Методическое руководство по алгебре 7 класс

Главная » Алгебра » Алгебра, 7 класс, Методическое пособие — Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.,

                                                                                            ж1      1ц        ж1       1 ц

+ з – ч + з – ч = и8 9ш и9 10ш

П у н к т 5

5. Ошибка допущена в задании
«г». После приведения подобных слагаемых в этом выражении должно получиться

0,01х  +  3у.

13. Утверждение верно, так как 11(2n  + 
1)  –  9(n  –  4)  –

–  21  =  22n  +  11  –  9n  +  36  – 
21  =  13n  +  26  =  13(n  +  2).

15. Утверждение верно, так как

(3n
 –  5(n  +  6))  +  4(n  +  9)  =

 =  3n  –  5n  –  30 
+  4n  +  36  =  2n  +  6  =  2(n  +  3), а при
натуральном n число (n  +  3) также является натуральным.

17.    После
повышения цены на 20% изделие стало стоить 1,2а р. Один процент от новой
цены составляет ^{1
2, a}
р.,

100

а 20% составляют             =    ^a =0,24a (р.). Значит, окончательная
цена равна 1,2а  –  0,24а  =  0,96а (р.).

18.    После
снижения цены на 10% товар стал стоить а  –  0,1а  =  0,9а (р.).
После второго снижения цены на 10% товар стал стоить 0,9а  –  0,9а  
   0,1  =  0,9а  –  0,09а  =  0,81а (р.).

§ 3. Уравнения с одной переменной

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
6 7 8	Уравнение и его корни Линейное уравнение с одной переменной Решение задач с помощью уравнений	1(1) 3(3) 3(4)

Содержание материала

Уравнения с одной переменной.
Корень уравнения. Равносильность уравнений. Линейное уравнение с одной
переменной. Решение уравнений с одной переменной, сводящихся к линейным.
Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы систематизировать и дополнить сведения об
уравнениях, полученные учащимися в младших классах, продолжить работу по
формированию умений решать уравнения с одной переменной, сводящиеся к линейным,
и использовать аппарат уравнений для решения текстовых задач.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь решать
уравнения вида ах  =  b при различных значениях а, в том
числе при а  =  0, а также решать несложные уравнения, сводящиеся к
линейным, с помощью известных преобразований выражений, применять аппарат
уравнений при решении текстовых задач и интерпретировать результат.

Методический комментарий

К изучению § 3 «Уравнения с одной
переменной» учащиеся приступают, уже имея определённый запас знаний об
уравнениях. Им известны понятия «уравнение», «корень уравнения», они умеют
решать несложные уравнения, применять в простейших случаях уравнения для
решения текстовых задач. В 7 классе сведения об уравнениях повторяются и
расширяются. Приводятся примеры уравнений, имеющих более одного корня, не
имеющих корней. Впервые учащиеся знакомятся с понятием «равносильные
уравнения». Заметим, что здесь речь не идёт об изучении каких-либо теорем о
равносильности уравнений. Задача состоит в том, чтобы учащиеся поняли смысл
понятия равносильности, усвоили условия перехода от одного уравнения к другому,
ему равносильному. Они должны запомнить соответствующие формулировки. Важно,
чтобы учащиеся понимали, что эти условия равносильности уравнений
непосредственно вытекают из свойств числовых равенств: если к обеим частям
верного числового равенства прибавить одно и то же число, а также обе его части
умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится
верное равенство.

Приведённые в пункте 6 упражнения 111—120
способствуют усвоению понятия «корень уравнения», пониманию того, что
уравнение с одной переменной может иметь один корень, более одного корня, может
не иметь корней. Следует обратить внимание учащихся на упражнение 121,
при выполнении которого требуется формулировать соответствующие условия
равносильности уравнений. Упражнения данного пункта целесообразно дополнить
заданиями 235—238 из раздела «Дополнительные упражнения к главе».
Важно требовать от учащихся, чтобы при выполнении этих упражнений они приводили
соответствующие обоснования.

Основной массив упражнений,
представленных в пункте 7, составляют задания на решение уравнений, сводящихся
к линейным. Здесь учащиеся получают возможность убедиться в важности тех
умений, которые они приобрели при изучении приёмов тождественных преобразований
выражений. В число упражнений, выполняемых в классе, рекомендуется включить
задания 135 и 136, а также задание 244 из дополнительных
упражнений к главе, в которых требуется составить уравнение, используя соотношение
между выражениями. Эти упражнения готовят учащихся к составлению уравнений по
условиям текстовых задач. При наличии времени можно предложить учащимся
выполнить упражнения 240, 243, отличающиеся от основных
упражнений сложностью преобразований.

Хорошей иллюстрацией применения
алгебраического аппарата является решение текстовых задач с помощью уравнений.
Этому посвящён заключительный пункт 8 данного параграфа.

В решении текстовых задач с помощью
уравнений выделяются три этапа, соответствующие трём этапам решения любой
практической задачи: обозначение неизвестного числа буквой и составление
уравнения по условию задачи (этап формализации), решение уравнения (этап внутримодельного
решения задачи), истолкование найденного ответа в соответствии с условием
задачи (этап интерпретации результата). Если с первыми двумя этапами решения
текстовых задач с помощью уравнений учащиеся уже неоднократно встречались в
младших классах, то третьему этапу почти не уделялось внимания. В связи с этим
в учебник включён авторский пример, иллюстрирующий тот случай, когда корень
уравнения, составленного по условию задачи, не соответствует её смыслу. С
подобной ситуацией учащиеся встречаются в задаче 152. Заметим, что позже
при решении квадратных и дробных рациональных уравнений учащиеся часто будут
встречаться со случаями, когда корень уравнения, составленного по условию
задачи, не соответствует её смыслу.

Задачи, включённые в пункт 8 «Решение
задач с помощью уравнений», разнообразны по тематике. В их число входят задачи
на проценты (148, 149), на движение (155, 156), на
сопоставление данных (160—162). Интерес учащихся обычно вызывают
старинные задачи (147, 157). При решении задачи 157 полезно
напомнить учащимся о соотношении таких единиц измерения, как верста и километр.
Рекомендуется остановиться на задачах 152 и 153 с проблемной
постановкой вопроса. Специальное внимание следует уделить задаче 159,
предназначенной для работы в парах. Прежде чем учащиеся приступят к её решению,
необходимо выяснить с ними, каким условиям должно удовлетворять число,
пропущенное в тексте задачи. По окончании работы пар рекомендуется обсудить с
классом полученные ответы.

В ходе решения текстовых задач
учащиеся убеждаются в значимости приобретённых ими умений выполнять
преобразования выражений с переменными и решать уравнения, сводящиеся к
линейным. Задачи, входящие в данный пункт, но не рассмотренные при его
изучении, рекомендуется включать в число классных и домашних заданий на
последующих уроках.

Указания к основным упражнениям учебника

118. Не имеет корней
уравнение 3х  +  11  =  3(х  +  4), так как значение выражения,
стоящего в левой его части, меньше соответствующего значения выражения,
стоящего в правой части.

120. При решении данных
уравнений следует повторить с учащимися определение модуля числа.

а) Уравнение имеет два корня: х₁  = 
–1 и х₂  =  1;

б) уравнение имеет один корень: х  =  0;

в) уравнение не имеет корней, так как модуль любого

числа  —  число неотрицательное.

138. В данном упражнении
учащиеся встречаются с особыми случаями, когда уравнение не имеет корней или
когда любое число является корнем уравнения.

а) 15х  +  30  –  30  =  12х; 15х  – 
12х  =  0; х  =  0;

б) 6  +  30х  =  5  +  30х  —  корней
нет;

в) 3у  + 
у  –  2  =  4у  –  2  —  любое         число       является        корнем

уравнения;

г) 6у  –  у  +  1  =  4  +  5у  — 
корней нет.

146.Уравнение
x  +  (x  +  17)  +  703  =  6940, где x м  —  длина
меньшего тоннеля.

147.Уравнение
x  +  2х  +  3    (2x)  +  4    (6x)  =  132, где x
рупий  —  сумма, которую дал первый жертвователь.

148.Уравнение
x  +  1,15x  =  86, где x  —  число деталей, изготовленных
вторым рабочим.

149.Уравнение
x  +  1,1x  =  126 000, где x р.  —  прибыль, полученная
фирмой в первом квартале.

151.Уравнение
x  +  5x  +  (x  –  5)  =  555, где x г  —  расход
шерсти на шапку.

152.В
этой задаче учащиеся встречаются с ситуацией, в которой корень уравнения не
соответствует смыслу за-

дачи. Уравнение x  +  (x  +    +  (x
 –  5)  =  158, где x  —  число книг на первой полке. Отсюда x  = 
51 . Значит, разложить книги указанным способом нельзя.

155. Обозначим через x км/ч
собственную скорость теплохода, тогда (x  +  2) км/ч  —  скорость
теплохода по течению реки, а (x  –  2) км/ч  —  скорость теплохода
против течения. Получим уравнение 9(x  +  2)  =  11(x  –  2).

157.Пусть
второй пешеход догонит первого через х дней после своего выхода, тогда
пройденное им расстояние составит 45х вёрст. К этому моменту первый пешеход
находился в пути (х  +  1) день и прошёл расстояние 40(х  +  1)
вёрст. Имеем уравнение 45х  =  40(х  +  1).

158.Уравнение
2,5х  +  4  =  4(х  –  2), где х  —  первоначальное число
плотников в бригаде.

159.(Для
работы в парах.) Важным моментом в этой задаче является отсутствие значения
общего числа учащихся в классе. Из условия следует, что это число должно быть
кратно девяти. По смыслу задачи оно может быть равно 18, 27 или 36.
Соответствующие уравнения имеют вид 5х  +  4х  =  18, 5х  + 
4х  =  27, 5х  +  4х  =  36, где 5х  —  число
девочек, а 4х  —  число мальчиков.

Эта задача интересна тем, что она
имеет несколько вариантов верных ответов.

161.Уравнение
х  +  5х  =  3(х  +  2), где х кг  —  масса первого
арбуза.

162.Уравнение
2(50  –  3х)  =  50  –  х, где х кг  —  масса сахара,
взятого из второго мешка.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

235.В
заданиях «а» и «б» легко найти ответ на поставленный вопрос, раскрыв скобки.
Эти уравнения корней не имеют. В задании «в» уравнение имеет два корня: x₁ 
=  0, x₂  =  1.

236.б)
Уравнение не имеет корней, так как |х|  0 при любом значении х,
следовательно, |х|  +  3 > 0 при любом значении х.

237.б)
|а|  =  17, а₁  =  –17, а₂  =  17.

238.Уравнение
mx  =  5 имеет единственный корень, если m    0; уравнение не
имеет корней, если m  =  0; значений m, при которых это уравнение
имеет бесконечно много корней, не существует.

241.г)
Произведение нескольких множителей равно нулю в том случае, когда хотя бы один
из множителей равен нулю, т.  е. х  +  1  =  0, или х  –  1  = 
0, или х  –  5  =  0.

Отсюда х₁  =  –1, х₂  = 
1, х₃  =  5.

242.а)
Уравнение не может иметь положительного корня, так как при х > 0
значение выражения, стоящего в левой части уравнения, есть число положительное.

243.в)
(0,7х  –  2,1)  –  (0,5  –  2х)  =  0,9(3х  –  1)  +  0,1;

0,7х  –  2,1  –  0,5  +  2х  =  2,7х
 –  0,9  +  0,1;

2,7х  –  2,6  =  2,7х  –  0,8; 2,7(х
 –  х)  =  1,8.

Корней
нет, так как 2,7(х  –  х)  =  0 при любом значении х. 245.
Корень уравнения ах  =  6 является целым числом, если число а является
делителем числа 6. Это числа –6; –3; –2; –1; 1; 2; 3; 6.

246.Корень
уравнения не может быть целым числом, так как при любом целом значении х значение
выражения 7(2х  +  1) кратно 7, тогда как 13 на 7 не делится.

247.Уравнение
4х  +  2(1000  –  х)  =  3150, где х  —  число кроликов.

248.Уравнение
х  +  12  =  1,5(х  –  3), где х  —  число кустов
смородины на втором участке.

250.Уравнение
40х  =  25(х  +  6), где х  —  число дней, за которое
ученик должен был прочитать книгу.

251.Уравнение
40х  =  60(х  –  3), где х  –  число дней, за которое
артель должна была выполнить заказ.

Указания к упражнениям из рабочей тетради П у н к т 6

8. а) Уравнение имеет один корень при b  – 
2  =  0, т.  е.

при b  =  2;

б) уравнение имеет два корня при b > 2;

в) уравнение не имеет корней при b < 2.

11.          
а) Уравнения неравносильны, так как первое уравнение имеет
один корень, а второе  —  два;

б) уравнения равносильны.

П у н к т 7

12.          
2bx  –  3b  +  3b  –  6  =  16; 2bx  = 
22; bx  =  11; x= ¹¹. b

Корень х является
натуральным числом, если b  —  делитель числа 11, т.  е. b  =  1
или b  =  11.

13.          
(15  +  m)  –  (2  +  3m)  =  –3(m  + 
2)  +  (2  –  m); 15  +  m  –  2  –  3m  =  –3m  – 
6  +  2  –  m; m  –  3m  +  3m  +  m  =  –6 
+  2  –  15  +  2; 2m  =  –17; m  =  –8,5.

14.          
а) Уравнение имеет один корень при b    0. Корень
уравнения: x=
^3b—2; b

б) ни при каком значении b уравнение не может
иметь

бесконечно много корней;

в) уравнение не имеет корней при b
 =  0, так как в этом случае при любом значении х левая часть
уравнения равна нулю, а правая равна –2.

17.                     
После раскрытия скобок уравнение примет вид kx  =  k
 –  1.

а) Уравнение имеет один корень при k    0;

б) значения k, при котором уравнение имеет
бесконечно

много корней, не существует;

в) уравнение не имеет корней при k  =  0.

18.                     
ах  –  16  =  5х  –  1; ах  –  5х  = 
15; (а  –  5)х  =  15.

Натуральное число а  –  5
должно быть делителем числа 15, т.  е. быть равным 1, 3, 5 или 15.
Следовательно, а может принимать значения 6, 8, 10 или 20.

П у н к т 8

                  8.
Уравнение ¹x+ ^жз¹x–2 + 2= ,^цч                                                             3 x где х  —  число тури-

                                          3         и3           ш

стов, участвовавших в походе. Отсюда x  =  90.

10.    Уравнение
х  +  (х  +  20)  +  120    0,3  =  120, где х мин  —

время, затраченное на выполнение задания по физике.
Получим, что на задание по физике затрачено 32 мин, на задание по алгебре  — 
52 мин, а на задание по русскому языку  —  36 мин.

11.    Уравнение
2    8  +  2    (30  –  2х)  =  64, где х см  —  неизвестная
сторона заштрихованного прямоугольника.

12.    Уравнение
2    х  +  0,5    1,2х  =  39, где х км/ч  —  перво-
начальная скорость велосипедиста. Отсюда x  =  15.

13.    Пусть
с первого участка собрали х кг картофеля, тогда со второго участка
собрали (х  –  0,16х) кг, т.  е. 0,84х кг, а с первых двух
участков вместе собрали 1,84х кг. Значит, с третьего участка собрали
(1,84х  –  96) кг картофеля. Составим уравнение 1,84х  +  (1,84х
 –  96)  =  456. Решив его, получим, что с первого участка собрали 150 кг
картофеля, со второго  —  126 кг, а с третьего  —  180 кг.

14.    Уравнение
1,1(1,1х)  =  1331, где х р.  —  первоначальная цена товара.
Отсюда x  =  1100.

§ 4. Статистические характеристики

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
9 10	Среднее арифметическое, размах и мода Медиана как статистическая характеристика Контрольная работа № 2	3(3) 1(1) 1

Содержание материала

Среднее арифметическое ряда данных
как один из основных статистических показателей. Размах как характеристика
наибольшего различия чисел в ряду данных. Мода как статистический показатель.
Случаи, когда при анализе данных предпочтение отдаётся моде, а не среднему
арифметическому. Медиана ряда данных как статистический показатель. Нахождение
медианы упорядоченного ряда чисел при нечётном и чётном числе членов этого
ряда.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы сформировать у учащихся представление о
простейших статистических характеристиках и их использовании для анализа ряда
данных, полученных в результате статистического исследования.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны научиться
использовать простейшие статистические характеристики (среднее арифметическое,
размах, мода, медиана) для анализа в несложных ситуациях ряда данных,
полученных в результате некоторого исследования.

Методический комментарий

На современном этапе развития
общества, когда в жизнь стремительно вошли референдумы и социологические
опросы, кредиты и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.
п., становится очевидной актуальность включения в школьный курс основных
сведений из статистики. Изучение элементов статистики распределяется между
курсами 7 и 8 классов. В 7 классе вводятся основные статистические
характеристики, в 8 классе учащиеся знакомятся с такими вопросами, как сбор и
группировка статистических данных, наглядное представление статистической
информации.

В курсе алгебры 7 класса
рассматриваются такие характеристики, как среднее арифметическое, размах, мода
и медиана.

Среднее арифметическое ряда данных
является одним из важнейших статистических показателей. Учащиеся должны
понимать, что вычисление среднего арифметического позволяет переходить от
частных случаев к некоторым обобщениям. Эта мысль раскрывается в учебнике на
примере вычисления времени, затраченного семиклассниками в определённый день на
выполнение домашнего задания по алгебре. Важно подчеркнуть, что с помощью
аналогичных наблюдений за этой группой учащихся можно проследить, как
изменялась в течение недели средняя затрата времени на выполнение домашнего
задания по алгебре, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо
день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т. п. Следует сразу сделать
оговорку, что для серьёзных выводов, безусловно, надо выделить более
многочисленную группу.

С помощью среднего арифметического
можно сравнивать, например, хозяйства по средней урожайности пшеницы с 1 га или
молочные фермы по среднему суточному удою молока от одной коровы.

