такой проверки рекомендуется сопоставить результаты оценивания по GUM с результатами оценивания методом Монте-Карло. Если сравнение подтвердит обоснованность применения GUM, то способ оценивания неопределенности по GUM можно будет применять в будущем для схожих задач. В противном случае следует рассмотреть возможность замены на другой способ оценивания неопределенности, включая тот же метод Монте-Карло.

8.1.2 При сравнении двух методов рекомендуется руководствоваться следующей двухэтапной процедурой:

b) сравнивают интервалы охвата, полученные в соответствии со способом оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, чтобы определить, получено ли в значениях границ интервала охвата, вычисленных по GUM, необходимое число верных значащих цифр. При этом определяют:

8.2 Применение метода Монте-Карло при проведении проверки

      9 Примеры

9.1 Иллюстрация положений настоящего стандарта

9.1.1 Приведенные в настоящем разделе примеры иллюстрируют различные вопросы применения положений настоящего стандарта, включая использование способа оценивания неопределенности по GUM с учетом и без учета членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков и сопоставление полученных с его помощью результатов с результатами:

c) сочетающими перечисленное в a) и b).

9.1.3 Как правило, результаты представлены в виде, установленном в 5.5. Однако для облегчения сравнения результатов, полученных разными методами, часто используется более рекомендованных одной или двух значащих цифр.

_______________

9.1.5 Первый пример (см. 9.2) представляет собой аддитивную модель. Он демонстрирует совпадение результатов, полученных с применением метода Монте-Карло, с теми, что получены способом оценивания неопределенности по GUM в случае выполнения условий применимости последнего (см. 5.7). Эта модель рассмотрена для различных плотностей распределения вероятностей для входных величин, что позволяет показать некоторые отклонения результатов в ситуациях, когда выполнены не все условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM.

9.1.6 Второй пример (см. 9.3) представляет собой задачу калибровки при измерении массы. Он показывает, что способ оценивания неопределенности по GUM дает достоверные результаты для данного примера только в том случае, когда учтены вклады членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков.

9.1.7 Третий пример (см. 9.4) относится к области электрических измерений. Он показывает, что плотность распределения вероятностей для выходной величины может быть существенно асимметричной, и, таким образом, способ оценивания неопределенности по GUM может дать недостоверные результаты даже при учете членов разложения функции измерения в ряд Тейлора высших порядков. Рассмотрены случаи как независимых, так и зависимых входных величин.

9.1.8 Четвертый пример (см. 9.5) — это пример калибровки концевой меры длины, взятый из GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (раздел Н.1)]. Даны пояснения относительно используемых в примере входных величин модели и плотностей распределения вероятностей для этих величин, а также приведено сравнение результатов, получаемых по GUM, с полученными с использованием метода Монте-Карло. Результаты получены как для приближения, использованного в GUM, так и без использования этого приближения для данной измерительной задачи.

9.2 Аддитивная модель

9.2.1 Постановка задачи

В настоящем примере рассмотрена аддитивная модель

Примечание — Более подробная информация об аддитивных моделях, подобных описываемым формулой (21), где входные величины распределены либо по нормальному, либо по равномерному закону, либо частью по нормальному, а частью по равномерному закону, приведена в [13].

9.2.2 Нормально распределенные входные величины

9.2.2.2 Полученные результаты [с тремя значащими цифрами для облегчения их сопоставления (см. 9.1.3)] приведены в первых пяти столбцах таблицы 2.

X — величина (безразмерная), Y — плотность распределения вероятностей

Метод				Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата			Достоверность результатов по GUM ( 0,05) подтверждена?
GUM	—	0,00	2,00	[-3,92, 3,92]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,00	2,00	[-3,94, 3,92]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,00	2,00	[-3,92, 3,92]	—	—	—
Монте-Карло, адаптивный	1,23·10	0,00	2,00	[-3,92, 3,93]	0,00	0,01	Да
Монте-Карло, адаптивный	1,02·10	0,00	2,00	[-3,92, 3,92]	0,00	0,00	Да
Аналитический	—	0,00	2,00	[-3,92, 3,92]	—	—	—

9.2.2.9 В 9.4 дан пример асимметричной плотности распределения вероятностей, для которой наименьший интервал охвата существенно отличается от вероятностно симметричного.

X — значение функции вероятности для левой границы интервала охвата, Y — длина интервала охвата

9.2.3 Входные величины, описываемые равномерными распределениями с одинаковым носителем

Метод				Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата			Достоверность результатов по GUM ( 0,05) подтверждена?
GUM	—	0,00	2,00	[-3,92, 3,92]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,00	2,01	[-3,90, 3,89]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,00	2,00	[-3,89, 3,88]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,00	2,00	[-3,88, 3,88]	—	—	—
Монте-Карло, адаптивный	1,02·10	0,00	2,00	[-3,88, 3,89]	0,04	0,03	Да
Монте-Карло, адаптивный	0,86·10	0,00	2,00	[-3,87, 3,87]	0,05	0,05	Нет
Аналитический	—	0,00	2,00	[-3,88, 3,88]	—	—	—

X — величина (безразмерная), Y — плотность распределения вероятностей

Рисунок 8 — То же, что и на рисунке 6, но для равномерно распределенных входных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и одинаковыми стандартными неопределенностями

9.2.4 Входные величины, описываемые равномерными распределениями с различными параметрами

Таблица 4 — То же, что и в таблице 3, в случае, когда четвертая входная величина имеет стандартное отклонение, равное десяти, и нет аналитического решения

Метод				Вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата			Достоверность результатов по GUM ( 0,05) подтверждена?
GUM	—	0,0	10,1	[-19,9, 19,9]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,0	10,2	[-17,0, 17,0]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,0	10,2	[-17,0, 17,0]	—	—	—
Монте-Карло	10	0,0	10,1	[-17,0, 17,0]	—	—	—
Монте-Карло, адаптивный	0,03·10	0,1	10,2	[-17,1, 17,1]	2,8	2,8	Нет
Монте-Карло, адаптивный	0,08·10	0,0	10,1	[-17,0, 17,0]	2,9	2,9	Нет

X — величина (безразмерная), Y — плотность распределения вероятностей

Рисунок 9 — То же, что и на рисунке 8, за исключением того, что стандартное распределение четвертой входной величины равно 10

9.3 Калибровка массы

9.3.1 Постановка задачи

Формулу (23) можно представить в приближенном виде, пригодном для большинства практических ситуаций:

Примечание — Применение закона трансформирования неопределенности к «точной» модели, задаваемой формулой (23), затруднительно из-за сложного вида частных производных. К «точной» модели проще применить метод Монте-Карло, поскольку в этом случае необходимо только сформировать выходные значения модели.