Необходимо обратить внимание
учащихся на то, что среднее арифметическое ряда данных является абстрактной
обобщающей величиной. В связи с этим даже в тех случаях, когда ряд данных
состоит из натуральных чисел, среднее арифметическое ряда может выражаться
дробным числом. У учащихся не должны вызывать недоумения такие обороты речи,
как «в среднем в каждом ящике находится по 42,3 детали», «в среднем учащиеся
класса допустили в работе по 2,8 ошибки».

Наряду со средним арифметическим
при анализе данных используется такой показатель, как размах ряда. Размах ряда
характеризует наибольшее различие данных в ряду. Например, в ряду чисел

12,
44, 36, 44, 18, 20, 12, 12

наибольшее из значений равно 44, а наименьшее равно
12.

Размах ряда равен разности 44  –  12, т.  е. равен 32.

Широкое применение в статистике
находят такие характеристики, как мода и медиана. Их называют структурными
средними, так как значения этих характеристик определяются общей структурой ряда.

Модой ряда называется число,
наиболее часто встречающееся в ряду данных. Особенность этого показателя
состоит в том, что ряд может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.
Внимание учащихся надо обратить на соответствующие примеры, которые приведены в
учебнике. Важно разъяснить им, что во многих случаях при анализе данных
предпочтение отдаётся не среднему арифметическому, а моде. Например, при
изучении спроса населения на одежду или обувь определённого размера
представляет интерес выявление моды. В статистических исследованиях моду иногда
используют как вспомогательный показатель, характеризующий типичность среднего
арифметического в случае, когда оно близко к моде.

Упражнения пункта 9 разнообразны по
содержанию и существенно различаются по степени сложности. Наряду с простейшими
заданиями, непосредственно направленными на усвоение новых понятий, здесь
немало заданий, требующих определённых рассуждений, сопоставлений и обоснований
(170, 173—176, 180, 184). Специальное
внимание следует уделить упражнению 176, предназначенному для работы в
парах. После его выполнения рекомендуется провести в классе коллективное
обсуждение найденных ответов и обратить внимание учащихся на необходимость
учитывать два возможных случая  —  когда пропущено наименьшее число и когда пропущено
наибольшее число. При организации классной работы в число предлагаемых учащимся
упражнений обязательно следует включить задачу-исследование 184. Учителю
необходимо организовать коллективное обсуждение хода решения и проверку
найденного ответа. Из дополнительных упражнений рекомендуется использовать
усложнённые задания 253 и 255.

В пункте 10 учащиеся встречаются
ещё с одной статистической характеристикой  —  медианой. Медиана определяется
сначала для упорядоченного ряда данных. При этом различают два случая: когда
число членов ряда нечётное и когда оно чётное. Полезно обратить внимание
учащихся на происхождение термина «медиана» и его связь с соответствующим
термином из геометрии. Медианой произвольного ряда чисел называют медиану
соответствующего упорядоченного ряда.

Учащиеся должны понимать, что
медиана позволяет уточнить некоторую информацию о ряде данных, которую даёт
среднее арифметическое. В связи с этим рекомендуется рассмотреть в классе
приведённый в объяснительном тексте учебника пример, в котором представлен
случай, когда медиана лучше, чем среднее арифметическое, отражает реальную
ситуацию с распределением акций между сотрудниками отдела.

В систему упражнений данного пункта
включены задания, в которых учащиеся должны найти медиану ряда

(186, 187, 189, 190), а
также усложнённые задания, в которых предлагается найти различные
статистические характеристики и объяснить их практический смысл.

Выполняя различные задания из
данного параграфа, семиклассники учатся аргументировать свои ответы, иллюстрировать
их примерами.

Указания к основным упражнениям учебника 169. в)
Среднее арифметическое ряда приближённо равно 67,7. Размах ряда равен 22. Ряд
имеет две моды: 61 и 64.

г)
Среднее арифметическое ряда равно –0,5. Размах

ряда равен 20. Мода равна 0.

170. а) Размах ряда
увеличится, так как в рассматриваемой разности увеличится уменьшаемое, а
вычитаемое останется прежним. Если ряд имел моду, то она не изменится, так как
добавленное число не совпадает ни с одним из чисел данного ряда.

б) Размах ряда уменьшится, так как
в рассматриваемой разности увеличится вычитаемое, а уменьшаемое останется
прежним. Если ряд имел моду, то она не изменится, так как вычеркнутое число не
совпадает ни с одним из оставшихся чисел.

в)
Размах ряда не изменится. Мода ряда может не из-

мениться, если она совпадала с наибольшим числом. Если
мода была меньше наибольшего числа, то после добавления числа, равного
наибольшему, может появиться ещё одна мода. Если ряд не имел моды, то в
полученном ряду чисел мода окажется равной наибольшему числу.

173.Сумма
членов ряда равна 15    10, т.  е. 150. После добавления числа 37 сумма членов
ряда стала равной 150  +  37, т.  е. 187, а число членов ряда стало равным 11.

Значит, среднее арифметическое нового ряда равно 187 
:  11, т.  е. 17.

174.Сумма
членов ряда равна 13    9, т.  е. 117. После вычёркивания числа 3 сумма членов
ряда стала равной 117  –  3, т.  е. 114, а число членов ряда стало равным 8.
Значит, среднее арифметическое членов нового ряда равно 114 : 8, т.  е. 14,25.

175.Обозначим         стёртое                 число
   через     х.             Тогда

 =14. Отсюда 83  +  х  =  14    7, х
 =  15.

176.(Для
работы в парах.) а) Пусть x  —  пропущенное число, тогда  =18. Отсюда 80  +  x  =  6    18, x
 =  28.

б) Если пропущено наибольшее число x,
то x  –  3  =  40, x  =  43;

если пропущено наименьшее число x,
то 30  –  x  =  40, x  =  –10.

В задании «б» получилось два
ответа, так как в условии задачи не указано, какое число пропущено  — 
наибольшее или наименьшее.

179.            
Средний балл равен среднему арифметическому. Наиболее
типичная оценка равна моде ряда.

Для Ильина средний балл равен  =4,4; наиболее типичной оценкой является оценка
«4».

Для Семёнова средний балл равен   3,5; наиболее типична оценка «3».

Для Попова средний балл равен   4,7; наиболее типична оценка «5».

Для
Романова средний балл равен  =3,8;

15

наиболее типична оценка «4».

180.            
Всего было собрано (18    12  +  19    8  +  23    6) ц.

Общая площадь трёх участков равна
(12  +  8  +  6) га. Средняя урожайность равна  =  19,5
(ц/га).

                                    12+ +8   6                    26

181.            
Среднее арифметическое ряда равно

 =1,7,

т.  е. в среднем на каждый ящик приходится по 1,7
бракованной детали. Мода ряда равна 2, т.  е. преимущественно встречаются
ящики, в каждом из которых 2 бракованные детали.

 184. (Задача-исследование.)
1) Следует обратить внимание учащихся на то, что средний возраст сотрудников
увеличился. Из этого можно сделать вывод, что Игорю больше двадцати лет.

2)  Первоначальный
суммарный возраст сотрудников отдела равен 30,5    12  =  366 (лет).

3)  Новый суммарный
возраст сотрудников отдела равен

(366  –  20  +  х) лет, где х  — 
возраст Игоря.

4)     Средний
               возраст                 сотрудников       отдела стал        равен

346+x (лет).
12

5)     Имеем
уравнение ^346+x =31. Отсюда х  =  26.

12

Возраст Игоря  —  26 лет.

Расчёты подтвердили справедливость
сделанного в пункте 1 предположения о возрасте Игоря.

187.                  
а) Среднее арифметическое ряда равно

                                      =6 28, .

Для определения медианы составим упорядоченный ряд:

3,8;
6,4; 6,8; 7,2; 7,2.

Медиана данного ряда равна 6,8.

188.                  
а) Может, так как частное от деления суммы натуральных чисел
на натуральное число может быть дробным числом;

б) нет, так как мода выражается числом, которое
встре-

чается в ряду данных;

в) нет, так как разность двух натуральных чисел явля-

ется целым числом;

г) может, если в ряду данных чётное число членов.

190. По данным таблицы
следует составить упорядоченный ряд. Медиана ряда равна 4,5.

193. Среднее
арифметическое ряда данных приближённо равно 36. Следует учесть, что сумму
количества всех поступивших писем, равную 1101, надо делить на 31. Размах ряда
равен 64  –  0  =  64. Ряд имеет две моды: 0 и 38. Медианой служит 16-й член
соответствующего упорядоченного ряда данных. Составив упорядоченный ряд,
находим, что медиана равна 38.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

253. Сумма чисел данного
ряда равна 7    10, т.  е. 70. После добавления двух новых чисел сумма ряда
стала равной 70  +  17  +  18, т.  е. 105, а число членов ряда стало равным 12.
Значит, среднее арифметическое стало равно  =8
75, . 254. а) Если упорядочить данный ряд чисел, то до 15-го
члена в полученном ряду будет находиться 14 членов, а так как 15-й член
является медианой, то после него в ряду также находится 14 членов. Значит,
всего в ряду 14  +  1  + +  14  =  29 членов.

б) Если упорядочить данный ряд чисел, то до 17-го
чле-

на будет находиться 16 членов ряда. Так как 17-й и
18-й члены расположены в упорядоченном ряду посередине, то и после 18-го члена
стоят 16 членов ряда. Всего в ряду 16  +  2  +  16  =  34 члена.

255.            
По условию задачи

 =13,

где х и 2х  —  неизвестные члены ряда.
Отсюда

3х
 +  54  =  78; х  =  8.

Искомые числа: 8 и 16.

256.            
По условию задачи

 =32,

где х и (х  +  20)  —  неизвестные
числа. Отсюда

2х
 +  164  =  224; х  =  30.

Искомые числа: 30 и 50.

257.            
а) Среднее арифметическое ряда увеличится на , т.  е. на 0,5.

б) Размах ряда увеличится на 6, так как наибольшее

число увеличится на 6, а наименьшее останется без
изменения. Следовательно, разность между наибольшим и наименьшим числами
увеличится на 6.

в) Мода ряда не изменится; по смыслу задачи в ряду

есть наибольшее число, и, значит, мода с ним не
совпадает, а при увеличении наибольшего числа новое число не может быть модой.

г) Медиана ряда не изменится, так как в соответствую-

щем упорядоченном ряду числа, записанные посередине,
не изменятся.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 9

7.  Размах ряда не
изменится, так как не меняется ни наибольшее, ни наименьшее число этого ряда.

Если ряд имел моду, то она
сохранится или к ней добавится ещё одна мода. Если моды не было, то наименьшее
число, записанное дважды, станет модой этого ряда.

8.  Обозначим
пропущенное число через х. Тогда

 =13.

Отсюда х  =  19.

9.  а) Пусть х  — 
наибольшее число. Тогда

х
 –  5  =  36; х  =  41.

б) Пусть х  —  наименьшее число. Тогда

24  –
 х  =  36; х  =  –12.

10.                     
Сумма членов исходного ряда была равна 28    11. После
добавления нового члена сумма стала равной

28    11  +  48, а число членов ряда стало равным 12.

Среднее
арифметическое x=                =           
29 7, .

                                                                                 12                12

12.    Сумма
членов исходного ряда 38    22. После вычёркивания двух чисел сумма ряда стала
равной 38    22  –  59, а число членов ряда оказалось равным 20.

Среднее арифметическое нового ряда равно

                                           =  =38 85,   .

13.    а)
Среднее арифметическое ряда уменьшилось; б)    размах ряда увеличился; в)   
мода ряда не изменилась.

П у н к т 10

8.    Упорядоченный
ряд данных имеет вид

0; 0;
0; 0; 1,5; 2; 2,5; 2,5; 2,5; 2,5; 3;

3;
3; 3,5; 3,5; 4; 4; 4; 4; 4,5; 4,5; 5; 5.

Среднее арифметическое ряда равно   2 8, .

Размах ряда равен 5  –  0  =  5.

Ряд имеет 3 моды: 0, 2,5 и 4. Медиана ряда равна 3.

9.    Среднее
арифметическое ряда данных равно   8 1, .

Медина ряда равна 2.

Медиана описывает реальную ситуацию
лучше, чем среднее арифметическое, так как почти половина всех сотрудников
приобрели по 2 акции, а значение среднего арифметического оказалось таким
большим из-за того, что один сотрудник приобрёл очень много акций.

11. а) Среднее
арифметическое уменьшится на 0,2, так как сумма уменьшилась на 2, а число
слагаемых осталось равным 10;

б) размах ряда увеличится на 2, так как в разности

между наибольшим и наименьшим числами ряда вычитаемое
уменьшится на 2, а уменьшаемое останется без изменения;

в) мода не изменится; г) медиана не изменится.

Для тех, кто хочет знать больше

Пункт 11. Формулы

Методический комментарий

Одна из особенностей учебника
«Алгебра, 7» под редакцией С. А. Теляковского состоит в создании условий для
интенсивного развития учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике.
Важным шагом в этом направлении является включение в каждую главу дополнительных
пунктов под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Тематика подобных
дополнений определена таким образом, чтобы представленный в них теоретический и
задачный материал был связан с основным материалом главы и позволял учащимся
подняться на новую ступень в его усвоении.

Главу I завершает пункт 11
«Формулы». Понятие «формула» не является новым для учащихся. Из курса
математики младших классов им известны формулы площади и периметра
прямоугольника, длины окружности, площади круга. В курсе алгебры 7 класса
учащиеся уже встречались с формулами чётного и нечётного чисел, а также с
формулой целого числа, кратного натуральному числу n. В данном пункте
известные учащимся сведения о формулах существенно расширяются.

В начале пункта приводятся отрывки
из книги Жюля Верна «Дети капитана Гранта». В этих отрывках учащиеся
встречаются с измерением длины в дюймах, скорости в морских милях в час,
температуры в градусах по Фаренгейту. Естественно, встаёт вопрос о
необходимости знать, как указанные единицы измерения соотносятся с единицами
измерения, хорошо известными учащимся. В учебнике приводятся соответствующие
формулы, расчёты по которым позволяют понять, о каких величинах говорится в
отрывках из книги Жюля Верна, представленных в данном пункте.

Рассмотренный в учебнике авторский
пример 1, безусловно, привлечёт учащихся неожиданностью полученного ответа.
Желательно предварительно выяснить, какой ответ они ожидают получить. Обычно
учащиеся называют такие числа, как 10% и 20%. Однако, выполнив необходимые расчёты,
они убеждаются, что площадь прямоугольника увеличится на 21%. Этот неожиданный
для учащихся ответ хорошо иллюстрирует приведённый в учебнике рисунок 6. После
разбора этого примера полезно обсудить решение задачи 201.

Важное общеобразовательное значение
имеет умение выражать из формулы некоторую переменную через другие.
Соответствующие преобразования выполняются в примере 2 учебного текста.
Формирование подобного умения важно не только для курса алгебры, но и для смежных
дисциплин — геометрии, информатики, физики, химии.

В ходе выполнения представленных в
данном пункте упражнений учащиеся знакомятся с формулами, выражающими связь
старинных единиц измерения (вёрсты, пуды, фунты) с единицами метрической
системы мер, что имеет важное общеобразовательное значение, учатся применять
формулы в процентных расчётах.

Материал, включённый в данный пункт
и в последующие пункты под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше»,
позволяет учащимся, проявляющим интерес и склонности к математике, сделать
новые шаги в достижении личностных, метапредметных и предметных результатов
обучения, определённых Федеральным государственным образовательным стандартом
основного общего образования.

Работа с материалами пунктов под
рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше», может быть организована в форме
индивидуальных заданий учащимся, занятий математического кружка, факультативных
занятий. Полезно, чтобы учащиеся, интересующиеся математикой, имели специальную
тетрадь для выполнения заданий, представленных в этих пунктах. Желательно,
чтобы учитель периодически проверял эти тетради, оценивая правильные решения
задач высокими баллами.

Указания к упражнениям учебника

196—198. При переходе
от одних единиц измерения к другим в случае необходимости рекомендуется
пользоваться калькулятором.

199. а) Пусть первоначальная
длина прямоугольника равна а см, а ширина  —  b см. Тогда его
площадь составляет ab см². После уменьшения на 10% длина
прямоугольника станет равной 0,9a см, а ширина  —  0,9b см.
Площадь полученного прямоугольника составит 0,9a    0,9b, т.  е.
0,81ab см². Имеем ab  –  0,81ab  =  0,19ab;
^{019, ab}  100%=19%. ab

Площадь прямоугольника уменьшится на 19%.

201.Новая
цена товара меньше первоначальной, так как при снижении цены 15% брались от
большей величины. Верный ответ под номером 1.

202.Пусть
первоначально костюм стоил а р. После снижения цены на 20% он стал
стоить 0,8а р. Чтобы вернуться к первоначальной цене, надо новую цену
увеличить на 0,2а р., т.  е. на   100%=25%.
Значит, новую цену надо повысить на 25%.

203.а)
По формуле f  =  1,8с  +  32, полученной в примере 2, разобранном
в тексте учебника, находим: если с  =  4  °C,
то f  =  39,2  °F;
если с  =  –15  °C,
то f  =  5  °F;
если с  =  0  °C,
то f  =  32 °F.

б) По формуле c= ^{5(f –32)}
находим: если f  =  20  °F,
то 9

с    –7  °C;
если f  =  –16  °F,
то с    –27  °C;
если f  =  0  °F,
то с    –18  °C.

204.а)
Не может, так как если с  >  0, то f  =  1,8с  +  32 
>  0;

б) может. Например, при f  =  23  °F имеем c=  =

9

=  –5  °C.

                                    v v– ^{0                                                                   2S}

205.б)
a =     ;
в) b=         
– .a t                h

Функции

§ 5. Функции и их графики

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
12 13 14	Что такое функция Вычисление значений функции по формуле График функции	1(2) 2(2) 2(2)

Содержание материала

Зависимость одной переменной от
другой. Аргумент и функция. Область определения функции. Задание функции с
помощью формулы. График функции. Примеры графиков функциональных зависимостей
между реальными величинами.

Основная цель

Основная цель изучения данного
параграфа состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с понятиями «функция»,
«область определения функции», «график функции», выработать умение читать и
строить графики простейших функциональных зависимостей.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного параграфа
формируются умения учащихся: вычислять значение функции, заданной формулой, по
известному значению аргумента; с помощью графика функции находить значение
функции, соответствующее заданному значению аргумента, и решать обратную
задачу: определять, при каких значениях аргумента функция принимает указанное
значение; извлекать информацию из графиков функций, описывающих реальные
процессы.

Методический комментарий

Материал данной главы является
начальным этапом в систематическом изучении функций, которое в курсе алгебры
распределяется между 7, 8 и 9 классами и получает продолжение в курсе алгебры и
начал математического анализа 10—11 классов.

В пункте 12 «Что такое функция»
рассматриваются примеры зависимостей одной переменной от другой, заданных
формулой (примеры 1 и 2), графиком (пример 3) или таблицей (пример 4).
Подчёркивается существенная особенность этих зависимостей, состоящая в том, что
в них каждому значению одной переменной соответствует единственное значение
другой и вводится понятие функциональной зависимости или функции. Учащиеся
узнают, что независимую переменную называют аргументом, а зависимую  — 
функцией. Рекомендуется обратить их внимание на то, что термин «функция»
употребляется в двух смыслах  —  им обозначается как определённого вида
зависимость одной переменной от другой, так и сама зависимая переменная. Для
учащихся должны стать привычными обороты речи типа «зависимость площади
квадрата от длины его стороны является функцией» или «площадь квадрата является
функцией длины его стороны». К важнейшим понятиям, с которыми учащиеся
встречаются в данном пункте, относится понятие области определения функции.
Полезно, чтобы учащиеся указали область определения для каждой из функций,
рассмотренных в данном пункте учебника в примерах 1—4. Заметим, что вопрос об
области значений функции будет рассмотрен позже, при изучении курса алгебры 9
класса.

Усвоению вводимых понятий
способствуют включённые в пункт 12 упражнения 258—264.

В классе рекомендуется рассмотреть
задания 260, 261, 263. Они достаточно просты и могут быть
выполнены учащимися устно. Важно, чтобы учащиеся давали развёрнутые ответы,
используя введённые термины.

В пункте 13 «Вычисление значений
функции по формуле» рассмотрен один из способов задания функции, с которым
учащимся придётся постоянно встречаться в курсе алгебры. В связи с этим
предлагаются два типа заданий: вычисление значения функции, соответствующего
указанному значению аргумента, и нахождение значений аргумента, при которых
функция, заданная формулой, принимает указанное значение. На данном этапе
изучения задания второго типа могут быть предложены только в том случае, когда
их решение сводится к решению линейного уравнения.

Важно обратить внимание учащихся на
то, что в случае, когда область определения функции, заданной формулой, не
указана, условились считать, что она состоит из тех значений переменной, при
которых формула имеет смысл. Соответствующие упражнения включены в число
основных (272) и дополнительных (351). При наличии времени
рекомендуется рассмотреть дополнительные задания 352, 353, в
которых предлагается составить формулу, задающую некоторую функциональную
зависимость. В домашнее задание для учащихся рекомендуется включить упражнения 281,
282, готовящие к построению и чтению графиков функций.

Данный параграф завершается пунктом
14 «График функции». Понятие графика функции является одним из важнейших в
курсе математики. Графики широко используются в качестве наглядных опорных
моделей как в курсе алгебры 7—9 классов, так и в старших классах при
ознакомлении с началами математического анализа. Они находят применение и в
смежных дисциплинах  —  физике, информатике.

Изучение темы «График функции»
начинается с рассмотрения функции y= ⁶ ,
заданной на множестве знаx+3

чений переменной х, удовлетворяющих условию –2   
x    3. Учитель может предложить учащимся ознакомиться с приведённой в
учебнике таблицей значений этой функции и рассмотреть рисунок 11, на котором
изображены соответствующие точки. Важно обратить внимание учащихся на то, что
эти точки намечают линию, изображённую на рисунке 12, причём, выбирая другие
значения х, удовлетворяющие условию –2    x    3, мы будет
получать новые точки, принадлежащие этой линии. Следует подчеркнуть, что все
такие точки образуют график функции. Учащиеся должны запомнить определение
понятия «график функции» и пользоваться им при выполнении упражнений.

Упражнения на построение и чтение
графиков функций разнообразны по содержанию. В их число включены задания
эмпирического характера, иллюстрирующие значимость формируемых умений. Следует
иметь в виду, что в число основных упражнений данного пункта входят задания,
предназначенные для работы в парах (287, 290, 293). После
выполнения парами этих заданий необходимо организовать коллективное обсуждение
в классе полученных ответов. Из дополнительных упражнений рекомендуется
использовать задания 355, 356 на построение и чтение эмпирических
графиков.

Указания к основным упражнениям учебника

273. Значение функции y равно
6 при х  =  0; y  =  8 при х  =  –0,4; у  =  100
при х  =  –18,8. Важно, чтобы учащиеся давали ответ, используя введённые
термины.

278.                  
s  =  60  –  12t;

а) если t  =  3,5, то s  =  60  –  42 
=  18 (км);

б) если s
 =  30, то t= ^{60 30–}        =2,5 (ч).

12

279.                  
y  =  80  –  10x. Область определения функции 
—  множество чисел 1, 2, …, 8. Следует обратить внимание учащихся, что область
определения функции находится, исходя из смысла задачи.

287. (Для работы в парах.)
В этом упражнении возможны расхождения в ответах учащихся на 0,1  –  0,2, так
как значения переменных находятся приближённо.

В задании «а» невозможно получить
более одного искомого значения; в задании «б» возможны несколько искомых
значений. При ответе на последний вопрос задачи следует требовать от учащихся
соответствующих обоснований. 288. Важно, чтобы учащиеся правильно
определили, какой масштаб выбран при построении графика.

290.(Для
работы в парах.) а) Чтобы ответить на данный вопрос, надо определить по
рисунку абсциссу точки пересечения графиков. Уровни жидкости в сосудах окажутся
одинаковыми, если в них налить по 2,5 л жидкости.

б) По графику, соответствующему
уровню жидкости в первом сосуде, находим ординату точки с абсциссой 1,5, а
затем на втором графике находим точку с такой же ординатой. Абсцисса найденной
точки приближённо равна 1,9. Значит, чтобы получить искомый уровень жидкости,
надо во второй сосуд налить примерно 1,9 л жидкости.

291.Прежде
чем учащиеся приступят к построению графика, рекомендуется обсудить с ними,
какой масштаб удобно выбрать по оси абсцисс и по оси ординат.

293. (Для работы в парах.)
а) При скорости 50 км/ч тормозной путь автомобиля на сухом асфальте приближённо
равен 30 м, на мокром асфальте  —  70 м, при гололёде  — 160 м.

б) Чтобы тормозной путь автомобиля
не превышал 60 м, скорость автомобиля на сухом асфальте не должна превышать 80
км/ч, на мокром асфальте  —  45 км/ч, при гололёде  —  30 км/ч.

Различие в тормозном пути
автомобиля на сухом и мокром асфальте при скорости 50 км/ч приближённо равно 40
м, а при скорости 80 км/ч эта разница составит уже почти 90 м.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

351. Следует ещё раз
напомнить учащимся, какое множество является областью определения функции,
заданной формулой.

а)
Область определения функции состоит из всех чисел,

кроме 2 и –2;

б)
область определения функции — множество всех чисел. 354. Необходимо
подчеркнуть, что значения функций совпадают в тех точках, где пересекаются
графики этих функций.

а) При х  =  –0,5 и х  =  3; б) при
–0,5 < х < 3; в) при

х < –0,5 и при х > 3.

355. а) Расстояние от дома до озера 8 км;

б) до озера рыболов шёл 1,5 ч; на обратный путь он
за-

тратил тоже 1,5 ч;

в) на озере рыболов был 6,5 ч;

г) через час после выхода из дома рыболов был от него

на расстоянии 5 км;

д) на расстоянии 6 км от дома рыболов был через 1 ч

после выхода;

е) средняя скорость рыболова на пути к озеру и на
об-

ратном пути равна  » 5
3, км/ч.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 11

8.       Подбором
находим искомые значения аргумента: 17; 26; 35; 44; 53; 62; 71; 80.

9.       Следует
вспомнить с учащимися определение площади поверхности куба. Тогда станет ясно,
какова искомая формула: S  =  6a².

Если а  =  7,5, то S  =  6    56,25  = 
337,5.

Обратная задача решается с помощью уравнения.

Если S  =  24, то 24  =  6a²,
а  =  2; если S  =  150, то 150  =  6a², а  = 
5.

12. Можно заметить, что
каждое число во второй строке таблицы на 1 меньше квадрата соответствующего
числа, стоящего в первой строке. Отсюда формула у  =  х²  – 
1.

П у н к т 12

11. Зависимость вместимости V
коробки от x можно выразить формулой V  =  (20  –  2x)²   
x. Если x  =  5, то V  =  500; если x  =  4, то V 
=  576; если x  =  3, то V  =  588.

16. Из равенства 23  = 
4    5  +  а найдём значение а  =  3. Воспользовавшись формулой y
 =  4x  +  3, заполним таблицу.

П у н к т 13

16. а) По просёлочной дороге туристы шли 2 ч;

б) автобус туристы ждали 1 ч;

в) по просёлочной дороге туристы
двигались со скоростью =5 км/ч, а по шоссе  — 
со скоростью ^{90 10–} =40 км/ч.

2

§ 6. Линейная функция

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
15 16	Прямая пропорциональность и её график Линейная функция и её график Контрольная работа № 3	2(2) 3(3) 1

Содержание материала

Прямая пропорциональность как
функция, задаваемая формулой вида  у  =  kx, где x  — 
независимая переменная, k  —  число, отличное от нуля. График прямой
пропорциональности, расположение графика в координатной плоскости в зависимости
от знака k.

Линейная функция как функция,
задаваемая формулой y  =  kx  +  b, где k и b 
—  некоторые числа. График линейной функции. Угловой коэффициент прямой.
Взаимное расположение графиков двух линейных функций с одинаковыми и различными
угловыми коэффициентами.

Основная цель

Основная цель изучения данного
параграфа состоит в том, чтобы ознакомить учащихся со свойствами и графиком
прямой пропорциональности и использовать эти сведения в качестве опорных при
изучении линейной функции общего вида.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь строить и
читать графики прямой пропорциональности и линейной функции общего вида,
изображать схематически график функции y  =  kx при k >
0 и k < 0, а также функции y  =  kx  +  b при
различных значениях k и b. Они также должны уметь извлекать
информацию из графиков реальных зависимостей, описываемых формулами вида y  = 
kx, где k    0, и y  =  kx  +  b, где k и
b  —  некоторые числа.

Методический комментарий

Общие сведения о функциях,
рассмотренные в § 5, являются опорными при изучении в курсе алгебры 7— 9
классов свойств функций различного вида. Сначала разбираются свойства линейной
функции, т.  е. функции, задаваемой формулой y  =  kx  +  b,
где x  —  независимая переменная, k и b  —  некоторые
числа. Прежде всего рассматриваются свойства функции, которую можно задать
формулой вида y  =  kx, где x  —  независимая переменная, k 
—  число, отличное от нуля, т.  е. функции, представляющей частный случай
линейной функции и называемой прямой пропорциональностью. Такой подход к
структурированию материала соответствует общему подходу, принятому в курсе
математики, когда от более простых случаев переходят к более сложным: например,
от функции у  =  ах² к функциям у  =  ах²
 +  n, у  =  а(х  –  m)², у
 =  ах²  +  bх  +  с, от функции y  = 
sinx к функциям y  =  asinx, y  =  sinx  + 
b, у  =  asinx  +  b и т. п.

При введении понятия прямой
пропорциональности как функции особого вида следует обратить внимание учащихся
на то, что название этой функции связано со справед-

y¹           y² ливостью
пропорции _x1 = _x2,, где х₁
и х₂  —  значения аргу-

мента, каждое из которых отлично от нуля, а у₁
и у₂  — соответствующие им значения функции. Учащиеся
знакомятся с примерами 1—3 учебного текста, указывая в каждом из них
независимую и зависимую переменные. После этого рассматривается график прямой
пропорциональности. Учащимся рекомендуется предложить ознакомиться с таблицей
значений функции у  =  0,5х, проанализировать по рисунку 22
особенность расположения точек, координаты которых помещены в таблице, и
рассмотреть график функции, изображённый на рисунке 23. Утверждение о том, что
графиком прямой пропорциональности является прямая линия, принимается без
доказательства. Учащимся предлагается построить график функции у  = 
–1,5х. Этот график они строят по двум точкам, одной из которых служит
начало координат. Полезно предложить учащимся выполнить упражнение 301,
предназначенное для работы в парах.

Далее анализируются особенности
расположения в координатной плоскости графика функции  y  =  kx при
k > 0 и k < 0. Знание этих особенностей является хорошим
средством для самоконтроля. Учащимся предлагаются более сложные задания на
построение и чтение графиков. Рекомендуется остановиться на заданиях 307—309,
в которых рассматривается зависимость между реальными величинами. Заметим, что
задание 307 интересно тем, что в нём требуется составить формулу,
приближённо описывающую реальную ситуацию. Из дополнительных упражнений полезно
уделить внимание заданию 357, в котором для построения графика требуется
выбрать соответствующий масштаб. Ознакомление с прямой пропорциональностью
является хорошей подготовкой к изучению линейной функции общего вида.

Определение линейной функции
рекомендуется дать после рассмотрения примеров 1 и 2, приведённых в пункте 16.
Важно подчеркнуть, что прямая пропорциональность является частным случаем
линейной функции. Усвоению понятия линейной функции способствуют упражнения 313—
318, которые используются для классной и домашней работы. Целесообразно
предложить учащимся выполнить также дополнительные упражнения 363, 366.

Особое внимание следует уделить
понятию графика линейной функции. С графиками различных линейных функций
учащиеся будут неоднократно встречаться как в курсе алгебры, так и при изучении
смежных дисциплин.

Вопрос о графике линейной функции
решается с опорой на интуитивные представления учащихся. Сопоставляются
значения функции у  =  0,5х и у  =  0,5х  +  2,
соответствующие одинаковым значениям аргумента, и делается вывод, что график
функции у  =  0,5х  +  2 может быть получен из графика функции у
 =  0,5х сдвигом на две единицы вверх и представляет собой прямую,
параллельную графику функции у  =  0,5х. Утверждение, что
графиком линейной функции y  =  kx  +  b при k    0
является прямая, параллельная графику функции y  =  kx, принимается
без доказательства. Важно остановиться на случае, когда линейная функция задана
формулой y  =  b, где b  —  некоторое число. Учащиеся
должны усвоить, что при k  =  0 и b    0 графиком функции y  = 
0x  +  b, т.  е. y  =  b, является прямая,
параллельная оси x, а при k  =  0 и b  =  0  —  сама ось x.

Уже на первом уроке, отводимом на изучение пункта 16 «Линейная
функция и её график», можно предложить учащимся выполнить в классе или дома
некоторые задания на построение графиков линейных функций (упражнения 319,

320, 325, 326).

На последующих уроках круг сведений
о графике линейной функции расширяется. Важно разъяснить учащим-

ся, что графики функций y  =  kx  +  b₁,
y  =  kx  +  b₂, y  =  kx  +  b₃
и т. п., где k  —  отличное от нуля число, b₁, b₂,
b₃, …  —  не-

которые отличные от нуля числа, параллельны графику
прямой пропорциональности y  =  kx и потому наклонены к оси x под
тем же углом. Этот угол называют углом наклона графика функции y  =  kx
 +  b. При k > 0 угол наклона графика  —  острый, а при k
< 0  —  тупой. Соответствующие иллюстрации приведены в учебнике на
рисунке 37. Учащиеся должны понимать, что из формулы y  =  kx  + 
b при x  =  0 следует равенство y  =  b. Это
означает, что график линейной функции y  =  kx  +  b пересекает
ось y в точке с координатами (0; b).

На втором и третьем уроках,
отводимых на изучение пункта 16, учащимся предлагаются различные упражнения,
связанные с понятием «график линейной функции». К ним относятся задания 321—324,
327. Специальное внимание следует уделить заданиям 328, 329,
при выполнении которых учащиеся должны учитывать особенности расположения
графика линейной функции в координатной плоскости. Интерес учащихся обычно
вызывают упражнения 330—335, связанные с чтением и построением
графиков, описывающих реальные зависимости между величинами. Такого рода
задания убеждают учащихся в практической значимости приобретаемых ими знаний и
умений. В их число входят задания 330 и 335, предназначенные для
работы в парах. Результаты выполнения этих заданий обязательно следует обсудить
в классе, формируя умение учащихся излагать и обосновывать свои рассуждения.

При изучении сведений о линейной
функции можно предложить учащимся выполнить задания 361, 364, 367—
372 из числа дополнительных упражнений к § 6.

На завершающем этапе изучения
данного параграфа рекомендуется проверить усвоение материала учащимися,
используя для этого контрольные вопросы и задания, помещённые в конце
параграфа.

Указания к основным упражнениям учебника

301.                  
(Для работы в парах.) а) у  =  –9х; б) у
 =  –9х.

Следует обратить внимание учащихся
на то, что графики функций у  =  kx и у  =  –kx симметричны
как относительно оси x, так и относительно оси y.

302.                  
При ответе на последний вопрос из уравнения –150  =  –0,5х
находим х  =  300. При этом полезно пояснить учащимся, что график
функции у  =  –0,5х бесконечен и на чертеже изображена лишь его
часть.

304.График
прямой пропорциональности y  =  kx проходит через точку A(3;
21). Из условия 21  =  k    3 находим k  =  7. График проходит
через точку B.

305.(Для
работы в парах.) Выполнив задания «а»— «г», учащиеся могут сделать вывод о
том, как расположены графики в заданиях «д» и «е».