	Распределение	Параметры
		Математическое ожидание	Стандартное отклонение	Математическое ожидание	Половина длины носителя
		100000,000 мг	0,050 мг
		1,234 мг	0,020 мг
				1,20 кг/м	0,10 кг/м
				8·10 кг/м	1·10 кг/м
				8,00·10 кг/м	0,05·10 кг/м

9.3.2 Трансформирование распределений и получение результатов

Таблица 6 — Результаты вычислений для калибровки массы

Метод	, мг	, мг	Наименьший 95%-ный интервал охвата, мг	, мг	, мг	Достоверность результатов по GUM ( 0,005) подтверждена?
GUM, с использованием членов 1-го порядка	1,2340	0,0539	[1,1285, 1,3395]	0,0451	0,0430	Нет
Монте-Карло	1,2341	0,0754	[1,0834, 1,3825]
GUM, с использованием членов более высокого порядка	1,2340	0,0750	[1,0870, 1,3810]	0,0036	0,0015	Да

9.3.2.5 В таблице 7 приведены частные производные первого порядка функции измерения [формула (24)] по входным величинам и коэффициенты чувствительности, т.е. значения этих производных в точках наилучших оценок входных величин. Эти данные показывают, что для рассматриваемого примера при применении способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов первого порядка разложения может быть использована аддитивная модель

Метод Монте-Карло такой аппроксимации не требует.

Таблица 7 — Коэффициенты чувствительности для модели измерения [формула (24)] в примере калибровки массы

	Частная производная	Коэффициент чувствительности
		1
		1
		0
		0
		0

9.4 Определение коэффициента рассогласования для калибровки измерителя мощности СВЧ-сигнала методом сравнения

9.4.1 Постановка задачи

Отношение, определенное формулой (25), называют коэффициентом рассогласования, знание которого необходимо для проведения калибровки методом сравнения [1, 28].

Примечание — На практике инженер-электрик может затрудняться в числовом определении ковариации. В таких случаях оценивание неопределенности может быть повторено в испытаниях с различными численными значениями коэффициента корреляции, чтобы изучить его влияние. В данном примере проведены вычисления с коэффициентом корреляции, равным нулю и 0,9 (см. 9.4.1.7).

9.4.2 Трансформирование распределений и получение результатов при нулевой ковариации между входными величинами

9.4.2.1 Общие положения

9.4.2.1.1 Оценивание неопределенности основано на трансформировании распределений, реализованном:

a) аналитически (в целях сравнения);

b) с использованием способа оценивания неопределенности по GUM;

c) с использованием метода Монте-Карло.

b) с использованием способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов более высокого порядка для того, чтобы охарактеризовать выходную величину нормальной плотностью распределения (колоколообразная кривая);

c) с использованием метода Монте-Карло (гистограмма).

9.4.2.2.3 Из рисунка 11 видно, что использование способа оценивания неопределенности по GUM с учетом членов более высокого порядка для описания выходной величины нормальным распределением дает плотность распределения вероятностей, которая существенно отличается от полученной аналитическим решением. Аналитическое решение представляет собой частный случай распределения хи-квадрат (распределение суммы квадратов двух случайных переменных, каждая из которых подчиняется стандартному нормальному распределению) (см. раздел F.2).

9.4.2.2.4 Так как все частные производные функции измерения [формула (28)] порядка выше двух равны нулю, полученное решение, по существу, соответствует учету всех членов ряда Тейлора, т.е. полному учету нелинейности рассматриваемой модели. Следовательно, полученное нормальное распределение является наилучшим приближением из всех возможных, определяемых по GUM для описания свойств выходной величины.

9.4.2.2.5 Можно сделать вывод, что причина расхождения результатов применения аналитического метода и способа оценивания неопределенности по GUM в том, что в последнем случае для описания выходной величины использовано нормальное распределение, которое, однако, не может адекватно аппроксимировать аналитическое решение для данной конкретной задачи.

9.4.2.2.6 Из рисунка 11 видно также, что плотность распределения, полученная методом Монте-Карло, полностью согласуется с аналитическим решением.

a) аналитически;

b) с использованием способа оценивания неопределенности по GUM;

c) с применением метода Монте-Карло.

			Наименьший 95%-ный интервал охвата для
	A	G	M	A	G1	G2	M	A	G1	G2	M
0,000	50	0	50	50	0	50	50	[0, 150]	[0,0]	[-98, 98]	[0, 150]
0,010	150	100	150	112	100	112	112	—	[-96, 296]	[-119, 319]	[0, 367]
0,050	2550	2500	2551	502	500	502	502	—	[1520, 3480]	[1515, 3485]	[1590, 3543]

Рисунок 12 — Длина 95%-ного интервала охвата в зависимости от значения функции вероятности для левой границы интервала охвата, построенного с использованием метода Монте-Карло для модели, описываемой формулой (28)

9.4.2.3.4 Соответствующие значения границ интервалов приведены в предпоследней строке таблицы 8.

9.4.2.4.2 Соответствующие значения границ интервалов приведены в последней строке таблицы 8.

9.4.2.5 Анализ результатов

9.4.3 Трансформирование распределений и получение результатов при ненулевой ковариации между входными величинами

9.4.3.1 Общие положения

Примечание — Не принимая во внимание необходимость формирования случайной выборки из многомерного распределения, реализация метода Монте-Карло для случая коррелированных входных величин будет не намного сложнее, чем для некоррелированных.

			Наименьший 95%-ный интервал охвата для
	A	G	M	A	G	M	A	G	M
0,000	50	0	50	67	0	67	—	[0,0]	[0,185]
0,010	150	100	150	121	100	121	—	[-96, 296]	[13, 398]
0,050	2550	2500	2551	505	500	504	—	[1520, 3480]	[1628, 3555]

9.4.3.3 Анализ результатов

9.5 Калибровка концевой меры длины

9.5.1 Постановка задачи: модель измерения

Примечание 1 — В GUM рассматривается та же измерительная задача (раздел Н.1).

а в качестве приближения формулы (30), применимого в большинстве практических ситуаций, может быть использована формула

или

Эти зависимости могут быть рассмотрены как модели измерительной задачи.

9.5.2 Постановка задачи: приписывание плотностей распределения вероятностей входным величинам

9.5.2.1 Общие положения

В последующих подпунктах приведена информация о каждой входной величине моделей, соответствующих формулам (36) и (37). Используемая информация основана на описании, приведенном в GUM, и каждый раз дается ссылка на соответствующий структурный элемент GUM, откуда эта информация взята. Кроме того, показано, каким образом указанная информация используется при выборе распределения входных величин. Все сведения, связанные с приписыванием распределений входным величинам моделей измерений, собраны в таблицу 10.