В задании «д» графиком функции
является прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III
координатных четвертях, а в задании «е»  —  прямая, проходящая через начало
координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

307.При
построении точек удобно выбрать масштаб: 1 ч изображается на оси x отрезком
длиной 2 см, 1 км изображается на оси y отрезком длиной 1 см. Точки
располагаются близко от прямой, проходящей через начало координат и точку (1;
4). Приближённо зависимость у от х выражается формулой у  = 
4х.

308.а)
Абсциссы точек А и В  —  время движения (в часах) пешехода и
велосипедиста соответственно. Пешеход был в пути 4 ч, велосипедист  —  2 ч.

б) Ординаты точек А и В  —  путь (в
километрах), прой-

денный пешеходом и велосипедистом. Пешеход прошёл 20
км, велосипедист проехал 30 км.

в) Скорость
движения (в километрах в час) вычисляем по формуле v
= ^s.
Пешеход двигался со скоростью

t

 =5 км/ч, а
велосипедист  —  со скоростью  = 51 км/ч.

г) Путь, который проехал за 2 ч
велосипедист, в 3 раза больше пути, пройденного за то же время пешеходом, так
как скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости пешехода.

309. Зависимость удлинения
проволоки у от силы F является прямой пропорциональностью при 0   
F    1000 (H).

314. Длина прямоугольника x
см, а ширина (х  –  3) см. Зависимость периметра прямоугольника от
его длины можно выразить формулой P  =  2(x  +  x  –  3) 
=  4х  –  6, а зависимость площади прямоугольника от его длины  — 
формулой

S  =  x(x  –  3).

Линейной функцией является
зависимость периметра прямоугольника от его длины.

Заметим, что зависимость площади
прямоугольника от его длины не является линейной функцией.

316. Линейными являются
функции в заданиях «а», «б», «в» и «е», так как каждую из них можно задать
формулой вида y  =  kx  +  b, где k и b  — 
некоторые числа.

320. (Задача-исследование.)
а) Прямые, являющиеся графиками функций y  =  kx  +  4 и у  = 
–x, параллельны в том случае, когда равны их угловые коэффициенты.
Следовательно, k  =  –1.

б) Так как ось абсцисс является графиком функции

y  =  0, то график функции y  =  kx  + 
4 не пересекает ось абсцисс, т.  е. параллелен ей при k  =  0.

в) Подставив в уравнение y  =  kx  + 
4 значения x  =  3,

y  =  0, получим 0  =  3k + 4. Отсюда k=–.

г) Найдём координаты точки пересечения графиков

функций у
 =  12  –  х и у  =  х  +  4. Имеем 12  –  х  = 
х  +  4. Отсюда              х  =  4,    тогда     у  = 
4  +  4  =  8. Подставив в              уравнение у  =  kx  + 
4 значения х  =  4, у  =  8, получим 8  =  4k  +  4. Отсюда
k  =  1.

322. а) График функции
пересекает ось у в точке, абсцисса которой равна 0, и пересекает ось х
в точке, ордината которой равна 0.

Из равенства –2,4х  +  9,6 
=  0 находим, что х  =  4, а из равенства у  =  –2,4    0  +  9,6
находим, что у  =  9,6, значит, прямая пересекает ось х в точке
(4; 0), а ось у  —  в точке (0; 9,6).

в) Из равенства

1,2x
 +  6  =  0

находим, что x  =  5, а из равенства

y  = 
1,2    0  +  6

находим, что y  =  6. Значит, прямая пересекает
ось   x в точке (–5;   0), а ось   y — в точке (0;   6).

324. а) График проходит
через точку A(100; 113), так как 113  =  1,2    100  –  7.

в)
График не проходит через точку C(–10; 5), так как

5    1,2    (–10)  –  7.

330. (Для работы в парах.)
а) Массу пустого бидона находим по графику как ординату точки с абсциссой,
равной нулю. Эта масса равна 1 кг.

б)
Массу бидона с 1 л жидкости находим по графику

как ординату точки с абсциссой 1. Эта масса равна 2
кг.

в) Масса 1 л жидкости равна
разности (2  –  1) кг, т.  е. равна 1 кг.

г)  
Зная, что общая масса бидона и жидкости равна 3 кг,

находим по графику объём жидкости в бидоне как
абсциссу точки с ординатой 3. Этот объём равен 2 л.

332.а)
Дачник ехал по шоссе 0,5 ч и проехал 40 км, следовательно, его скорость была
равна 40  :  0,5  =  80 (км/ч);

б) по просёлочной дороге дачник
ехал 0,5 ч и проехал 30 км, следовательно, его скорость была равна 30  :  0,5 
= =  60 (км/ч).

333.Зависимость
задаётся формулой у  =  1,5х  +  10. Из равенства 1,5х  + 
10  =  100 находим, что х  =  60. Значит, область определения этой
функции 0    х    60. Можно выбрать следующий масштаб: по оси х в
1 см  10 единиц, по оси у в 1 см  20 единиц.

335. (Для работы в парах.)
Для определения скорости движения следует пройденный каждой машиной путь
разделить на время движения. Удобно воспользоваться для определения скорости
движения точкой пересечения графиков.

Из рисунка 44 учебника видно, что
расстояние, равное 140 км, первая машина прошла за 2 ч, следовательно, её
скорость v₁
=  =70
(км/ч), а вторая машина двигалась со скоростью v₂ =  =140 (км/ч).

Абсцисса точки пересечения графиков
означает время, когда машины встретились, а ордината  —  пройденное ими
расстояние до момента встречи.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

361.б)
Линейная функция задаётся формулой y  =  kx  +  b.
Значение b находим из равенства 5  =  0   k  +  b, имеем b
 =  5, а из равенства 6  =  k   10  +  5 находим, что k  = 
0,1. Заполняем таблицу, пользуясь формулой у  =  0,1х  +  5.

362.Учащиеся
должны заметить закономерность: у каж- дого двузначного числа число десятков
равно значению x, которому это число соответствует, а число единиц равно
1.

Поэтому функцию можно задать формулой y  =  10x
 +  1.

364. Из условия –1,4  =  3,5а находим,
что а  =  –0,4.

366. Скорость
распространения звука в зимний день при температуре –35  °С равна

v  = 
331  +  0,6   (–35)  =  310 (м/с),

а в летний день при температуре 30  °С равна

v  = 
331  +  0,6   30  =  349 (м/с).

370.Функцию
можно задать формулой y  =  kx  +  b. Из условия
параллельности графиков следует, что k  =  1,5. Из равенства

3  = 
1,5   2  +  b

находим, что b  =  0. Следовательно, y  = 
1,5x.

371.Линейная
функция, графиком которой служит пря- мая, параллельная оси абсцисс, задаётся
формулой y  =  b. Поскольку эта прямая проходит через точку А(5;
8), то b  =  8. Значит, функцию можно задать формулой у  =  8.

372.б)
16х  –  7  =  21х  +  8; 5х  =  –15; х  =  –3; у
 =  –55.

Точка пересечения графиков имеет координаты (–3;
–55).

373.Чтобы
ответить на вопрос задачи, надо построить графики данных линейных функций.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 14

16. При выполнении задания
следует учитывать знак коэффициента пропорциональности.

а) Наибольшее значение 15, наименьшее значение –5;

б) наибольшее значение 3, наименьшее значение –9.

18.    Из
рисунка видно, что функцию, график которой изображён, можно задать формулой у
 =  2х. График функции y  =  kx располагается между
этой прямой и осью y при значениях k > 2.

19.    Чтобы
ответить на вопрос задачи, надо для каждых трёх точек составить отношения
ординаты к абсциссе. В случае равенства всех трёх отношений точки лежат на
одной прямой, являющейся графиком функции y  =  kx.

а) ⁶ =
^–3 = ^{1 5,} =3. Точки
лежат на одной прямой у  =  3х;

               2       –1      0 5,

б) ^–6 =
^–3 = ^–15 =– .3 Точки
лежат на одной прямой

           2         1          5

у  =  –3х;

в)                      = ^{1 5,  –3}. Точки не лежат на одной прямой;

                   0 5,      –1

г) ^–4 = ² = ^–12 =– .2 Точки
лежат на одной прямой

           2        –1         6

y  =  –2х.

П у н к т 15

6. Зависимость у от t
является линейной функцией, которая задаётся формулой у  =  100  – 
5t. Область определения функции 0 < t    20.

10. а) График пересекает ось
x в точке с ординатой, равной нулю. Имеем уравнение

0  = 
0,2х  –  18; х  =  90.

График пересекает ось x в точке (90; 0).

14. Если один из углов
треугольника равен b °,
а другой угол равен (b + 40) °,
то третий угол а °
можно найти по формуле

а  = 
180  –  b  –  (b  +  40).

Формулой а  =  140  –  2b
задаётся линейная функция. Её область определения 0  <  b  < 
70 °, так как
значение угла треугольника должно быть положительным числом.

16. Так как x  +  y
 =  6, то y  =  –x  +  6. Сопоставив эту формулу с формулой
заданной функции y  =  kx  +  b, можно сделать вывод, что k
 =  –1, b  =  6.

18.    Функция
задаётся формулой y  =  kx  +  b. Из условия
параллельности графиков следует, что k  =  2,5. Из равенства 3  = 
2,5    (–1)  +  b находим, что b  =  5,5.

19.    а)
Велосипедисты сближаются каждый час на 45 км. За t ч они проедут
расстояние 45t км. Следовательно, до встречи им останется проехать
расстояние s  =  225  –  45t. Чтобы определить, через какое время
расстояние между ними составит 45 км, надо решить уравнение

225  –
 45t  =  45.

Отсюда t  =  4.

б) Если велосипедисты продолжают
движение после встречи, то они удаляются друг от друга со скоростью 45 км/ч.
Тогда расстояние между ними через t ч станет равным s  =  45t  – 
225. Чтобы определить, когда это расстояние составит 45 км, надо решить
уравнение

45t
 –  225  =  45.

Отсюда t  =  6.

Для тех, кто хочет знать больше

Пункт 17. Задание функции несколькими формулами

Методический комментарий

В данном пункте расширяются
сведения о функциях, с которыми учащиеся ознакомились при изучении параграфов 5
и 6. Если раньше они встречались только с функциями, заданными одной формулой,
то теперь им приходится иметь дело с функциями, заданными несколькими
формулами. Так, в примере 1 рассматривается случай, когда зависимость
расстояния от дома до места нахождения туриста задаётся с помощью трёх формул,
которые кратко можно записать так:

мп6t, если 0    t    1,5,

s = н9, если 1,5    t    2,

по5t  –  1, если 2    t    3,

где t — число часов, прошедших с момента выхода
туриста из дома, s — расстояние от дома до места нахождения туриста.
Каждому из указанных в этих формулах моментов времени соответствует
единственное значение функции, выражающее расстояние от дома до места
нахождения туриста.

Важно подчеркнуть, что при задании
функции несколькими формулами необходимо правильно указывать соответствующие
множества значений аргумента, не допуская случаев, когда одно и то же значение
аргумента повторяется дважды.

В примере 2 рассматривается вопрос
о построении графика функции, заданной формулой, в записи которой используется
знак модуля. Соответствующее умение будет неоднократно использоваться в курсе
алгебры.

Пример 3, приведённый в данном
пункте, является достаточно сложным для учащихся. Здесь рассматривается случай,
когда от словесного описания ситуации надо перейти к заданию функции с помощью
нескольких формул. Можно опустить его на этом этапе изучения сведений о
функциях, чтобы вернуться к нему позже на этапе заключительного повторения.

Усвоению сведений о формулах,
представленных в данном пункте, способствуют включённые в него упражнения 339—347.
Особое внимание следует уделить заданиям 340, 345—347, связанным
с рассмотрением конкретных физических процессов. В упражнении 340
предлагается задать аналитически описанную зависимость между объёмом воды в
баке и временем, в течение которого вода вытекала. В упражнениях 345, 346
рассматриваются функции, описывающие реальную зависимость между величинами с
помощью нескольких формул. При выполнении их учащиеся должны предварительно
определить, в какой промежуток попадает заданное значение аргумента. В
упражнении 347 предлагается перейти от графического способа задания
функции к заданию её с помощью формул.

Изучение пункта 17 можно провести
в форме занятия математического кружка. На этом занятии один из учащихся может
рассказать о разобранном в учебнике примере 1, другой — о примере 2. После
этого члены математического кружка могут приступить к выполнению некоторых
упражнений из данного пункта.

Указания к упражнениям учебника

339. Из графика видно, что
функцию можно задать тремя формулами

мп–x+1, если x < 0,

y= н1, если 0  x 1, поx, если x > 1. 340. Объём воды, которая может вытечь из
бака через кран, равен 0,9    20, т.  е. 18 л. Этот объём вытечет за 9 мин (18
: 2  =  9). После этого в течение оставшихся 3 мин в баке будет находиться 2 л
воды (20  –  18  =  2). Значит, функцию можно задать формулами

м20 – 2x, если 0  x  9,

V = н

о2, если 9  x  12.

341.б)
График состоит из двух отрезков. Один из них  — часть прямой у  =  2х,
ограниченная точками с абсциссами –1 и 1, причём только первая точка
принадлежит области определения. Другой отрезок  —  часть прямой у  = 
3  –  х, ограниченная точками с абсциссами 1 и 4.

342.Воспользовавшись
определением модуля, предварительно заменяем каждую формулу двумя:

а) y= нм– ,0 25x+1, если x < 0, о0 25, x+1, если x  0;

б) y₌ нм– ,0 5x, если x < 0, о1 5, x, если x  0;

м

оx – 2, если x  0.

в) y ₌ н–x +2, если x < 0,

343.Функцию
можно задать формулой y  =  |x|  +  2.

344.Функцию
можно задать следующим образом:

мпx+1, если –2  x < 1, y= н–x+3, если 1  x  3, поx–3, если 3 < x  6.

345.При
0    t  <  20 вода нагревалась от 20 до 100 °, при 20    t    30 вода кипела,
при 30 < t    90 вода остывала.

346.Если
t  =  0, то s  =  0; если t= , то s  = 
3; если t  =  1, то s  =  5; если t  =  1,5, то s  = 
2,5; если t  =  2, то s  =  0.

347.Из
графика видно, что функцию можно задать аналитически с помощью трёх формул

мп60x, если 0  x < 1
5, ,

y= н90, если 1 5,  x  2, по90x–90, если 2 < x  3.

До остановки автомобиль двигался со
скоростью 60 км/ч, а после остановки  —  со скоростью 90 км/ч.

Степень с натуральным
показателем

§ 7. Степень и её свойства

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
18 19 20	Определение степени с натуральным показателем Умножение и деление степеней Возведение в степень произведения и степени	1(1) 2(3) 2(2)

Содержание материала

Определение степени с натуральным
показателем. Возведение в степень положительных и отрицательных чисел.
Нахождение значения степени с помощью калькулятора. Умножение и деление
степеней. Степень с нулевым показателем. Возведение в степень произведения и степени.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы ознакомить учащихся со свойствами степеней с
натуральными показателями и выработать умение выполнять умножение и деление
степеней, возведение в степень произведения и степени.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь вычислять
значения выражений вида аⁿ, где а  —  произвольное
число, n — натуральное число, устно и письменно, а также с помощью
калькулятора, находить значения выражений, содержащих степени с натуральными
показателями, формулировать, записывать в символическом виде и обосновывать
свойства степеней с натуральными показателями, выполнять умножение и деление
степеней с натуральными показателями, возведение в натуральную степень
произведения и степени.

Методический комментарий

Материал § 7 «Степень и её
свойства» составляет тот фундамент, на котором строится изучение широкого круга
тождественных преобразований выражений различного вида. К ним относятся
изучаемые в 7 классе преобразования целых выражений, в 8 классе преобразования
дробных выражений, квадратных корней и степеней с целыми показателями, в 9
классе  —  корней n-й степени. В связи с этим изучению материала данного
параграфа необходимо уделить особое внимание, добиваясь его усвоения всеми
учащимися.

Изучение пункта 18 «Определение
степени с натуральным показателем» начинается с введения соответствующего
определения, в котором выделяются два случая: случай, когда показатель степени
больше 1, и случай, когда он равен 1. Следует обратить внимание учащихся на
свойства степени отрицательного числа с чётным и нечётным показателями, на
справедливость неравенства а²    0 при любом значении а.
Усвоению фундаментальных понятий и свойств, рассмотренных в данном пункте,
способствуют упражнения 374—377. При наличии времени можно
дополнить их некоторыми из заданий 511—518, входящих в раздел
«Дополнительные упражнения к главе III». В данном пункте учащиеся ознакомятся с
приёмом возведения чисел в степень с натуральным показателем с помощью
калькулятора, рассмотренным в примере 3. Этот приём находит применение в
упражнениях 378, 379.

Специальное внимание в пункте 18
уделяется вычислению значений выражений, содержащих степени. Учащихся следует
ознакомить с принятым порядком действий, согласно которому при отсутствии скобок
сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление и, наконец,
сложение и вычитание. В конце пункта предлагаются различные упражнения на
нахождение значений выражений, в том числе и задания 389, 390,
где выражения, содержащие степени, надо предварительно составить. В число
упражнений, предлагаемых учащимся, включена задача-исследование 394.
Выполнив разложение на простые множители чисел 90 и 15, они должны под
руководством учителя высказать свои соображения о значениях а и найти
эти значения. Интерес представляет упражнение 395, где в первых трёх
заданиях учащиеся должны степени заменить произведением и подсчитать число
множителей в нём, а в последнем задании уже нужно сообразить, что число
множителей в произведении а²⁰а¹² можно
определить, не выписывая их. Упражнение 397, предназначенное для работы
в парах, учащиеся должны выполнить, анализируя структуру выражений. Полученные
ответы рекомендуется проверить при коллективной работе класса. Упражнения 398
и 399, а также упражнение 519 из числа дополнительных
упражнений к главе III готовят учащихся к чтению формул сокращённого умножения.

В пункте 19 «Умножение и деление
степеней» рассматривается свойство степени, выражаемое равенством а^mаⁿ
 =  а^{m  +  n}. Важно объяснить учащимся, что это
свойство называют основным свойством степени, так как из него вытекают правила
деления степеней с натуральными показателями и возведения степени в степень.
Учащиеся должны знать основное свойство степени и уметь его доказывать. Что
касается деления степеней с одинаковыми основаниями, то от учащихся достаточно
требовать знания соответствующего правила и умения применять в расчётах и
преобразованиях формулу а^m  :  aⁿ  =  а^{m 
–  n} при любом а    0 и произвольных натуральных числах m и
n, где m > n.

Предлагаемые в данном пункте
упражнения 403—412 и примыкающие к ним дополнительные упражнения 531—535
достаточно просты и не вызывают затруднений у учащихся.

В связи с рассмотрением правила
деления степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями вводится
понятие степени с нулевым показателем. Необходимо специально подчеркнуть, что
выражение 0⁰ не имеет смысла. Следует обратить внимание учащихся на
то, что после введения понятия степени с нулевым показателем мы можем применить
формулу а^maⁿ  =  a^{m  +  n}, где a   
0, и в том случае, когда один из показателей m или n равен нулю
либо оба показателя равны нулю. Формулу a^m  :  aⁿ 
=  a^{m  –  n}, где a    0, можно теперь применять при любых
целых неотрицательных значениях показателей m и n,
удовлетворяющих условию m    n. Усвоению понятия степени с
нулевым показателем способствуют упражнения 420, 421 и
примыкающее к ним дополнительное упражнение 537.

Данный параграф завершает пункт 20
«Возведение в степень произведения и степени». Выводу представленных здесь
правил преобразований выражений предшествует рассмотрение конкретных примеров,
на которых прослеживается схема рассуждений. Внимание учащихся следует обратить
на то, что при выводе правила возведения в степень произведения используются
переместительное и сочетательное свойства умножения, а при выводе правила
возведения степени в степень используется основное свойство степени.

Предлагаемые в пункте упражнения 428—433
достаточно просты. Далее следуют задания 434 и 435,
предназначенные для работы в парах. После их выполнения необходимо проверить
полученные учащимися ответы и выслушать соответствующие обоснования. Следует
обратить внимание на задание 437, в котором используется представление
произведения степеней в виде степени. Включённые в данный пункт упражнения
должны выполняться учащимися с большой тщательностью, так как здесь
закладывается база для изучения последующих тождественных преобразований выражений
разного вида. При наличии времени рекомендуется использовать некоторые задания
из дополнительных упражнений к главе. Полезно, в частности, организовать
обсуждение в классе ответов на вопросы, поставленные в заданиях 549—551.

Указания к основным упражнениям учебника 380. Полезно,
чтобы учащиеся запомнили значения степеней числа 2 с показателями от 1 до 10 и
степеней числа 3 с показателями от 1 до 5.

381. а) Например, 1²⁴ = ⁴⁹ = ^жз^7цч² = ^жз–^7цч².

                                                          25       25      и5ш        и 5ш

386. Важно, чтобы при
выполнении задания учащиеся обращали внимание на структуру выражения.

              ж       5ц²          ж15ц²          225            1

б) з9  ч = з      ч =           =56 ; и    6ш           и 2 ш       4              4

з) 2700    (–0,1)³  =  2700    (–0,001) 
=  –2,7.

388.Перед
выполнением упражнения учащимся следует напомнить принятый порядок действий при
вычислении значения числового выражения.

2

ж) 3⁴
– ^жз^2цч  6¹ =81– ^{4  25} =81 1– =80. и5ш         4              25            4

389.Площадь
окна S  =  S₁  +  S₂, где S₁
 —  площадь прямоугольника со сторонами a см и 1,5a см, а S₂
 —  площадь полукруга с радиусом ^a см.

2

S1  =  a    1,5a   a2, S2 = 12pизжa2цчш2 = p8a2.  =  1,5

Отсюда S =1 5, a² + p^a2
(см²).

8

394. (Задача-исследование.)
Разложим на простые множители числа 90 и 15. Получим

90  = 
2    3²    5, 15  =  3    5.

Выясним, при каких значениях a
число 90 является общим кратным чисел 15 и a. Это возможно тогда, когда
число a принимает одно из следующих шести значений: либо а  = 
2    3, либо а  =  3², либо а  =  2    5, либо а  = 
2    3    5, либо a  =  2    3², либо a  =  2    3²   
5. В первых четырёх случаях

число 90 не является наименьшим общим кратным чисел 15
и а, так как НОК   (6,   15)   =   30, НОК   (9,   15)   =   45, НОК  
(10,   15)   =   30, НОК   (30,   15)   =   30. Следовательно, ис-

комыми совокупностями множителей являются 2    3²
и

2                        
  3²    5, т.  е. а  =  18 и а  =  90.

395. г) Так как по определению степени

a²⁰ 
=  a    a    …    a,   a¹²  =  a   
a    …    a,

                      20
раз              12 раз то a²⁰    a¹²  =  a   
a    …    a  =  a³².

           32 раза

Это упражнение готовит учащихся к
пониманию доказательства основного свойства степени.

397. (Для работы в парах.)
а) При любом значении a верны неравенства

а²
 +  1 > 0, 3  +  (5  –  a)² >  0, а⁴  + 
а²  +  8  >  0,

так как а²    0, (5  –  a)²   
0, a⁴  +  a²    0.

б) При любом значении a верны неравенства

–a⁶
 –  4a⁸  –  1  <  0, –a⁸  –  9
< 0,

так как –а⁶  –  4а⁸   
0, –а⁸    0.

Полезно обсудить с учащимися, что
значения выражений –а⁴ и –а  –  а³ равны
нулю при а  =  0, а выражения –а²  +  8, 3а  + 
4, –7а  –  4 могут принимать как положительные, так и отрицательные
значения.

412. в) Заменяя множитель
2187 на 3⁷, а множитель 9 на 3², получаем

9   
2187  =  3²    3⁷  =  3⁹  =  19  683.

г) Заменяя множители степенями числа 3, получаем

27    243 
=  3³    3⁵  =  3⁸  =  6561.

ж 1ц⁴

                       з1
ч                  2                   2

                      и 2ш         ж 1ц        ж3ц        9          1

417. г) ₂ = зи12чш = зи2чш = 4 =24; ж 1ц з1 ч и 2ш

          ж     1ц⁶

            з–2ч                      ^{3                        3}

          и     3ш       ж      1ц         ж 7ц             343               19

д) ж               ц3 = зи–23чш = зи–3чш =–
27 =–1227.

1

з–2ч и 3ш

420. г) Можно сразу
заметить, что a⁰  =  1 (a    0), поэтому на значение
выражения влияет только значение переменной c.

При a= ², c=–¹ имеем
27a⁰c³  =  27c³  =  27   
^жз– ^{1 ц}ч =– .1

3                        
3             и 27ш

432.Площадь
квадрата со стороной а равна а². Если сторона квадрата
увеличится в n раз, где n  —  натуральное число, то площадь его
станет равной (na)²  =  n²a²,
т.  е. увеличится в n² раз.

433.Объём
куба с ребром а равен а³. Если ребро куба увеличится в
n раз, где n  —  натуральное число, то его объём станет равным (na)³
 =  n³a³, т.  е. увеличится в n³
раз.

434.(Для
работы в парах.) Площадь поверхности куба с ребром а равна 6а².
Если ребро куба равно 3а, то площадь его поверхности равна 6    (3а)²
 =  54а², что в 9 раз больше площади поверхности
первоначального куба. Следовательно, на покраску нового куба потребуется 40   
9  =  360 г краски. Значит, 1 кг краски хватит на покраску нового куба.

435.(Для
работы в парах.) Объём куба с ребром а равен а³.
Если ребро куба увеличить в 2 раза, то его объём увеличится в 2³
раз, т. е. в 8 раз. Следовательно, чтобы его наполнить водой, потребуется 40   
8 мин, или 5 ч 20 мин.

Значит, за 5 ч наполнить этот бассейн не успеют.

437. Воспользуемся равенством aⁿbⁿ
 =  (ab)ⁿ.

б) 4³    25³  =  (4    25)³
 =  100³  =  1 000 000;

г) з2цч7
 1,5 =7                   жз2цч7
 жз3чц7
= зж2  3цч7
=17 =1; ж

              и3ш                    и3ш     и2ш         и3 2ш

е)
0,2⁶    50⁷  =  ^ж_з^1ц_ч⁶  5 10^{7     7} = ^ж_з¹  5^ц_ч⁶  5 10 ⁷ =50000000. и5ш                и5            ш

444. Воспользуемся равенством а^mn  = 
(а^m)ⁿ.

а) 2⁶⁰  =  (2²)³⁰  = 
4³⁰;   в) 2⁶⁰  =  (2⁴)¹⁵  =  16¹⁵.

                            37  27        37  33          310

          450. г)            4 3 =                     12 = 12 = 12 10 ==.

                             ( )3            3            3

Указания к дополнительным упражнениям учебника

512. Следует обратить
внимание учащихся, что число 26⁷ оканчивается цифрой 6, число 15⁵
 —  цифрой 5, число 11⁹  — цифрой 1. Следовательно, число,
равное 26⁷  +  15⁵  –  11⁹, оканчивается
цифрой 0, т.  е. кратно 10.

515. В этом задании ответ находится подбором.

а) 6  =  2²  +  2; б) 18  =  2⁴  + 
2; в) 42  =  2⁵  +  2³  +  2.

524. а) 10ⁿ  –  1  =  99 …
9. Это число кратно 9;

                                       n раз

б) число 10ⁿ  +  8 при любом
натуральном n кратно 9, так

как сумма его цифр равна 9;

в) число 10ⁿ  –  4 имеет вид 100 …
0  –  4  =  99…96, где циф-

                                                               n раз

ра 9 повторяется (n  –  1) раз. Сумма цифр
этого числа делится на 3, следовательно, число 10ⁿ  –  4
кратно 3.

529. Уравнение не имеет
отрицательных корней, так как при любом отрицательном значении x каждое
из выражений х⁶, –х⁵, х⁴,
–х³, х², –х является положительным
числом.

536.                  
б) 10n  +  1 : 10n  –  1  =  10n  + 
1  –  (n  –  1)  =  102  =  100. Необходимо подчеркнуть, что n  –  натуральное
число.

537.                  
а) (217  –  43,07    5)⁰  +  5      =  1  +  1  = 
2.

Следует отметить, что значение
выражения 217  –  43,07    5 не равно нулю, поэтому выражение (217  –  43,07   
5)⁰ имеет смысл.

542.В
данном упражнении выполняются преобразования, позволяющие применить равенство a^mb^m 
=  (ab)^m, где m              N.

д) 0,2⁶    25³  =  (0,2²)³   
25³  =  (0,04    25)³  =  1³  =  1;

е) жз1цч6  81 =4                жз1цч6  98 = жз1  9цч6  9 =2                     16  9 =2     81. и9ш  и9ш         и9 ш

543.а)
10⁷ < 2⁸    5⁷, так как 2⁸    5⁷
 =  (2⁷    5⁷)    2  =  10⁷    2; б) 6¹²
>  2¹³    3¹¹, так как 6¹²  =  6¹¹   
6, а

2¹³   
3¹¹  =  (2¹¹    3¹¹)    2²  =  6¹¹   
4.

544.Внимание
учащихся следует обращать на структуру выражения.

б) (–3²)³ 
=  –3⁶;                                г) –(–3²)³ 
=  –(–3⁶)  =  3⁶.

546.в)
Из равенства p³c⁸  =  c²⁰ получаем,
что р³  =  с¹², т.  е. p³  = 
(c⁴)³. Значит, p  =  с⁴;

г) из равенства у¹⁵  = 
р³ получаем, что (y⁵)³  =  p³,
т.  е. р  =  у⁵.

547.Для
того чтобы частное представить в виде степени, надо делимое и делитель
представить в виде степеней с одинаковыми основаниями.

в) 8⁵    16¹³  =  (2³)⁵   
(2⁴)¹³  =  2¹⁵    2⁵²  =  2⁶⁷.

549.                  
а) Двумя способами: (2³)⁵ и (2⁵)³;

б) тремя способами: (2³)², (2²)³,
(–2³)².

550.                  
а) Каждое из чисел равно нулю;

б) каждое из чисел равно нулю, или они являются про-

тивоположными числами.

551.                  
Числа а и аⁿ, где а и n  — 
натуральные числа, оканчиваются одинаковыми цифрами, если число а оканчивается
цифрой 1, 5 или 6.

552.                  
а) 3^4k  =  (3⁴)^k  = 
81^k, а число 81^k оканчивается единицей;

б) 10^k  –  1  =  99 … 9, сумма цифр
этого числа делится

                              k раз
на 3, следовательно, число 10^k  –  1 кратно 3.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 16

17.    Искомый
ряд чисел: 3, 3³, 333, 33³, 3³³. Следует
объяснить, почему  33³ < 3³³.

33³  =  3³    11³, а
3³³  =  (3³)¹¹  =  3³    (3³)¹⁰
 =  3³    27¹⁰.

Так как 11³ < 27³,
то 11³ < 27¹⁰, и, следовательно, 333 < 333.

18.    а)
Число 16⁷  +  15³  –  21⁴ оканчивается нулём,
так как 16⁷ оканчивается цифрой 6, 15³  —  цифрой 5, а 21⁴
 —  единицей.

19.    а)
Утверждение верно, так как значение выражения

16⁷  +  15³  –  21⁴ оканчивается
нулём;

б) утверждение верно, так как значение выражения

46³  –  51²  +  25⁵ оканчивается
нулём.

П у н к т 17

11. а) 0,9n  + 
1 : 0,9n  –  1  =  0,9n  +  1  –  (n  –  1)  =  0,92  =  0,81;

                ж₁цn+3
ж₁цn+1           ж₁цn+3–(n+1)         ж₁ц2           ₁

б) з ч               :з ч          = з ч        = з ч =     ; и7ш       и7ш         и7ш         и7ш         49

     в) жиз– 1 ^цч2n
жиз–2011 чш^ц2n–1 жзи–2011 ^цчш2n n–(2 – )1 ^жи^– 1 ^цчш1 =–₂₀₁1 .

:== з

                     ₂₀₁ш                                                                         ₂₀₁

12. в) 3^{n  +  3}   
  = 
3ⁿ    3³      =  3ⁿ   
  = 
729    3  =  2187;

г) 3^{n  +  4} : 81  =  3ⁿ   
3⁴ : 3⁴  =  729.

15. в) 2^{n  +  1}   
(–1)⁷  =  2ⁿ    2    (–1)  =  –2a;

г) 2^{n  +  2}  –  9a  = 
2ⁿ    2²  –  9a  =  4a  –  9a  = 
–5a.

П у н к т 18

6. Для выполнения задания
требуется преобразовать данные выражения.

в) –1,7а⁸  =  –1,7(a²)⁴
 =  –1,7(5р)⁴  =  –1,7    625р⁴  = 
–1062,5р⁴;

г) 0,08а⁶  =  0,08    (а²)³
 =  0,08(5р)³  =  0,08    125р³  = 
10р³.

13.                     
а) 3⁸  +  25  =  (3⁴)²  + 
25  =  81²  +  25.

Число 81² оканчивается
цифрой 1, следовательно, значение выражения 3⁸  +  25 оканчивается
цифрой 6;

б) 9¹²  –  1  =  (9²)⁶  – 
1  =  81⁶  –  1. Значение этого выражения

оканчивается нулём;

в) значение выражения 6¹⁵  +  7
оканчивается цифрой 3,

так как 6¹⁵ оканчивается цифрой 6.

14.                     
а) Значение выражения 41⁴    35⁵  –  2²
оканчивается цифрой 1, значит, оно не делится на 10. Следовательно, значение
исходного выражения не является целым числом.

§ 8. Одночлены

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
21 22 23	Одночлен и его стандартный вид Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень Функции у  =  х2 и у  =  х3 и их графики Контрольная работа № 4	1(1) 2(3) 2(2) 1

Содержание
материала

Одночлен, стандартный вид
одночлена. Коэффициент и степень одночлена. Умножение одночленов, возведение
одночлена в степень. Функции у  =  х² и у  =  х³,
их графики. Примеры графического решения уравнений вида х²  = 
kх  +  b, х³  =  kх  +  b.

Основная
цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы ввести понятия одночлена и его стандартного
вида, коэффициента и степени одночлена, а также ознакомить учащихся со
свойствами и графиками функций у  =  х², у = х³
и графическим способом решения уравнений вида х²  =  kх
 +  b, х³  =  kх  +  b, где k и
b  —  некоторые числа.

Характеристика
основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь приводить
одночлен к стандартному виду, указывать его коэффициент и степень, выполнять
умножение одночленов и возведение одночленов в степень. Формируются также
умения учащихся строить

графики функций у  =  х² и у
 =  х³, решать графическим способом уравнения вида х²
 =  kх  +  b, х³  =  kх  +  b,
где k и b  —  некоторые числа.

Методический
комментарий

В данной теме закладывается
фундамент для последующего изучения преобразований алгебраических выражений
различного вида. В связи с этим необходимо добиваться усвоения всеми учащимися
вводимых здесь понятий и алгоритмов действий с одночленами. Содержание понятий
«одночлен», «стандартный вид одночлена», «коэффициент одночлена» и «степень
одночлена» разъясняется на примерах в пункте 21 «Одночлен и его стандартный
вид». При введении понятия «коэффициент одночлена» необходимо обратить внимание
учащихся на то, что коэффициент одночлена можно указать только после приведения
этого одночлена к стандартному виду. Специально следует остановиться на случаях,
когда коэффициент одночлена равен 1 или –1. Это позволит избежать
распространённых ошибок учащихся, склонных утверждать, что у одночленов вида а³b,
–а⁶b⁴ коэффициентов нет. При изучении
данного пункта учащиеся знакомятся с понятием «степень одночлена». Необходимо
обратить их внимание на то, что степенью одночлена называют сумму показателей
степеней всех входящих в него переменных. Например, выражение 2⁵х³у⁶
является одночленом девятой степени, так как сумма 3  +  6 равна 9, а
выражение 4⁷    5⁴ является одночленом нулевой степени,
так как в произведении 4⁷    5⁴ переменные отсутствуют
или, иначе говоря, входят в это произведение в нулевой степени. Следует
подчеркнуть, что число 0 является одночленом, степень которого не определена.