Таблица 10 — Плотности распределения вероятностей для входных величин для моделей концевых мер длины (36) и (37) на основе доступной информации (9.5.2.1). (Основная информация о плотностях распределения вероятностей приведена в таблице 1)

Величина	Плотность распределения	Параметры распределения
		50000623 нм	25 нм	18
		215 нм	6 нм	24
		0 нм	4 нм	5
		0 нм	7 нм	8
					9,5·10 °С	13,5·10 °С
		-0,1°С	0,2°С
					-0,5°С	0,5°С
					-1,0·10 °С	1,0·10 °С	0,1·10 °С
					-0,050°С	0,050°С	0,025°С

9.5.2.2.1 Исходная информация

9.5.2.2.2 Выбор распределения

9.5.2.3.1 Исходная информация

9.5.2.3.2 Выбор распределения

9.5.2.4.1 Исходная информация

9.5.2.4.2 Выбор распределения

9.5.2.5.1 Исходная информация

9.5.2.5.2 Выбор распределения

9.5.2.6.1 Исходная информация

9.5.2.6.2 Выбор распределения

Примечание — Из-за отсутствия информации о достоверности границ распределения выбрано равномерное распределение с точно известными границами. Информация о границах распределения могла быть опущена в описании примера, рассмотренном в GUM, по той причине, что соответствующий данной входной величине коэффициент чувствительности был принят равным нулю, и, таким образом, данная величина не могла оказать влияния на результат оценивания неопределенности по GUM с учетом только членов разложения первого порядка.

9.5.2.7.1 Исходная информация

9.5.2.7.2 Выбор распределения

9.5.2.8.1 Исходная информация

9.5.2.8.2 Выбор распределения

Примечание — Из-за отсутствия информации о достоверности границ выбрано U-образное распределение с точно известными границами. Такая информация могла быть в GUM опущена по той же причине, что указана в примечании к 9.5.2.6.2.

9.5.2.9.1 Исходная информация

9.5.2.9.2 Выбор распределения

9.5.2.10.1 Исходная информация

9.5.2.10.2 Выбор распределения

9.5.3 Трансформирование распределений и получение результатов

9.5.3.1 Способ оценивания неопределенности по GUM

Применение способа оценивания неопределенности по GUM основано на:

— использовании членов первого порядка в аппроксимации функции измерения [формула (36) или (37)] рядом Тейлора;

— вычислении неопределенности на основе закона трансформирования неопределенностей с использованием формулы Уэлча-Саттертуэйта для оценки числа эффективных степеней свободы (с округлением в сторону уменьшения);

9.5.3.2 Метод Монте-Карло

Применение метода Монте-Карло включает в себя:

9.5.4 Результаты

Таблица 11 — Результаты, полученные для модели, описываемой формулой (37), с использованием информации, приведенной в таблице 10

Метод	, нм	, нм	Наименьший 99%-ный интервал охвата для , нм
GUM	838	32	[746, 931]
Монте-Карло	838	36	[745, 932]

9.5.4.3 Результаты, полученные для нелинейной модели [формула (36)], идентичны результатам таблицы 11 для заданного числа значащих цифр.

Приложение A

(справочное)

Историческая справка

A.1 GUM представляет собой документ, охватывающий многие вопросы, в той или иной степени связанные с оценкой неопределенности. Несмотря на то что в нем отсутствуют явные ссылки на метод Монте-Карло, использование этого метода изначально предполагалось при разработке GUM. Проект GUM (первое издание) от июня 1992 г., выпущенный ISO/TAG 4/WG 3, констатирует [G.1.5]:

A.2 В опубликованной версии GUM этот подраздел был заменен на следующий:

A.3 В настоящем стандарте внесенная формулировка «другие аналитические или численные методы» рассматривается как возможность использовать все подходящие методы оценивания неопределенности в дополнение к установленному в самом GUM. Это согласуется с позицией Национального Института стандартов и технологий США (НИСТ) [50]:

«[6.6] Позиция НИСТ предусматривает следующие исключения из упомянутого правила (см. приложение C):

Приложение B

(справочное)

Коэффициенты чувствительности и бюджет неопределенности

B.1 Ни сам закон трансформирования распределений, ни его реализация с использованием метода Монте-Карло не предполагают получения значений коэффициентов чувствительности [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.3)]. Однако, зафиксировав все входные величины, кроме одной, в точке их наилучшей оценки, можно использовать метод Монте-Карло для получения плотности распределения вероятностей для выходной величины модели с единственной входной величиной в качестве независимой переменной [8]. Отношение стандартного отклонения значений на выходе модели (см. 7.6) к стандартной неопределенности для наилучшей оценки входной величины может быть принято за коэффициент чувствительности. Это отношение соответствует тому, которое было бы получено при использовании представления функции измерения рядом Тейлора с членами разложения всех высших порядков. Данный подход можно рассматривать как обобщение приближенной формулы с частными производными в GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание 2 к 5.1.3)]. В общем случае и коэффициенты чувствительности, и вклады каждой входной величины в неопределенность оценки выходной величины будут отличаться от тех, что получены по GUM.

Приложение C

(справочное)

Формирование выборок из распределений вероятностей

C.1 Общие положения

C.1.1 В настоящем приложении приведены рекомендации по формированию выборки в соответствии с заданной функцией распределения вероятностей. Формирование такой выборки представляет собой ключевой момент при трансформировании распределений с использованием метода Монте-Карло. В качестве источников информации можно использовать [37] (сборник таблиц математических функций) и [38] (библиотека соответствующих программ).

Примечание — Настоящий стандарт не ограничивает возможности использования генераторов, отличных от описанных в данном приложении. Однако перед их использованием необходимо убедиться в том, что генерируемые ими последовательности обладают достаточно хорошими статистическими свойствами. Средства тестирования генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения указаны в C.3.2.

C.2 Распределения общего вида

C.3 Равномерное распределение

C.3.1 Общие положения

С.3.1.1 Генератор для равномерного распределения является основой для получения псевдослучайных чисел из любого распределения (см. разделы C.2, C.4 и C.6) при наличии соответствующего алгоритма или формулы. При этом качество получаемой выборки из произвольного распределения зависит от качества работы генератора для равномерного распределения и свойств используемого алгоритма преобразования. Таким образом, только генератор, способный воспроизводить выборку из равномерного распределения с хорошими свойствами вместе с хорошим алгоритмом, обеспечивает генерирование псевдослучайных чисел, хорошо согласующихся с заданным распределением.