Некоторые упражнения, включённые в
пункт 21, учащиеся могут выполнять устно, например 455, 456, 461—463,
к которым естественно примыкает упражнение 553 из числа дополнительных
упражнений к главе. Полезно также рассмотреть в классе упражнение 555 с
нестандартной формулировкой задания.

В пункте 22 «Умножение одночленов.
Возведение одночлена в степень» наряду с заданиями на умножение одночленов
учащимся предлагаются задания на представление одночлена в виде произведения
одночленов (470, 471). Соответствующее умение используется в
дальнейшем при разложении многочленов на множители с помощью вынесения общего
множителя за скобки. Аналогично задания на возведение одночленов в степень
дополняются заданиями на представление одночленов в виде квадрата или куба,
готовящими учащихся к применению формул сокращённого умножения для разложения
на множители разности квадратов, а также разности или суммы кубов двух
выражений. При наличии времени можно наряду с основными упражнениями пункта
использовать дополнительные упражнения 556—561.

Материал пункта 23 «Функции у  = 
х² и у  =  х³ и их графики»
позволяет вернуться к таким важным понятиям, как «функция», «аргумент», «график
функции». Учащиеся должны усвоить рассмотренные в учебнике свойства функций у
 =  х² и у  =  х³, чётко
представлять, как выглядят их графики. Следует обратить внимание учащихся на
то, что при значениях х, близких к нулю, значения этих функций также
близки к нулю и поэтому вблизи начала координат их графики почти сливаются с
осью х. Знание этого факта позволит избежать распространённой ошибки
учащихся, когда график функции у  =  х² изображается
заострённым внизу.

Учащимся предлагаются различные
упражнения на работу с графиками функций у  =  х² и у
 =  х³. В их число входят задания 484—486, 488,
489. Важно предупредить учащихся, что недопустимо построение в учебнике
каких-либо линий. Ответы на поставленные вопросы они должны находить,
прикладывая линейку.

Систему упражнений в пункте
рекомендуется дополнить упражнением 562. Здесь важно обратить внимание
учащихся на взаимное расположение графиков функций у  =  х, у  = 
х², у  =  х³ при 0    х    1
и при х > 1, используя для этого приведённый в учебнике рисунок.

При изучении пункта 23 учащиеся
получают первое представление о графическом методе решения уравнений с одной
переменной. После рассмотрения примеров 1 и 2, разобранных в тексте учебника,
им можно предложить выполнить некоторые из упражнений 494, 496, 566.
Специальное внимание следует уделить упражнениям 493, 495,
предназначенным для работы в парах. Результаты их выполнения следует обсудить в
классе. Необходимо разъяснить учащимся, что при графическом способе решения
уравнений мы обычно находим приближённые значения корней, хотя значение
какого-то конкретного корня может оказаться точным.

Для проверки усвоения материала
главы III рекомендуется использовать помещённые в конце этой главы «Контрольные
вопросы и задания».

Указания
к основным упражнениям учебника

471. Например: а) –12х⁴у³
 =  (–6х²у)    2х²у²
 =  4ху²    (–3х³у); б)
–12х⁴у³  =  (–2х²у)   
3х²у    2у  =  6ху²    (–2ху)   
х².

Задания 475—479 готовят
учащихся к применению в дальнейшем формул разности квадратов и разности кубов.

475. б) 121а⁶  =  (11а³)²
 =  (–11а³)²; в) 0,09у¹²  = 
(0,3у⁶)²  =  (–0,3у⁶)².

Следует обратить внимание учащихся,
что в каждом случае получается по два ответа.

477. б) –а³b⁶  = 
(–аb²)³;  –27х⁶b⁹  = 
(–3х²b³)³.

479. а) х⁶у¹²  = 
(х³у⁶)²  =  (х²у⁴)³.

484. Замечание. В заданиях на
чтение графиков функций возможны незначительные (на 0,1—0,2) расхождения в
ответах учащихся.

487. в) Точка С(4;
–2) не принадлежит графику функции у  =  х², так как 4²   
–2;

г) точка D(1,2; 1,44)
принадлежит графику функции у  =  х², так как 1,2²
 =  1,44.

490. Точки А(–0,2;
–0,008) и В ^жз1¹; 3^3цч принадлежат и 2      8ш

графику функции у  = 
х³, так как (–0,2)³  =  –0,008 и жз11цч3= жз3цч3= 27 33 Точка С
зж–1; 1 цч не принадлежит это-

                                    =        .

и 2ш        и2ш        8           8                            и 3     27ш

му графику. Это можно определить сразу, так как
из формулы y  =  x³ ясно, что отрицательным значениям
аргумента соответствуют отрицательные значения функции.

493. (Для работы в парах.)
Важно обратить внимание учащихся, что число корней уравнения x²  = 
a зависит от взаимного расположения параболы y  =  x²
и прямой x  =  a. При а > 0 уравнение имеет два
корня, при а  =  0  —  один корень, при а < 0 не имеет корней.

495. (Для работы в парах.)
Особенность графика функции y  =  x³ состоит в том,
что любая прямая x  =  a пересекает его в одной точке. Поэтому
можно сделать вывод, что уравнение х³  =  а имеет
единственный корень при любом значении а.

Указания
к дополнительным упражнениям учебника

553. е) Следует ещё раз
напомнить учащимся, что любое отличное от нуля число является одночленом
нулевой степени.

556. а) 100х⁵у³  = 
20х⁴у    5ху²;  б) –30х⁴у⁵
 =  20х⁴у    (–1,5у⁴); в) –4х¹⁶у
 =  20х⁴у    (–0,2х¹²);  г) х¹⁰у²
 =  20х⁴у    (0,05х⁶у).

559.     
В заданиях «а» и «б» показаны все возможные способы
представления произведения одночленов в виде степени одночлена, в заданиях «в»
и «г» этот способ единственный.

а) 27а²b⁵    3а¹⁰b³
 =  81а¹²b⁸  =  (9а⁶b⁴)²
 =  (–9а⁶b⁴)²  =  (3а³b²)⁴
 =

=  (–3а³b²)⁴;

б) –64а⁸х¹¹   
(–0,25а²х⁹)  =  16а¹⁰х²⁰
 =  (4а⁵х¹⁰)²  =  (–4а⁵х¹⁰)²;

в) 0,01b⁵с³   
(–0,1bс⁶)  =  –0,001b⁶с⁹  = 
(–0,1b²с³)³;

г) – 9 p q9 14  3 pq3 4 =–27 p q12 18 = _зж–3p q4 6ц_ч³.

                  16                4                   64                    и 4          ш

560.     
г) жз1
2 ц3 (9ab2 2) = 1 a b6 3  81ab2 4 =3a b8 7; abч

                           и3       ш                        27

3

д) (–5ab3 )2  жз1ab3цч =25a
b6 2  1 ab3 9 = 1ab9 11. и5        ш             125          5

563.а)
Значение b находим из условия b  =  (–4)². Значит, b
 =  16. Точка Q(4; b) принадлежит графику функции у  = 
х², так как 4²  =  16.

564.а)
По смыслу задачи а    0, b    0. Так как точка А(а; b)
принадлежит графику функции у  =  х², то симметричная
ей относительно оси у точка В(–а; b) также принадлежит
этому графику. Точки С(а; –b) и D(–а; –b) не
принадлежат графику функции у  =  х², так как точка С
симметрична точке А относительно оси х, а точка D симметрична
точке В относительно оси х.

б) Так как точка А(а; b) принадлежит
графику функции

у  =  х³, то и симметричная
ей относительно начала координат точка D(–а; –b) принадлежит
этому графику. Точки В(–а; b) и С(а; –b) не принадлежат
графику функции у  =  х³, так как точка В симметрична
точке А относительно оси у, а точка С симметрична точке А
относительно оси х. 565. При решении этой задачи удобно
использовать графические представления. Можно обратиться к рисунку 66 учебника.

а) Если 0 < а < 1, то а³ <
а² < а;

б) если а > 1, то а³ >
а² > а;

в) если –1 < а < 0, то а < а³
< а²;

г) если а < –1, то а³ <
а < а².

Указания
к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 19

12.    Следует
сразу заметить, что наименьшим является значение одночлена a⁵b³,
так как при a < 0, b > 0 это значение отрицательное, а
значения остальных одночленов положительные. При а  =  –0,5 имеем а⁴ 
>  а⁶. Значит, а⁴b⁴ 
>  a⁶b⁴. Итак, искомый порядок
расположения одночленов: а⁵b³, а6b4, а4b4.

13.    а)
Верно, так как при а > 0, b > 0 а⁵b⁸
> 0 и

(–1)⁷а⁵b⁸ <
0;

б) неверно, так как при а < 0, b <
0 а⁵ < 0, а b⁸ > 0,

следовательно, (–1)⁷а⁵b⁸
> 0.

14.    В
этом задании требуется представить число 6 в виде суммы двух натуральных чисел,
одно из которых чётное. Получим два ответа: 7,16а²b⁴
при m  =  1, n  =  4 и 7,16а⁴b²
при m  =  2, n  =  2.

П у н к т 20

9.
б) –1x y⁴                             
0,75xy⁹ =–1^{1  3}x y^{5 10} =–x y^5
10;

3 4

в) ²ac³  (– ,0 18ac²)=–^жз^{2  9} ч^цac^{2 5} =– ¹ ac^{2 5}.

          9                                             и9
50ш                    25

12. Например: а) 75а⁹b⁸
 =  (5а⁴b⁴)²    3а; 

                  б) 75а⁹b⁸
 =  (а³b²)³    75b².

14.                
б) Если n  —  чётное число, то

–а4b2n  +  1(–аb2)n  =  –а4b2n  +  1    аnb2n
 =  –an  +  4b4n  +  1;

если n  —  нечётное число, то

–а4b2n  +  1(–аb2)n  =  –а4b2n +1    (–аnb2n) 
=  аn  +  4b4n  +  1.

15.                
б) Данное выражение нельзя представить в виде одночлена, так
как степень каждой переменной в знаменателе дроби выше степени этой переменной
в числителе.

16.                
в) Если n  —  чётное число, то

–а9b2n  +  4    (–а2b3)n  =  –а9b2n  +  4а2nb3n
 =  –а2n  + 
9b5n  +  4;

если n  —  нечётное число, то

–а9b2n  +  4    (–а2b3)n  =  –а9b2n  +  4    (–а2nb3n)  =а2n
 +  9b5n  + 
4.

Для тех, кто хочет знать больше

Пункт 24. О простых и составных числах

Методический
комментарий

В начале изучения данного пункта
полезно напомнить учащимся определения простого и составного чисел. Необходимо
подчеркнуть, что число 1 не является ни простым, ни составным. Можно предложить
учащимся рассмотреть приведённую в учебнике последовательность простых чисел,
входящих в первую сотню натуральных чисел, и подсчитать число простых чисел,
входящих в первый десяток, второй и т. д. Учащиеся легко установят, что никаких
закономерностей здесь не наблюдается.

Необходимо специально остановиться
на вопросе о том, является ли конечным или бесконечным множество простых чисел.
Учащихся, безусловно, привлечёт своей простотой и убедительностью предложенный
Евклидом способ доказательства бесконечности множества простых чисел. Здесь они
впервые встречаются с применением метода рассуждений от противного при
доказательстве, проводимом на алгебраическом материале.

Ценным в образовательном плане
является рассмотрение вопроса об использовании разложения натуральных чисел на
простые множители при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего
общего кратного. С соответствующими заданиями учащиеся встретятся в системе
упражнений. Рекомендуется специально остановиться на приведённом в тексте
учебника примере, связанном с понятием наименьшего общего кратного. Использованный
здесь способ решения поставленной задачи демонстрирует учащимся возможность
применения логических рассуждений и обоснований.

В целом ознакомление учащихся с
материалом данного пункта создаёт благоприятные условия для дальнейших их шагов
в достижении личностных, метапредметных и предметных результатов обучения.

Материал, включённый в данный
пункт, является доступным для большинства семиклассников. В связи с этим его
изучение можно провести в форме занятия со всеми учащимися класса. Желательно,
чтобы двое учащихся подготовили для класса соответствующие сообщения — одно о
бесконечности множества простых чисел и способе доказательства этого факта
Евклидом, другое — об использовании разложения натуральных чисел при нахождении
их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. После этого
учащиеся могут приступить к выполнению некоторых из упражнений 505—510.
Специальное внимание следует уделить усложнённому заданию 509. Можно
предложить кому-нибудь из учащихся, интересующихся математикой, подготовить
сообщение о способе решения данной задачи.

Ознакомление с материалом пункта
24, безусловно, является полезным для интеллектуального развития учащихся.

Указания
к упражнениям учебника

500.Подставляя
последовательно вместо а числа 0, 1, 2, 3, …, находим, что наименьшее
натуральное значение а, при котором значение выражения а²  + 
а  +  17 является составным числом, равно 17.

501.а)
Так как число 15⁹ оканчивается цифрой 5, а число 31³  — 
цифрой 1, то их сумма оканчивается цифрой 6, т.  е. является составным числом
(по крайней мере, делится на 2).

502.Так
как 99  =  9    11, 98  =  49    2, 97  —  простое число, 96  =  48    2, 95 
=  19    5, то искомым числом является число 95.

503.Подбором
находим, что р  =  7.

504.а)
Так как 2  +  4  +  8  +  16  =  30, то сумма делится на 2, 3, 5, других
простых делителей нет.

б) Так как 5  +  25  +  125  + 
625  =  780, то сумма делится на 2, 3, 5, 13, других простых делителей нет.

505.Имеем
5082  =  2    3    7    11², 7605  =  3²    5    13².

506.Представляя
каждый множитель в виде произведения степеней простых чисел, получаем, что

a  = 
2    3    2²    5    2    3    7    2³    3²   
2    5  =  2⁸    3⁴    5²    7.

507.Предварительно
представим каждое из заданных чисел в виде произведения степеней простых чисел:

а) 765  =  3²    5    17, 315  =  3²   
5    7.

НОД(765, 315)  =  3²    5  =  45;

б) 792  =  2³    3²    11,
1936  =  2⁴    11². НОД(792, 1936)  =  2³   
11  =  88.

Полезно ознакомить учащихся со
способом проверки: разделив каждое число на найденный наибольший общий
делитель, мы должны получить взаимно простые числа, т.  е. числа, не имеющие
общих делителей.

508.Предварительно
представим каждое из данных чисел в виде произведения степеней простых чисел:

а) 294  =  2    3    7², 756  =  2²   
3³    7. НОК(294, 756)  =  2²    3³    7²
 =  5292;

б) 693  =  3²    7    11, 1617  =  3    7²   
11.

НОК(693, 1617)  =  3²    7²   
11  =  4851.

509.По
условию задачи мы имеем две последовательности:

6, 12,
18, 24, … , 198;

8, 16,
24, 32, …, 192, 200.

Каждый член первой
последовательности равен 6k, а второй  —  8p, где k  О  N, p  О  N.
По условию надо найти такие значения k и p, при которых 6k  = 
8p, т.  е. k  =  p.

Отсюда следует, что p  —  число, кратное 3.
Найдём все значения p, удовлетворяющие условию 8p    200 и p кратно
3. Получим, что p может быть равно 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. Значит,
имеется 8 одинаковых чисел в данных последовательностях: 24, 48, 72, 96, 120,
144, 168, 192. 510. а) Значение выражения 45⁵ оканчивается
цифрой 5, а выражения 31⁴  —  цифрой 1. Поэтому значение выражения
45⁵  –  31⁴ оканчивается цифрой 4.

б) Значения выражений 37², 21⁶ и
45⁴ оканчиваются со-

ответственно цифрами 9, 1 и 5. Следовательно, значение
выражения 37²  +  21⁶  +  45⁴ оканчивается
цифрой 5.

Многочлены

§ 9. Сумма и разность многочленов

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
25 26	Многочлен и его стандартный вид Сложение и вычитание многочленов	1(2) 3(3)

Содержание материала

Многочлен, стандартный вид
многочлена. Подобные члены многочлена, приведение подобных членов. Степень
многочлена стандартного вида. Степень произвольного многочлена. Сложение и
вычитание многочленов.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с понятиями «многочлен»,
«стандартный вид многочлена», «степень многочлена» и сформировать умение
выполнять сложение и вычитание многочленов.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь указывать
члены многочлена, выделять подобные члены многочлена, выполнять приведение
подобных членов, представлять произвольный многочлен в стандартном виде,
определять степень многочлена стандартного вида и степень произвольного
многочлена. Формируются также умения учащихся выполнять сложение и вычитание
многочленов, представлять многочлен в виде суммы или разности многочленов,
включая случай, когда одно из слагаемых, а также уменьшаемое или вычитаемое
является одночленом, применять указанные преобразования для упрощения
выражений, доказательства тождеств, решения уравнений.

Методический комментарий

Тема «Многочлены» играет
основополагающую роль в формировании умения выполнять тождественные
преобразования алгебраических выражений различного вида. Без её усвоения
невозможно успешное изучение преобразований целых выражений, действий с
рациональными дробями, квадратными корнями и корнями n-й степени,
степенями с целыми и дробными показателями. В связи с этим важно добиваться
усвоения представленного в данной главе материала всеми учащимися.

В пункте 25 «Многочлен и его
стандартный вид» вводятся такие важные понятия, как «многочлен», «подобные
члены многочлена», «стандартный вид многочлена», «степень многочлена
стандартного вида и произвольного многочлена». Многочлен определяется как сумма
одночленов. Важно подчеркнуть, что речь здесь идёт об алгебраической сумме,
например, многочлен 3х²  –  2ху  +  4у является
суммой одночленов 3х², –2ху, 4у. Учащиеся
должны уметь перечислять члены многочлена, свободно пользоваться терминами
«двучлен», «трёхчлен». Специальное внимание следует уделить понятию
стандартного вида многочлена и соответствующим упражнениям 570, 571.
К ним примыкают упражнения 572 и 573, в которых при нахождении
значения многочлена учащиеся должны предварительно представить этот многочлен в
стандартном виде. Усвоению понятия степени многочлена способствуют упражнения 579
и 580. Важно обратить внимание учащихся на то, что в упражнении 579
мы имеем дело с многочленами, записанными в стандартном виде. Специальное
внимание следует уделить упражнению 581, представляющему
задачу-исследование, рассчитанную на коллективное обсуждение в классе хода её
решения. На подобных упражнениях формируется умение учащихся обосновывать свои
ответы.

Завершает данный параграф пункт 26
«Сложение и вычитание многочленов». В нём объясняется, что каждое из этих
действий над многочленами сводится к раскрытию скобок, перед которыми стоит
знак «плюс» или «минус», и приведению подобных членов полученного многочлена.
Следует напомнить учащимся, что с правилами выполнения этих преобразований они
уже познакомились при изучении пункта 5 «Тождества. Тождественные преобразования
выражений». Для слабых учащихся, вероятно, будет полезно записать в тетрадях
соответствующие правила сложения и вычитания многочленов: «Чтобы сложить два
многочлена, достаточно к членам первого многочлена приписать члены второго,
сохранив их знаки, и выполнить приведение подобных членов; чтобы выполнить
вычитание из одного многочлена другого, достаточно к членам первого многочлена
приписать члены второго, изменив их знаки на противоположные, и выполнить
приведение подобных членов».

Упражнения, представленные в пункте
26, можно разбить на две группы. Первую из них составляют задания 585—604
на непосредственное применение правил сложения и вычитания многочленов. При
выполнении этих упражнений следует предостеречь учащихся от распространённой
ошибки, когда при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», они
забывают о необходимости изменить знак каждого члена вычитаемого многочлена.
Специальное внимание следует уделить упражнению 600, предназначенному
для работы в парах. После выполнения этого упражнения рекомендуется обсудить с
учащимися, какое предположение об ожидаемом ответе они высказали и
подтвердилось ли это предположение.

Вторую группу составляют упражнения
605—611, в которых предлагаются различные задания на применение
изученных правил сложения и вычитания многочленов, а также на представление
некоторого многочлена в виде суммы или разности многочленов. Рекомендуется
обсудить с учащимися результат выполнения предназначенного для работы в парах
задания 610, в частности, выяснить, какое предположение о сумме пяти
последовательных натуральных чисел они высказали и верно ли это предположение.

Специальное внимание следует
уделить упражнению 611. В этом упражнении представлена
задача-исследование, в которой изученные в данном параграфе преобразования
используются для обоснования предложенного Магницким способа отгадывания
задуманного числа. Задания такого рода позволяют расширить круг учащихся,
интересующихся математикой.

Блок заданий развивающего
характера (734, 744, 747— 750) включён в раздел
«Дополнительные упражнения к главе IV». Их можно использовать для
индивидуальной работы с хорошо успевающими учащимися, а также на внеклассных
занятиях.

Указания к основным упражнениям учебника 570. Каждый
член многочлена предварительно приводим к стандартному виду.

в) 3xx⁴
 +  3xx³  –  5x²x³  – 
5x²x  =  3x⁵  +  3x⁴  – 
5x⁵  –  5x³  =  –2x⁵  +

+  3x⁴  –  5x³;

г) 3a   
4b²  –  0,8b    4b²  –  2ab   
3b  +  b    3b²  –  1  =  12ab²  – 
3,2b³  –

–  6ab²  +  3b³ – 
1  =  6ab²  –  0,2b³  –  1.

572. Предварительно следует
представить многочлен в стандартном виде.

а) 5х⁶  –  3х²  + 
7  –  2х⁶  –  3х⁶  +  4х²  = 
х²  +  7. Если х  =  –10, то х²  + 
7  =  107.

б) 4a²b  –  ab²  – 
3a²b  +  ab²  –  ab  +  6  = 
a²b  –  ab  +  6.

Если a  =  –3, b  = 
2, то a²b  –  ab  +  6  =  (–3)²   
2  –  (–3)    2  +  6  =  =  30.

574. Значения х, при
котором значение многочлена 2х²  +  1 равно нулю или
отрицательно, не существует.

581. (Задача-исследование.)
Число abbb в десятичной системе
счисления имеет вид 1000a  +  100b  +  10b  +  b.
Соста-

вим разность abbb a– и преобразуем её:

1000а  +  100b  +  10b  +  b
– а  =  999a  +  111b  =  111(9a  +  b).

Произведение 111(9a  +  b)
делится на 37, так как множитель 111 делится на 37.

591. а) Два последовательных нечётных числа
имеют вид

2n  +  1 и 2n  +  3. Их сумма равна (2n
 +  1)  +  (2n  +  3)  = =  4n  +  4. Сумма кратна 4, так как
каждое слагаемое кратно 4.

б) (2n  +  1)  +  (2n  + 
3)  +  (2n  +  5)  +  (2n  +  7)  =  8n  +  16. Сумма
кратна 8, так как каждое слагаемое кратно 8. 594. Обозначим искомый
многочлен через М.

в) М  +  (5х²  –  3х  – 
9)  =  2х  –  3;

М  =  2х  –  3  –  (5х²  – 
3х  –  9)  =  2х  –  3  –  5х²  +  3х  + 
9  =  –5х²  +

+  5х  +  6;

г) М  +  (5х²  –  3х  – 
9)  =  х²  –  5х  +  6;

М  =  х²  –  5х  + 
6  –  (5х²  –  3х  –  9)  =  х²  – 
5х  +  6  –  5х²  +  3х  +  9  =

=  –4х²  –  2х  +  15.

597. б) Предварительно
следует преобразовать разность многочленов в многочлен стандартного вида:

(5,7a²b
 –  3,1ab  +  8b³)  –  (6,9ab  –  2,3a²b
 +  8b³)  =

= 
5,7a²b  –  3,1ab  +  8b³ – 
6,9ab  +  2,3a²b  –  8b³  = 
8a²b  –  10ab.

Если a  =  –2, b  = 
3, то 8a²b  –  10ab  =  8    (–2)²   
3  –  10    (–2)    3  = =  96  +  60  =  156.

599. (0,7х⁴  +  0,2х²
 –  5)  –  (–0,3х⁴  +  x²  –    =  0,7x⁴  + 
0,2x²  –

–  5  +  0,3x⁴  –  x²
 +  8  =  x⁴  +  3. Значение многочлена х⁴  + 
3 положительно при любом значении х.

600. (Для работы в парах.)
Ученик окажется прав, если после преобразований получится многочлен, содержащий
переменную b. Выполним преобразования:

(7a³  –  6a²b  + 
5ab²)  +  (5a³  +  7a²b
 +  3ab²)  –  (10a³  +  a²b
 +  8ab²)  = =  7a³  –  6a²b
 +  5ab²  +  5a³  +  7a²b
 +  3ab²  –  10a³  –  a²b
 –  8ab²  =  2a³.

Ученик не прав, так как в
результате преобразований получилось выражение, не содержащее переменную b.
601. Обозначим искомый двучлен через М.

а) (х²  +  у²  – 
2ху  +  1)  +  М  =  y²  +  1;

М  =  у²  + 
1  –  (х²  +  у²  –  2ху  +  1)  =  у²
 +  1  –  x²  –  у²  +  2ху  – 
1  = =  –х²  +  2ху.

603. а) 1,7  –  10b²  –  (1 
–  3b²)  +  (2,3  +  7b²)  =  1,7  –  10b²
 –  1  +

+  3b²  +  2,3  +  7b²
= 3;

б) 1  –  b²  –  (3b  –  2b²) 
+  (1  +  3b  –  b²)  =  1  –  b²  – 
3b  +  2b²  +  1  +

+  3b  –  b²  =  2.

605. д) 3,8  –  1,5у  +  (4,5y  – 
0,8)  =  2,4у  +  3;

3,8  –  1,5у  +  4,5у  – 
0,8  =  2,4у  +  3;  4,5y  –  1,5y  –  2,4y  =  3 
– –  3,8  +  0,8;  0,6у  =  0;  у  =  0.

609.а)
n³  +  31n  =  (n³  +  n)  + 
30n. Каждое слагаемое кратно 30, следовательно, и сумма кратна 30;

б) n³  –  29n  =  (n³
 +  n)  –  30n. Уменьшаемое и вычитаемое

кратны 30, следовательно, и разность кратна 30.

610.(Для
работы в парах.) Обозначим наименьшее из чисел через n. Тогда:

а) n  +  (n  +  1) 
+  (n  +  2)  =  3n  +  3. Каждое слагаемое кратно 3,
следовательно, и сумма кратна 3;

б) n  +  (n  +  1) 
+  (n  +  2)  +  (n  +  3)  =  4n  +  6. Первое слагаемое
делится на 4, а второе не делится, следовательно, сумма не делится на 4.

Можно предположить, что сумма пяти
последовательных натуральных чисел кратна 5. Для того чтобы проверить это
предположение, преобразуем сумму:

n  + 
(n  +  1)  +  (n  +  2)  +  (n  +  3)  +  (n  + 
4)  =  5n  +  10.

Сумма кратна 5, так как каждое слагаемое кратно 5.

611.(Задача-исследование.)
Возьмём, например, число 52 и выполним все описанные действия:

5   
2  =  10;  10  +  5  =  15;  15    5  =  75; 75  +  10  +  2  =  87;  87  – 
35  =  52.

Пусть задуманное число имеет вид 10х
 +  у. Произведём все преобразования, описанные Магницким. Получим

5(2х
 +  5)  +  10  +  у  =  10х  +  25  +  10  +  у  =  10х
 +  у  +  35.

Если из этой суммы вычесть 35, то получится 10х  + 
у,

т.  е. задуманное число.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

734. а) Значение трёхчлена 2х²
 +  6х  +  3 при любом целом х является числом нечётным,
так как значение выражения (2х²  +  6х)  —  чётное
число, а 3  —  число нечётное.

Следовательно, целого х, при
котором значение трёхчлена 2х²  +  6х  +  3 является
чётным числом, не существует.

б) Значение трёхчлена х²  +  х  + 
2 при чётном х является

чётным числом как сумма трёх чётных слагаемых. При
нечётном х это значение также является чётным числом, так как значения х²
и х  —  нечётные числа, а их сумма  —  число чётное.

Следовательно, целого значения х,
при котором значение многочлена х²  +  х  +  2
является нечётным числом, не существует.

737. а) (1  –  х  +  4х²  – 
8х³)  +  (2х³  +  х²  – 
6х  –  3)  –  (5х³  +  8х²)  =

=  1  –  х  +  4х²  –  8х³
 +  2х³  +  х²  –  6х  –  3 
–  5х³  –  8х²  =  –11х³  – 
3х²  –

–   7х  – 
2;

б) (0,5a  –  0,6b  + 
5,5)  –  (–0,5a  +  0,4b)  +  (1,3b  –  4,5)  =  0,5a  –
–  0,6b  +  5,5  +  0,5a  –  0,4b  +  1,3b  –  4,5 
=  a  +  0,3b  +  1.

738.            
А  +  В  –  С  =  (2х  –  1)  + 
(3х  +  1)  –  5х  =  2х  –  1  +  3х  +  1  –

–   5х  = 
0;

С  –  В  –  А  =  5х  – 
(3х  +  1)  –  (2х  –  1)  =  5х  –  3х  –  1  –  2х
 +  1  =  0.

Данные выражения тождественно равны
одному и тому же числу, следовательно, они являются тождественно равными.

739.            
г) Обозначим искомый многочлен через М, тогда

(у²  –  5у  +  1)  –  М  = 
4у²  –  у  +  7;

М  =  (у²  –  5у  + 
1)  –  (4у²  –  у  +  7)  =  у²  – 
5у  +  1  –  4у²  +  у  –  7  =

=  –3у²  –  4у  –  6.

740.            
Для упрощения вычислений целесообразно все коэффициенты при
степенях х в первом многочлене записать в виде десятичных дробей:

жз175, x4 – ,0125x3 – ,1 25x + 0 4, x + 5цч – и              7ш

–  
зж075, x⁴ –
,0125x³ – ,2 25x² + 0,4x – ^3цч = x⁴ + x²
+ ⁸. и 7ш 7

Значение этого трёхчлена
положительно при любом значении х.

743. В этом и следующих
упражнениях используется запись чисел в десятичной системе счисления.

          в) abc ba–     = 
(100a  +  10b  +  c)  –  (10b  +  a)  =  100a
 +  10b  +  c  –

–  10b  –  a  =  99a  +  c;

г) abc
ac–       =  (100a  + 
10b  +  c)  –  (10a  +  c)  =  100a  +  10b
 +  c  – –  10a  –  c  =  90a  +  10b.

744.                  
а)  ab ba+        
 =  (10a  +  b)  +  (10b  +  a)  =  11a  + 
11b  =  11(a  +  b).

Значение выражения 11(a  +  b) кратно
числу (a  +  b).

745.                  
г) –3,6  –  (1,5х  +  1)  =  –4х  –  0,8  – 
(0,4х  –  2);

–3,6  – 
1,5х  –  1  =  –4х  –  0,8  –  0,4х  +  2; –1,5х  + 
4х  +  0,4х  =  3,6  +  1  –  0,8  +  2; 2,9х  =  5,8; х
 =  2.

746.                  
Выполнение данного упражнения следует начать с повторения
понятия чисел, пропорциональных данным.

Пусть 2х, 4х, 5х и 6х  — 
искомые числа. Тогда

(5х  +  6х)  –  (2х  +  4х) 
=  4,8;  11х  –  6х  =  4,8;  x  =  0,96.

Искомые числа: 1,92, 3,84, 4,8 и 5,76.

747.                  
Пусть х  —  задуманное число, тогда после приписывания
справа нуля получаем число 10х. Имеем уравнение

143  –  10х  =  3х. Отсюда х  = 
11.

748.Пусть
х  —  данное число. Тогда новое число имеет вид 10х  +  9. Имеем
уравнение (10х  +  9)  +  2х  =  633. Отсюда х  =  52.

749.Пусть
х  —  данное трёхзначное число. Приписав к нему слева цифру 5, получим
число 5000  +  х. Имеем уравнение (5000  +  х)  –  3032  =  9х.
Отсюда х  =  246.

750.Обозначим
через х двузначное число, которое стоит в трёхзначном числе перед цифрой
7. Тогда данное трёхзначное число равно (10х  +  7). Если перенести
цифру 7 на первое место, получится число 700  +  х. Имеем уравнение

(700  +  х)  –  (10х  +  7)  =  324.
Отсюда х  =  41, а искомое трёхзначное число 417.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 22

14.    б)
Данный многочлен будет многочленом третьей степени, если сумма одночленов x^myⁿ
и (–x²y⁴) будет равна нулю.
Отсюда m  =  2, n  =  4.

15.    б)
Представим данный многочлен в стандартном виде:

4ab³  – 
a²b²  +  ab³  –  a³b
 +  5a³b  =  5ab³  –  a²b²
 +  4a³b. Если a  =  –1, b  =  1,
то

5ab³  –  a²b²
 +  4a³b  =  5    (–1)    1³  –  (–1)²   
1²  +  4    (–1)³    1  = –5  – –  1  –  4  =  –10.

17.     б)
5с²d  –  8c³d  +  9c²d²
 +  4c³d  =  5c²d  –  4c³d
 +  9c²d². Если с  =  –1, d  = 
, то

5c²d  –  4c³d
 +  9c²d²  =  5    (–1)²      – 
4    (–1)³      +  9    (–1)²   

  
з_иж¹₃^цч_ш²  =  4.

18.     а)
Воспользовавшись равенством a  =  –2b, получим

2b    6a²b  –  10ab   
(–2)b²  =  12a²b²  +  20ab³
 =  12    (–2b)²b²  +

+  20    (–2b)b³  =  48b⁴
 –  40b⁴  =  8b⁴.

Возможен и другой вариант.
Воспользовавшись равенством b=–^a, получим

2

                                                                2                                         3                                                   4

12a2b2  +  20ab3  =  12a2   жз–aцч +20  aзж–aчц =3a4 – 5a4 = a .

                                                        и 2ш                     и 2ш                     2            2

П у н к т 23

6. а) 2  –  1,2x  +  14,4  =  10  +  2x;
3,2x  =  6,4; x  =  2;

б) 5,6  –  1,2y  +  3,4y  – 
0,2  =  5,4y  +  11,8; 2,2y  +  5,4  =  5,4y  + +  11,8;
3,2y  =  –6,4; y  =  –2.

8. –(y²  – 
9y  +  12)  +  (3y²  –  y)  –  (2y²
 +  8y  –  33)  =  –y²  +  9y  –  12  +
+  3y²  –  y  –  2y²  –  8y  + 
33  =  21. Число 21 делится на 7, следовательно, значение данного выражения при
любом значении у кратно 7.

10. Обозначим искомый двучлен через М.

а) 6a³  –  8a²  + 
2a  +  3  =  M  +  (6a³  +  3);

M  =  (6a³  –  8a²
 +  2a  +  3)  –  (6a³  +  3)  =  –8a²
 +  2a; б) 6a³  –  8a²  +  2a
 +  3  =  M  –  (8a²  –  3);

M  =  (6a³  –  8a²
 +  2a  +  3)  +  (8a²  –  3)  =  6a³
 +  2a.

12.                     
а) A  –  B  +  C  =  (x³  –  3xy 
+  y³)  –  (2x³  –  y³)  + 
(x³  +  2xy)  =

=  x³  –  3xy  +  y³  – 
2x³  +  y³  +  x³  +  2xy
 =  2y³  –  xy;

б) –A  –  B  +  C  = –(x³ 
–  3xy  +  y³)  –  (2x³  – y³) 
+  (x³  +  2xy) = =  –x³  +  3xy 
–  y³  –  2x³  +  y³  +  x³
 +  2xy  =  –2x³  +  5xy.