C.3.1.2 Отсюда вытекает важность тестирования генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения [31]. Если пользователь не уверен в качестве работы генератора, то его не следует использовать до тех пор, пока соответствующее тестирование не будет проведено. В противном случае не исключено получение ошибочных результатов. Рекомендуется использовать средства тестирования согласно [30]. В C.3.3 приведена процедура генерирования псевдослучайных чисел для равномерного распределения, которая успешно прошла указанное тестирование и проста в применении.

Примечание 1 — При задании одного и того же начального числа результатом может быть генерирование одной и той же последовательности случайных чисел. Этот факт является важным элементом регрессионного тестирования, используемого для определения согласованности результатов, полученных программным средством, с результатами предыдущих версий.

Примечание 2 — Некоторые генераторы псевдослучайных чисел при каждом обращении выдают одно случайное, а некоторые — последовательность значений.

Таблица С.1 — Процедура генерирования псевдослучайных чисел для стандартного равномерного распределения

Входной параметр

— число значений в генерируемой последовательности

Входной/выходной параметр

— вектор-столбец, элементы которого могут изменяться в ходе выполнения процедуры. Пользователю обычно нет необходимости знать, как изменяются значения этого параметра, но он помогает контролировать выполнение процедуры генерирования случайных чисел. Эти параметры могут быть реализованы как глобальные переменные и не входить явно в формальные параметры процедуры. Один или несколько элементов определяют начальное число, используемое при следующем обращении к процедуре

Выходной параметр

— вектор-столбец значений, составляющих выборку из (0, 1)

C.3.2 Проверка качества случайной выборки

C.3.2.1 Каждый генератор псевдослучайных чисел должен:

a) обладать хорошими статистическими свойствами,

b) предусматривать возможность реализации на любом языке программирования,

c) давать одни и те же результаты для одного и того же начального числа на любом компьютере.

Примечание — Период последовательности значений, полученных с помощью генератора псевдослучайных чисел, — это количество последовательных псевдослучайных чисел до их повторения.

С.3.2.2 Для комплексной проверки статистических свойств генератор тестируют пакетом программ TestU01 [30]. Этот программный продукт весьма детализирован и включает в себя большое количество статистических тестов, в том числе расширенный пакет краш-тестирования BigCrush. Некоторые генераторы, успешно выдержавшие это тестирование, приведены в списке, составленном Вихманном и Хиллом [54]. В их число входит и усовершенствованный генератор Вихманна-Хилла (см. C.3.3), обладающий следующими свойствами [54]:

a) его просто реализовать на любом языке программирования, он не зависит от побитовых операций, используемых в некоторых генераторах;

c) он позволяет легко получить несколько последовательностей, необходимых для высокопараллельных приложений, что, вероятно, будет особенностью вычислений неопределенности в будущем;

d) существуют варианты генератора для 32-разрядных и 64-разрядных компьютеров.

C.3.3 Процедура генерирования выборки псевдослучайных чисел из равномерного распределения

C.3.3.3 Для 64-разрядных компьютеров шаг а) вычисления, включая (i) и (ii), в таблице С.2 должен быть заменен более простым шагом:

C.4 Нормальное распределение

C.5 Многомерное нормальное распределение

Таблица C.2 — Улучшенный генератор Вихманна-Хилла для псевдослучайных чисел из равномерного распределения на интервале (0, 1) для 32-разрядного компьютера

Входной параметр

Нет

Входные/выходные параметры

, , , — целочисленные параметры, которые требуются в качестве входных величин и изменяются в процессе выполнения процедуры. Перед первым обращением к процедуре им присваивают значения от 1 до 2 147 483 647. Между обращениями значения параметров остаются неизменными. Пользователю обычно нет необходимости знать, как изменяются значения этих параметров, используемых в процедуре генерирования псевдослучайных чисел. Данные параметры могут быть реализованы как глобальные переменные и не входить явно в формальные параметры процедуры.

Константы

, , , — четырехмерные векторы с целочисленными координатами, т.е. и т.д., такие, что: (11600, 47003, 23000, 33000), (185127, 45688, 93368, 65075), (10379, 10479, 19423, 8123), 2147483123 (1, 1, 1, 1)+(456, 420, 300, 0). Между обращениями значения констант остаются неизменными.

Выходной параметр

— псевдослучайное число из (0, 1).

Алгоритм вычисления

a) Для 1, …, 4: i) Вычисляют , ii) Если 0, то заменяют на . b) Вычисляют . c) Вычисляют .

Примечание — означает наибольшее целое, не превосходящее . Запись означает остаток от деления на .

Таблица C.3 — Генератор псевдослучайных чисел Бокса-Мюллера

Входной параметр

Нет

Выходной параметр

, — два случайных значения, полученных независимо из стандартного нормального распределения

Алгоритм вычисления

a) Независимо генерируют случайные числа и из (0, 1); b) и .

Таблица С.4 — Генератор случайных чисел из многомерного нормального распределения

Входной параметр

— размерность многомерного нормального распределения — вектор математических ожиданий размерности — ковариационная матрица размерности — число генерируемых векторов, состоящих из псевдослучайных чисел

Выходной параметр

— матрица размерности , -й столбец которой — генерированный случайный вектор из многомерного нормального распределения

Алгоритм вычисления

a) Для матрицы формируют множитель Холецкого , т.е. верхнюю треугольную матрицу, удовлетворяющую условию (для генерирования векторов факторизацию матрицы необходимо выполнить только один раз). b) Генерируют массив размерности чисел из стандартного нормального распределения. c) Вычисляют , где — вектор-столбец, состоящий из единиц и имеющий размерность .

Простая процедура внесения возмущений описана в [49, страница 322] и реализована в генераторе MULTNORM [45].

Это совместное распределение двух положительно коррелированных величин. Подобные генераторы описаны в других источниках [12].

X — величина 1, Y — величина 2

Рисунок C.1 — Выборка значений из двумерного нормального распределения с положительной корреляцией

Входной параметр

— число степеней свободы

Выходной параметр

— выборка из -распределения с степенями свободы

Алгоритм вычисления

a) Независимо генерируют случайные числа , из равномерного распределения (0, 1). b) Если 1/2, то вычисляют и ; в противном случае вычисляют и . c) Если или , то принимают в качестве выборочного значения из -распределения; в противном случае повторяют процедуру с шага a).

Приложение D

(справочное)

Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

Примечание — Преимущества работы с непрерывной аппроксимацией состоят, например, в том, что:

a) выборка из заданного распределения может быть выполнена без необходимости округления, как в случае дискретного представления;

b) для определения наименьшего интервала охвата могут быть использованы численные методы, требующие для своей работы непрерывности функции распределения.

где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.

Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:

Приложение E

(справочное)

Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений

E.1 В 9.2.3.2 проведено аналитическое решение в виде

(на интервалах между другими узлами искомое распределение также будет иметь вид кубических полиномов, но другой формы), следовательно,

(см. также [6]).

Эту площадь можно записать в виде

С учетом симметрии распределения для правой границы интервала охвата получаем

Таким образом, вероятностно симметричный 95%-ный интервал охвата имеет вид:

Приложение F

(справочное)

Задача определения коэффициента рассогласования

F.1 Аналитическое решение для математического ожидания и стандартного отклонения

Таким образом,

Этот результат справедлив независимо от:

Формула (F.2) может быть проверена применением формулы (10) из GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.2)] и непосредственно следующей за ней формулой из GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание к 5.1.2)].

F.2 Аналитическое решение для случая нулевой оценки коэффициента отражения по напряжению при нулевой ковариации

F.2.5 Интегрирование плотности распределения вероятностей дает функцию распределения следующего вида:

Длина этого интервала будет равна

Он на 20% длиннее, чем наименьший 95%-ный интервал охвата.

F.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM к задаче определения коэффициента рассогласования

F.3.1 Некоррелированные входные величины

F.3.1.1 В задаче определения коэффициента рассогласования, рассмотренной в 9.4, в качестве модели измерения использована следующая:

F.3.1.2 Применение GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.1)] дает

В результате формула (F.5) принимает вид

F.3.2 Коррелированные входные величины

F.3.2.1 Если входные величины коррелированны, то матрица неопределенностей для наилучших оценок входных величин определена формулой (27).

F.3.2.2 Применяя GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.2.2)], можно получить:

Приложение G

(справочное)

Основные обозначения

	случайная переменная, представляющая собой нижнюю границу равномерного распределения с неточно заданными пределами
	нижняя граница области, в пределах которой находится случайная переменная
	центральная точка интервала, о котором известно, что в нем лежит нижняя граница равномерного распределения с неточно заданными пределами
	случайная переменная, представляющая собой верхнюю границу равномерного распределения с неточно заданными пределами
	верхняя граница области, в пределах которой находится случайная переменная
	центральная точка интервала, о котором известно, что в нем лежит верхняя граница равномерного распределения с неточно заданными пределами
	равномерное распределение с неточно заданными границами с параметрами , и
	ковариация случайных переменных и
	целое десятичное число с знаками
	-й коэффициент чувствительности, полученный как частная производная функции измерения по -й входной величине в точке оценки вектора входных величин
	половина длины интервалов, о которых известно, что в них лежат нижняя и верхняя границы равномерного распределения с неточно заданными пределами
	абсолютная разность значений правосторонних границ интервалов охвата, полученных на основе способа оценивания неопределенности по GUM и по методу Монте-Карло
	абсолютная разность значений левосторонних границ интервалов охвата, полученных на основе способа оценивания неопределенности по GUM и по методу Монте-Карло
	математическое ожидание случайной переменной
	вектор математического ожидания векторной случайной переменной
	-й момент случайной переменной
	экспоненциальное распределение с параметром
	функция измерения, связывающая выходную величину модели с входными величинами , …,
	дискретное представление функции распределения выходной величины , полученное методом Монте-Карло
	гамма-распределение с параметрами и
	плотность распределения вероятностей переменной для входной величины
	совместная (многомерная) плотность распределения переменной для входной величины
	плотность распределения вероятностей переменной для входной величины
	функция распределения переменной для выходной величины
	непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины
	плотность распределения вероятностей переменной для выходной величины
	производная от по , используемая для аппроксимации плотности распределения вероятностей выходной величины
	наименьшее целое, большее или равное
	коэффициент охвата, соответствующий вероятности охвата
	целое число в представлении числового значения, где — целое десятичное число с знаками
	число испытаний метода Монте-Карло
	число входных величин , …,
	стандартное нормальное распределение
	нормальное распределение с параметрами и
	многомерное нормальное распределение с параметрами и
	число наблюдений
	количество значащих цифр числа, рассматриваемых как достоверные
	вероятность события
	вероятность охвата
	целая часть числа ( )
	число объектов в выборке (объем выборки)
	верхняя треугольная матрица
(0, 1)	стандартное равномерное распределение на интервале [0, 1]
	равномерное распределение на интервале [ , ]
	коэффициент корреляции оценок и входных величин и
	оценка стандартного отклонения по наблюдениям , …,
	объединенная оценка стандартного отклонения по нескольким сериям наблюдений
	верхний индекс, обозначающий транспонирование матрицы
	стандартное отклонение для среднего значений , …, в адаптивной процедуре метода Монте-Карло, где может обозначать оценку выходной величины , стандартную неопределенность оценки , левостороннюю или правостороннюю границу интервала охвата для
	треугольное распределение на интервале [ , ]
	трапецеидальное распределение на интервале [ , ] с параметром
	-распределение с степенями свободы
	масштабированное смещенное -распределение с параметрами и и степенями свободы
(0, 1)	стандартное арксинусное (U-образное) распределение на интервале [0, 1]
	арксинусное (U-образное) распределение на интервале [ , ]
	расширенная неопределенность, соответствующая вероятности охвата
	матрица неопределенности для вектора оценок векторной входной величины
	вектор стандартных неопределенностей для вектора оценок векторной входной величины
	стандартная неопределенность оценки входной величины
	ковариация оценок и входных величин и
	стандартная неопределенность оценки выходной величины
	стандартная неопределенность
	суммарная стандартная неопределенность оценки выходной величины
	-я составляющая стандартной неопределенности оценки выходной величины
	ковариационная (дисперсионно-ковариационная) матрица
	дисперсия случайной переменной
	ковариационная матрица векторной случайной переменной
	половина длины интервала [ , ] ( )
	входная величина, рассматриваемая как случайная переменная
	вектор входных величин, рассматриваемых как случайные переменные, от которых зависит выходная величина
	-я входная величина, рассматриваемая как случайная переменная, от которой зависит выходная величина
	оценка (математическое ожидание) величины
	векторная оценка (векторное математическое ожидание) величины
	среднее арифметическое наблюдений , …,
	оценка (математическое ожидание) величины
	-е наблюдение в серии наблюдений
	-й элемент выборки случайных значений, полученных при реализации метода Монте-Карло, из плотности распределения вероятностей для величины
	-й вектор, содержащий элементы , …, , полученные из плотностей распределения вероятностей для входных величин , …, из совместной плотности распределения для величины
	(скалярная) выходная величина, рассматриваемая как случайная переменная
	оценка (математическое ожидание) величины
	оценка величины , полученная как выборочное среднее значений выходной величины в результате реализации метода Монте-Карло или как математическое ожидание величины , описываемой плотностью распределения вероятностей
	правосторонняя граница интервала охвата для
	левосторонняя граница интервала охвата для
	-е значение функции измерения
	-е значение функции измерения после расположения значений в неубывающем порядке
	-e значение величины в адаптивной процедуре метода Монте-Карло, где может обозначать оценку выходной величины , ее стандартную неопределенность , левостороннюю ( ) или правостороннюю ( ) границу интервала охвата для
	значение вероятности
	параметр гамма-распределения
	параметр трапецеидального распределения, равный отношению длины верхнего основания трапеции к длине нижнего основания трапеции
	параметр гамма-распределения
	гамма-функция переменной
	предел погрешности вычисления числового значения
	дельта-функция Дирака переменной
	переменная, описывающая возможные значения выходной величины
	половина длины верхнего основания трапеции трапецеидального распределения
	половина длины нижнего основания трапеции трапецеидального распределения
	математическое ожидание случайной переменной
	число степеней свободы -распределения или распределения хи-квадрат
	число эффективных степеней свободы, соответствующих стандартной неопределенности
	число степеней свободы для объединенной оценки стандартного отклонения , полученной по нескольким сериям наблюдений
	переменная, описывающая возможные значения величины
	векторная величина , описывающая возможные реализации векторной входной величины
	переменная, описывающая возможные значения входной величины
	стандартное отклонение случайной переменной, характеризуемой распределением вероятностей
	дисперсия (квадрат стандартного отклонения) случайной переменной
	фаза гармонически изменяющейся величины
	распределение хи-квадрат с степенями свободы

Приложение ДА

(справочное)

Сведения о соответствии ссылочных международных документов межгосударственным стандартам

Таблица ДА.1

Обозначение ссылочного международного документа	Степень соответствия	Обозначение и наименование соответствующего межгосударственного стандарта
ISO/IEC Guide 98-3:2008	IDT	ГОСТ 34100.3-2017 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения»
ISO/IEC Guide 99:2007	—	*
* Соответствующий межгосударственный стандарт отсутствует. До его принятия рекомендуется использовать перевод на русский язык данного международного документа. Примечание — В настоящей таблице использовано следующее условное обозначение степени соответствия стандарта: — IDT — идентичный стандарт.

Приложение ДБ

(справочное)

Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области неопределенности измерения

ДБ.1 Общие замечания к серии межгосударственных стандартов ГОСТ 34100

ДБ.1.1 Серия межгосударственных стандартов ГОСТ 34100 вводит документы, разрабатываемые рабочей группой JCGM/WG 1 «Рабочая группа по выражению неопределенности измерения», входящей в состав объединенного комитета JCGM «Объединенный комитет по руководствам в метрологии» при Международном бюро мер и весов (см. «Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009» настоящего стандарта).

ДБ.1.2 Документы, разрабатываемые JCGM/WG 1, устанавливают общий единообразный подход к оценке точности измерений через концепцию неопределенности измерений и включают в себя как методы вычисления неопределенности измерения в разных измерительных задачах, так и учет неопределенности измерения при применении результатов измерения.

ДБ.1.3 Концепция неопределенности измерения разработана для выражения качества результата измерения взамен концепции погрешностей измерений с целью придания методической корректности используемым теоретико-вероятностным моделям.

В концепции погрешностей измерений результат измерения представляют в виде суммы истинного значения и погрешности, которая, в свою очередь, является суммой систематической и случайной составляющих. При этом для оценки точности измерения обычно используют один из двух способов: консервативный (оценка сверху) и теоретико-вероятностный. Выбор того или иного способа оценивания определяется конкретной измерительной задачей и дальнейшим использованием результата измерения. Каждый из этих подходов имеет ограничения в применении.

ДБ.1.4 При консервативном способе оценивания границы суммарной погрешности определяются арифметическим суммированием границ ее составляющих. Главный недостаток консервативного способа — слишком широкие границы суммарной погрешности, особенно в случае большого числа составляющих. Консервативный подход может найти применение в измерительных задачах, где необходимо обеспечить нахождение истинного значения измеряемой величины в установленных границах наверняка.

ДБ.1.5 При теоретико-вероятностном подходе для описания результата измерения используется случайная переменная, математическое ожидание которой совпадает с истинным значением измеряемой величины или смещено относительно него на величину систематической погрешности. Это дает возможность в условиях ограниченного числа повторных наблюдений измеряемой величины строить для нее точечные и интервальные оценки.

В теории погрешностей использована частотная интерпретация вероятности, наблюдения рассматриваются как выборка из заданной генеральной совокупности, оценки измеряемой величины и характеристик погрешности являются статистиками. В качестве интервальной оценки используется построенный на основе статистик доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.

_______________

ДБ.1.6 Введение в метрологическую практику концепции неопределенности измерения «Руководством по выражению неопределенности измерения (GUM)», опубликованным в 1993 г. (см. «Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009» настоящего стандарта), явилось попыткой дать математически строгий единый подход к оценке составляющих неопределенности, обусловленных как случайными, так и систематическими факторами, при заданных условиях измерительной задачи. Однако GUM не смог в полной мере решить эту задачу, он появился как внутренне противоречивый документ, использующий одновременно частотную и байесовскую концепции вероятности. Единая процедура вывода, наиболее корректно и последовательно описанная в JCGM 101:2008, основана на отказе от частотной интерпретации вероятности при оценке точности измерения в пользу субъективного представления о вероятности. Если в частотном подходе понятие случайной переменной использовано для описания результата/погрешности измерения, то в субъективном подходе случайная переменная использована для описания возможных значений измеряемой величины. При этом получение распределения вероятностей, ассоциированного с измеряемой величиной, осуществляется на основе:

— составления для данной измерительной задачи модели измерений, связывающей измеряемую величину (выходную величину) со всеми значимыми влияющими величинами (входными величинами модели);

— приписывания входным величинам распределений вероятностей (в общем случае, совместных), исходя из имеющейся информации об этих величинах и их наблюдений (при наличии);

— преобразования совместного распределения входных величин в распределение выходной величины согласно правилам преобразования случайных переменных.

В отличие от теории погрешностей (на основе частотного подхода) концепция неопределенности (на основе субъективной вероятности) не имеет принципиальных ограничений в получении окончательного результата измерения в виде функции распределения, ассоциированной с измеряемой величиной, что позволяет вычислить интервал вероятности (охвата) для любой заданной вероятности. Однако во многих измерительных задачах аналитическое решение задачи преобразования плотностей вероятностей невозможно. В этом случае точное решение (в пределах точности вычислений) всегда может быть получено числовым методом Монте-Карло (см. JCGM 101:2008).

ДБ.1.7 При наличии выборки наблюдений одной или нескольких входных величин (например, показываемой величины — см. JCGM 104:2009, пункт 3.2) входное распределение для этой величины получают применением теоремы Байеса. Поэтому переход от концепции погрешностей к концепции неопределенности может рассматриваться как переход от частотного (объективного) подхода в интерпретации вероятностей к байесовскому (субъективному).

Примечание — Существует широкий круг измерительных задач, в которых получают только одно наблюдение для входной величины. Однако и в этом случае возможно формальное применение теоремы Байеса, поэтому концепцию неопределенности измерения можно связывать с байесовским подходом без потери общности.

ДБ.1.9 Разница между частотным и байесовским подходами наглядно проявляется в том, насколько в рамках данного подхода легко получить ту или иную характеристику результата измерения. Частотный подход основан на получении оптимальных точечных оценок (статистик), по которым потом можно построить (не всегда) доверительный интервал. Распределение случайной погрешности, характеризующей качество измерений, может быть получено только в отдельных частных случаях. В байесовском подходе ситуация противоположная. В первую очередь, получают распределение вероятностей случайной величины, ассоциированной с измеряемой величиной. На его основе всегда есть возможность построить интервал охвата. Точечную оценку получают из распределения вероятностей после принятия каких-либо дополнительных допущений.

Примечание — В зависимости от целей измерений точечной оценкой могут служить разные параметры полученного распределения для измеряемой величины, такие как математическое ожидание, медиана или мода.

ДБ.1.10 Достоинством байесовского подхода, а значит и концепции неопределенности измерений, является наличие формализованной процедуры учета априорной информации разного рода (в том числе, о возможных или наиболее вероятных значениях измеряемой величины) при получении результата измерений.

Сопоставление концепций погрешности и неопределенности измерения проиллюстрировано на рисунке ДБ.1.

ДБ.1.11 В рамках байесовского подхода решением измерительной задачи в общем случае является распределение, ассоциированное с измеряемой величиной, которое, в общем случае, индивидуально для каждой измерительной задачи и в наиболее полном виде описывает всю собранную при решении данной задачи информацию.

В целях сокращения объема передаваемых данных и удобства их хранения в документах, разрабатываемых JCGM/WG 1, основным способом представления результата измерения принят интервал охвата (или область охвата в случае многомерной измеряемой величины). При этом, однако, следует помнить, что за областью охвата всегда стоит распределение соответствующей случайной переменной и, главное, во многих практических приложениях результатов проведенного измерения необходимо знать не интервал охвата, а распределение, из которого оно получено. Поэтому, как правило, желательно сохранять результат измерения в виде распределения вероятностей случайной переменной, ассоциированной с измеряемой величиной.

Примечание — Вопросительные знаки на схеме частотного подхода показывают, что получение оценки данной характеристики затруднено или невозможно. Если особенности измерительной задачи позволяют получить распределение погрешности, то доверительный интервал может быть рассчитан. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Рисунок ДБ.1 — Обобщенная схема получения результата измерения в рамках частотного и байесовского подходов

ДБ.2 Дополнительные замечания к настоящему стандарту

Настоящий стандарт устанавливает метод, позволяющий получить наиболее общую характеристику качества метода измерений — распределение вероятностей случайной величины, ассоциированной с измеряемой величиной, — для любых измерительных задач, где измеряемая величина — скаляр.

ДБ.2.2 Документ сохраняет преемственность GUM, однако, поскольку он появился 15 лет спустя, в нем учтена критика GUM. Концепция неопределенности измерения изложена строго, последовательно на основе субъективной интерпретации вероятности. Ряд понятий, введенных GUM (например, оценивание неопределенности по типу А и В, эффективное число степеней свободы) и не являющихся принципиально необходимыми для изложения концепции неопределенности, не рассматриваются в настоящем стандарте. В нем, однако, оставлены такие понятия, как стандартная и расширенная неопределенности, также не являющиеся необходимыми элементами концепции неопределенности измерения. Эти понятия оставлены в целях преемственности изложения с GUM и сопоставления результатов измерений неопределенности по GUM и полученных с применением метода Монте-Карло.

 Библиография

[1]	BEATTY, R.W. Insertion loss concepts. Proc. IEEE 52, 1964, pp.663-671
[2]	BERTHOUEX, P.M. and Brown, L.C. Statistics for Environmental Engineers. CRC Press, USA, 1994
[3]	BOX, G. E. P. and MULLER, M. A note on the generation of random normal variates. Ann. Math. Statist., 29, 1958, pp.610-611
[4]	CHAN, A., GOLUB, G. and LEVEQUE, R. Algorithms for computing the sample variance: analysis and recommendations. Amer. Stat., 37, 1983, pp.242-247
[5]	CONTE, S.D. and DE BOOR, С. Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach. McGraw-Hill, 1972
[6]	COX, M.G. The numerical evaluation of B-splines. J. Inst. Math. Appl.10, 1972, pp.134-149
[7]	COX, M.G. and HARRIS, P.M. Software specifications for uncertainty evaluation. Tech. Rep. DEM-ES-010, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2006
[8]	COX, M.G. and HARRIS, P.M. SSfM Best Practice Guide No. 6, Uncertainty evaluation. Tech. Rep. DEM-ES-011, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2006
[9]	COX, M.G. and SIEBERT, B. R. L. The use of a Monte Carlo method for evaluating uncertainty and expanded uncertainty. Metrologia, 43, 2006, pp.S178-S188
[10]	DAVID, H.A. Order Statistics. Wiley, New York, 1981
[11]	DEKKER, T.J. Finding a zero by means of successive linear interpolation. In: Constructive Aspects of the Fundamental Theorem of Algebra (eds Dejon B. and Henrici P.), Wiley Interscience, London, 1969
[12]	DEVROYE, L. Non-Uniform Random Number Generation. Springer, New York, 1986
[13]	DIETRICH, C.F. Uncertainty, Calibration and Probability. Adam Hilger, Bristol, UK, 1991
[14]	DOWSON, D.C. and WRAGG, A. Maximum entropy distributions having prescribed first and second order moments. IEEE Trans. IT, 19, 1973, pp.689-693
[15]	EA. Expression of the uncertainty of measurement in calibration. Tech. Rep. EA-4/02, European Cooperation for Accreditation, 1999
[16]	ELSTER, С. Calculation of uncertainty in the presence of prior knowledge. Metrologia, 44, 2007, pp.111-116
[17]	EURACHEM/CITAC. Quantifying uncertainty in analytical measurement. Tech. Rep. Guide CG4, EURACHEM/CITEC, 2000. Second edition
[18]	EVANS, M., HASTINGS, N. and PEACOCK, B. Statistical distributions. Wiley, 2000
[19]	FRENKEL, R.B. Statistical background to the ISO ’Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement’. Tech. Rep. Monograph 2, NML Technology Transfer Series, Publication number TIP P1242, National Measurement Laboratory, CSIRO, Australia, 2002
[20]	GELMAN, A., CARLIN, J.В., STERN, H.S. and RUBIN, D.B. Bayesian Data Analysis. Chapman and Hall, London, 2004
[21]	GLESER, L.J. Assessing uncertainty in measurement. Stat. Sci., 13, 1998, pp.277-290
[22]	HALL, B.D. and WILLINK, R. Does «Welch-Satterthwaite» make a good uncertainty estimate? Metrologia, 38, 2001, pp.9-15
[23]	HIGHAM, N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 1996
[24]	ISO 3534-1:1993 Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: Probability and general statistical terms
_______________ ISO 3534-1:2006 отменяет и заменяет ISO 3534-1:1993.
[25]	JAYNES, E. T. Information theory and statistical mechanics. Phys. Rev, 106, 1957, pp.620-630
[26]	JAYNES, E.T. Where do we stand on maximum entropy? In Papers on Probability Statistics, and Statistical Physics (Dordrecht, The Netherlands, 1989), R.D.Rosenkrantz, Ed., Kluwer Academic, pp.210-314. http://bayes.wustl.edu/etj/articles/stand.on.entropy.pdf
[27]	KACKER, R. and JONES, A. On use of Bayesian statistics to make the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement consistent. Metrologia, 40, 2003, pp.235-248
[28]	KERNS, D.M. and BEATTY, R.W. Basic Theory of Waveguide Junctions and Introductory Microwave Network Analysis. Pergamon Press, London, 1967
[29]	KINDERMAN, A., MONAHAN, J. and RAMAGE, J. Computer methods for sampling from Student’s t-distribution. Math. Comput, 31, 1977, pp.1009-1018
[30]	L’ECUYER, P. and SIMARD, R. TestU01: A software library in ANSI С for empirical testing of random number generators, http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/testu01/tu01.html
[31]	LEYDOLD, J. Automatic sampling with the ratio-of-uniforms method. ACM Trans. Math. Software, 26, 2000, pp.78-98
[32]	LIRA, I. Evaluating the Uncertainty of Measurement. Fundamentals and Practical Guidance. Institute of Physics, Bristol, UK, 2002
[33]	LIRA, I.H. and , W. Bayesian evaluation of the standard uncertainty and coverage probability in a simple measurement model. Meas. Sci. Technol ., 12, 2001, pp.1172-1179
[34]	MATSUMOTO, M. and NISHIMURA, T. Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator. ACM Trans. Modeling and Computer Simulation 8 (1998), pp.3-30
[35]	MCCULLOUGH, B.D. and WIKSON, B. On the accuracy of statistical procedures in Microsoft Excel 2003. Computational Statistics and Data Analysis, 2004
[36]	MOLER, С.В. Numerical computing with MATLAB. SIAM, Philadelphia, 2004
[37]	NETLIB. The Netlib repository of freely available software, documents, and databases of interest to the numerical, scientific computing, and other communities contains facilities for sampling from probability distributions, http://www.netlib.org
[38]	NIST. The NIST Digital Library of Mathematical Functions contains facilities for sampling from probability distributions, http://dlmf.nist.gov
[39]	OIML. Conventional value of the result of weighing in air. Tech. Rep. OIML D 28, Organisation Internationale de , Paris, 2004 , Paris, 2004
[40]	PAPOULIS, A. On an extension of Price’s theorem. IEEE Trans. Inform. Theory IT-11, 1965
[41]	PRICE, R. A useful theorem for nonlinear devices having Gaussian inputs. IEEE Trans. Inform. Theory IT-4, 1958, pp.69-72
[42]	RICE, J.R. Mathematical Statistics and Data Analysis, second ed. Duxbury Press, Belmont, Ca., USA, 1995
[43]	RIDLER, N.M. and SALTER, M.J. Propagating S-parameter uncertainties to other measurement quantities. In: 58th ARFTG (Automatic RF Techniques Group) Conference Digest (2001)
[44]	ROBERT, C.P. and CASELLA, G. Monte Carlo Statistical Methods. Springer-Verlag, New York, 1999
[45]	SALTER, M.J., RIDLER, N.M. and COX, M.G. Distribution of correlation coefficient for samples taken from a bivariate normal distribution. Tech. Rep. CETM 22, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2000
[46]	SCHOENBERG, I.J. Cardinal interpolation and spline functions. J. Approx. Theory, 2, 1969, pp.167-206
[47]	SCOWEN, R.S. Algorithm 271: quickersort. Communications of the ACM, 8(11), 1965, pp.669-670
[48]	SHANNON, C.E. A mathematical theory of information. Bell Systems Tech. J., 27, 1948, pp.623-656
[49]	STRANG, G. and BORRE, K. Linear Algebra, Geodesy and GPS. Wiley, Wellesley-Cambridge Press, 1997
[50]	TAYLOR, B.N. and KUYATT, C.E. Guidelines for evaluating and expressing the uncertainty of NIST measurement results. Tech. Rep. TN1297, National Institute of Standards and Technology, USA, 1994
[51]	WEISE, K., and , W. A Bayesian theory of measurement uncertainty. Meas. Sci. Technol. , 3, 1992, pp.1-11
[52]	WICHMANN, B.A. and HILL, I.D. Algorithm AS183. An efficient and portable pseudo-random number generator. Appl. Statist., 31, 1982, pp.188-190
[53]	WICHMANN, B.A. and HILL, I.D. Correction. Algorithm AS183. An efficient and portable pseudo-random number generator. Appl. Statist., 33, 1984, p.123
[54]	WICHMANN, B.A. and HILL, I.D. Generating good pseudo-random numbers. Computational Statistics and Data Analysis, 51, 2006, pp.1614-1622
[55]	WILLINK, R. Coverage intervals and statistical coverage intervals. Metrologia, 41, 2004, L5-L6
[56]	, W. Probability assignment to systematic deviations by the Principle of Maximum Entropy. IEEE Trans. Instr. Measurement IM-36 , 1987, pp.655-658

УДК 389.14:006.354	МКС 17.020	Т80	IDT
Ключевые слова: измерения, неопределенность, трансформирование распределений, трансформирование неопределенностей, способ оценивания по GUM, метод Монте-Карло, аналитический вывод