13.                     
Со второго участка собрали 0,92a кг моркови, с первого
и второго участков вместе собрали 1,92a кг, а с третьего участка  — 
(1,92а  –  30) кг, со всех трёх участков собрали 1,92а  +  1,92а
 –  30  =  3,84а  –  30 (кг) моркови.

15.    а)
При выполнении этого задания рекомендуется раскрывать скобки постепенно.

5a  –  (–(3a  –  2) 
+  (a  –  6))  +  8  =  5a  –  (–3a  +  2  +  a  – 
6)  +  8  = =  5a  –  (–2a  –  4)  +  8  =  5a  +  2a  + 
4  +  8  =  7a  +  12.

16.    5abc 
–  (2a²b  –  (3abc  +  (6ab²  – 
3a²b)))  =

=  5abc  –  (2a²b – 
(3abc  +  6ab²  –  3a²b))  =

=  5abc  –  (2a²b  – 
3abc  –  6ab²  +  3a²b)  =

=  5abc
 –  5a²b  +  3abc  +  6ab²  = 
8abc  –  5a²b  +  6ab².

         Если       а
 =  –1,      b  =  2,      с  =  –2,       то         8abc
 –  5a²b  +  6ab²  =

=  8    (–1)    2    (–2)  –  5    (–1)²   
2  +  6    (–1)    2²  =  32  –  10  –  24  =  –2.

17.    Для
упрощения вычислений целесообразно коэффициенты при переменной х в
первом многочлене представить в виде десятичных дробей:

        ж             4                                3                           2                                2ц

з1 25, x +0 125,            x –2 75, x –0
2, x– ч – и     7ш

– 2 25зж , x⁴ +0 125,   x³ –1
75, x² –0 2 +, x ^5цч = и              7ш

= 1,25х⁴  +  0,125x³  – 
2,75x²  –  0,2x  –    –  2,25x⁴  – 
0,125x³  +

+  1,75x²  +  0,2x –    =  –x⁴
 –  x²  –  1.

При любом значении х верны
неравенства х⁴    0, х²    0, следовательно,
–х⁴  –  х²  –  1  <  0.

18. Бригада изготовляла в
феврале по 1,15а деталей в день, а в марте по (1,15а  +  с)
деталей. Общее число деталей, изготовленных бригадой за первый квартал, равно

15a
 +  20    1,15a  +  22    (1,15a  +  с)  =

=  15a
 +  23a  +  25,3a  +  22c  =  63,3a  +  22c.

§ 10. Произведение одночлена и
многочлена

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
27 28	Умножение одночлена на многочлен Вынесение общего множителя за скобки Контрольная работа № 5	4(4) 2(2) 1

Содержание материала

Умножение одночлена на многочлен,
его применение в преобразовании целого выражения в многочлен стандартного вида.
Использование умножения одночлена на многочлен при доказательстве тождеств и
решении уравнений. Разложение многочленов на множители с помощью вынесения
общего множителя за скобки.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы сформировать умения преобразовывать произведение
одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида, а также выполнять разложение
многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки и
применять эти умения при решении уравнений.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь выполнять
умножение одночлена на многочлен и применять это преобразование для упрощения
целых выражений, при решении уравнений, в частности уравнений, содержащих дроби
с числовыми знаменателями. Расширяется круг текстовых задач, решаемых с помощью
уравнений, формируется умение учащихся выполнять разложение многочленов на
множители с помощью вынесения общего для членов многочлена множителя за скобки.

Методический комментарий

Умножение одночлена на многочлен
является одним из важнейших компонентов в тождественных преобразованиях
различного рода выражений. Оно находит применение при решении уравнений и
неравенств с одной переменной, систем уравнений с двумя переменными,
доказательстве тождеств, при решении текстовых задач и т. п. В связи с этим
необходимо добиваться усвоения всеми учащимися материала, представленного в
учебнике в пункте 27. Важно разъяснить учащимся, что правило умножения
одночлена на многочлен следует из распределительного свойства умножения. Они
должны научиться свободно выполнять простейшие задания 614—617 на
умножение одночлена на многочлен, не пропуская ни одного члена и внимательно
следя за знаками. Эти умения составляют базу для безошибочного выполнения
преобразований целых выражений, в которых умножение одночлена на многочлен
выполняется в сочетании с раскрытием скобок, перед которыми стоит знак «плюс»
или «минус», приведением подобных членов и т. п. С такими преобразованиями
учащиеся встречаются в заданиях 618—629. Важно, чтобы при их
выполнении учащиеся были внимательны, аккуратно вели записи в тетрадях,
использовали самоконтроль. Умение выполнять подобные преобразования является
необходимым условием для решения уравнений, представленных в упражнениях 630—633.
Специальное внимание в данном пункте следует уделить решению уравнений,
содержащих дроби с числовыми знаменателями (634—638). С такими
уравнениями учащиеся неоднократно встретятся в дальнейшем, например при решении
систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Данный пункт завершается блоком
текстовых задач (639—649). Особое внимание здесь следует уделить
задачам 648, 649 с практическим содержанием. Подобные задачи
убеждают учащихся в значимости приобретаемых ими на уроках алгебры знаний и
умений.

В соответствии с реализуемым в
учебнике принципом параллельного рассмотрения прямых и обратных преобразований
изучение умножения одночлена на многочлен непосредственно связывается с таким
преобразованием, как вынесение общего множителя за скобки. Объяснение материала
рекомендуется начать с подробного разбора примера 1, приведённого в пункте 28.
Важно обратить внимание учащихся на то, что при разложении на множители
многочлена с целыми коэффициентами при его членах выносимый за скобки множитель
обычно выбирают так, чтобы в скобках оставался многочлен, члены которого не
содержат одинаковых для всех общих множителей, а коэффициенты не имеют общих
делителей, отличных от единицы. Предлагаемые учащимся упражнения начинаются с
простейших заданий 654—659 на разложение на множители двучленов,
а затем к ним добавляются более сложные задания 664—669, в
которых предлагается разложить на множители трёхчлен. Важно предостеречь
учащихся от распространённой ошибки, когда при вынесении за скобки общего
множителя они теряют в записи оставшегося многочлена слагаемое 1 или –1.
Например, пишут 5a⁶  +  ab  + +  a  =  a(5a⁵
 +  b). Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при
вынесении одночленного множителя из многочлена, содержащего п членов, в
скобках должен остаться многочлен, который также содержит п членов.

При изучении пункта 28 важно
ознакомить учащихся с разобранными в тексте учебника примерами 4 и 5,
демонстрирующими возможности применения разложения многочленов на множители с
помощью вынесения общего множителя за скобки при решении различных задач. Формированию
соответствующих умений способствуют упражнения 660—665.
Рекомендуется специально остановиться на заданиях 663 и 665,
предназначенных для работы в парах. Результаты их выполнения следует проверить
в коллективной работе класса, требуя от учащихся необходимых пояснений и
обоснований.

Систему упражнений на вынесение
общего множителя за скобки, представленную в пункте 28, завершают упражнения 670—672,
в которых предлагается вынести за скобки многочленный множитель. Эти упражнения
готовят учащихся к изучению разложения многочленов на множители способом
группировки.

К системе упражнений,
представленной в § 10 «Произведение одночлена и многочлена», примыкает блок
дополнительных заданий, в число которых входят текстовые задачи. Многие из этих
задач могут быть использованы при заключительном повторении в конце учебного
года. Наиболее сложные текстовые задачи 759, 760, 764, 766
рекомендуется предложить в качестве индивидуальных заданий хорошо
успевающим учащимся.

Указания к основным упражнениям учебника

623.        
б)      5a(a  –  4b)  –  4b(b  – 
5a)  =  5a²  –  20ab  –  4b²  + 
20ab  =

=   5a²  –  4b².

Если а  =  –0,6, b  =  –0,5, то

5a²
 –  4b²  =  5    0,36  –  4    0,25  =  1,8  –  1  = 
0,8.

3

624.        
б) ^жз–¹b^цч –b^жз1 2– b– ¹b^2цч =–¹b³–b+2b²+
¹b³ =2b²– ;b и 2
ш            и              8              ш             8              8

г) (0,2c³)²  –  0,01c⁴(4c²
 –  100)  =  0,04c⁶  –  0,04c⁶  +  c⁴
 =  c⁴.

629.      2x(x
 –  6)  –  3(x²  –  4x  +  1)  =  2x²  – 
12x  –  3x²  +  12x  –  3  = =  –x²
 –  3.

При любом значении х верно
неравенство  –х²    0, и, следовательно, –х²  – 
3 < 0.

630.      е)
0,5(2y  –  1)  –  (0,5  –  0,2y)  +  1  =  0; y  –  0,5 
–  0,5  +  0,2y  +  1  =  0;  1,2y  =  0;  y  =  0;

з) 3(3x  –  1)  +  2  =  5(1  –  2x) 
–  1;

9x  –  3  +  2  =  5  –  10x  –  1; 9x
 +  10x  =  4  +  1; 19x  =  5; x  =  .

633. В этом упражнении,
кроме умения решать уравнения, отрабатываются также навыки составления
уравнения по условию.

а) 2(3  –  5c)  +  1  =  4(1  –  c); c
 =  0,5;

б) –3(2x  +  1)  –  20  =  8x  +  5; x
 =  –2;

в) 3(5x  +  7)  =  61  –  10x; x  = 
1,6;

г) 8 
–  y  =  2(7  +  y); y  =  –2. 635. а) ^6x–5 ₌ ^2x–1 ₊2;  3(6x  –  5)  =  7(2x  –  1)  + 
21    2;

                               7               3

18x  –  15  =  14x  – 
7  +  42; 18x  –  14x  =  35  +  15; 4x  =  50; x  = 
12,5;

е) ^y – ^{3 2– y} =0;
5y  –  4(3  –  2y)  =  0; 5y  –  12  +  8y  =  0;
13y  =  12;

4                5 y  =  .

637.     
в)  ^2m+1 + =3     ^m – ^6–m;   3(2m  +  1)  +  12    3  =  2m  – 
(6  –  m);

                            4                    6          12

6m  +  3  +  36  =  2m  –  6  +  m; 
3m  =  –45; m  =  –15.

638.     
в) ^11x–4 – ^x–9 =5;
2(11x  –  4)  –  7(x  –  9)  =  5    14;

                                7               2

22x  –  8  –  7x  +  63  =  70;  15x
 =  15;  x  =  1;

д) ^3p–1 – ^2p+6 –1=0;
3(3p  –  1)  –  2(2p  +  6)  –  72  =  0;

                   24            36

9p  –  3  –  4p  –  12  –  72  =  0; 5p
 =  87; p  =  17,4;

е)
5– ^{1 2– x} = ^3x+20 + ^x; 5    12  –  3(1  –  2x)  =  2(3x  + 
20)  +  4x;

                          4                6            3

60  –  3  +  6x  =  6x  +  40  +  4x; 
4x  =  17;  x  =  4.

В упражнениях 639—649 рассматривается
один из возможных способов решения.

639. Пусть длина первой
стороны прямоугольника равна х см, тогда x  +  (x  +  4) 
+  ^x 
=  44; x  =  16.

2

641.            
Пусть общий выигрыш равен х флоринам, тогда x  + 
x  + 
17  =  x; x  =  28.

642.            
Пусть во втором сарае было х т сена, тогда

 (3x  –  2)  =  x  +  2; x  = 
3.

643.            
Допустим, что площадь луга равна х га, тогда

x          x

       –           =1;
x  =  300.

50       60

644. Пусть длина дистанции
составляет х м, тогда x   x

–                 =1;
х  =  1500.

250  300

645.Допустим, что туристы сделали
привал на расстоянии х км от турбазы, тогда ^x – ^x = ¹; х  =  9.

                                                                     4      4 5,      4

646.Допустим, что мотоциклист догнал
велосипедиста на расстоянии х км от пункта А, тогда ^x = ^x+60;
х  =  40.

                                                                                               12          30

При решении этой задачи полезно
сделать соответствующий рисунок.

647.Допустим, что легковая машина
догнала грузовую на расстоянии х км от пункта А, тогда ^x – ^x =2;  х
 =  360.

                                                                                            60      90

При решении этой задачи полезно
проиллюстрировать условие с помощью рисунка.

648.Пусть
первоначально в растворе было х г соли, тогда концентрация раствора была
равна ^x  100%. После

190

добавления 10 г соли в растворе стало (х  + 
10) г соли, а концентрация его стала равной ^x+10  100%. Учитывая,

200

что 4,5% 
=   100%, составим уравнение ^x+10 – ^x =.

                                                                                                      200        190

Отсюда х  =  19.

649.Допустим,
что первоначально в сплаве было х кг олова, тогда содержание олова в
сплаве было равно x

 100%. После добавления 2 кг олова его содержание в

16

сплаве   стало
      равным       ^x+2  100%.      Имеем        уравнение

18

x+2      x        1

      –        =          .
Отсюда х  =  8,8.

18       16       20

657. Ниже показан один из
возможных способов вынесения за скобки общего множителя.

в) –5mn  +  5n  =  5n(–m  + 
1);

м) –p²q²  –  pq 
=  –pq(pq  +  1).

660.     
Для упрощения вычислений рекомендуется предварительно
преобразовать выражения, вынеся общий множитель за скобки.

б) a²y  +  a³  = 
a²(y  +  a); если а  =  –1,5, у  = 
–8,5, то

a²(y 
+  a)  =  (–1,5)²    (–8,5  –  1,5)  =  2,25    (–10)  =  –22,5;

г) –mb  –  m²  =  –m(b 
+  m); если т  =  3,48, b  =  96,52, то

–m(b  +  m)  =  –3,48    (96,52  + 
3,48)  =  –3,48    100  =  –348.

661.     
з) 6x  –  0,2x²  =  0; 2x(3 
–  0,1x)  =  0; x  =  0 или 3  –  0,1x  =  0; x₁
 =  0, x₂  =  30. 663. (Для работы в парах.)
Перед выполнением этого задания полезно повторить с учащимися свойства степеней
и правила действий со степенями.

а) 16⁵  +  16⁴  =  16⁴   
(16  +  1)  =  16⁴    17. Значение выраже-

ния кратно 17, так как один из множителей полученного
произведения равен 17;

в)  36⁵  –  6⁹  =  (6²)⁵
 –  6⁹  =  6¹⁰  –  6⁹  =  6⁹   
(6  –  1)  =  6⁹    5  =  6⁸    6   

   5  =  6⁸    30  —  это произведение
делится на 30;

г)  5¹⁸  – 
25⁸  =  5¹⁸  –  (5²)⁸  =  5¹⁸  – 
5¹⁶  =  5¹⁶    (5²  –  1)  =  5¹⁶   
24  = =  5¹⁵    5    24  =  5¹⁵    120  —  это
произведение делится на 120.

          665. (Для
       работы      в       парах.)           в) 27⁴  –  9⁵  + 
3⁹  =  (3³)⁴  –

–  (3²)⁵  +  3⁹  =  3¹²
 –  3¹⁰  +  3⁹  =  3⁹    (3³  – 
3  +  1)  =  3⁹    25  —  это про-

изведение делится на 25;

г)  16⁴  –  2¹³  –  4⁵  = 
(2⁴)⁴  –  2¹³  –  (2²)⁵  = 
2¹⁶  –  2¹³  –  2¹⁰  =  2¹⁰    

   (2⁶  –  2³  –  1)  =  2¹⁰   
55  =  2⁹    2    55  =  2⁹    110  —  это произведение
делится на 110.

При выполнении
задания использовано следующее свойство делимости: если один из множителей
делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

670.                  
е)  –3b(b  –  2)  +  7(b  –  2)²  = 
(b  –  2)(–3b  +  7(b  –  2))  = =  (b  –  2)   
(–3b  +  7b  –  14)  =  (b  –  2)(4b  –  14)  =  2(b
 –  2)(2b  –  7).

671.                  
в)  3a(2x  –  7)  +  5b(7  –  2x) 
=  3a(2x  –  7)  –  5b(2x  –  7)  =

=  (2x  –  7)(3a  –  5b);

г)  (x  –  y)²  – 
a(y  –  x)  =  (y  –  x)²  –  a(y  – 
x)  =  (y  –  x)(y  –  x  –  a);

е)  2(3  –  b)  +  5(b  – 
3)²  =  2(3  –  b)  +  5(3  –  b)²  =  (3 
–  b)      (2  +  5 (3  –  b))  =  (3  –  b)(2  +  15  – 
5b)  =  (3  –  b)(17  –  5b).

В каждом из этих заданий возможны
расхождения в ответах учащихся в зависимости от выбранного ими способа
разложения на множители.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

753. а) 3(x²  –  x  + 
1)  –  0,5x(4x  –  6)  =  3x²  –  3x  + 
3  –  2x²  +  3x  =

=  x²  +  3; x²  + 
3 > 0 при любом значении х;

б) y(2  +  y  –  y³)  –  ²(6  +  3y
 +  1,5y²)  =  2y  +  y²  –  y⁴
 –  4  –  2y  –  y²  =

3

=  –y⁴  –  4; –y⁴  – 
4 < 0 при любом значении у.

755.Пусть
в первом сосуде первоначально было х кг раствора соли, тогда во втором
сосуде было (x  +  2) кг. Масса соли в первом сосуде была 0,1x кг,
во втором сосуде  — 0,3(x  +  2) кг, а в третьем сосуде  —  0,25(x  + 
(x  +  2)) кг.

Имеем уравнение

0,1x
 +  0,3(x  +  2)  =  0,25(2x  +  2).

Отсюда x  =  1.

756.Пусть
в первую бригаду привезли х кг раствора цемента, тогда во вторую бригаду
привезли (х  +  50) кг раствора. Через 3 ч работы в первой бригаде
осталось

(х  –  3    150) кг, а во второй  —  (х  + 
50  –  3    200) кг. Так как по условию задачи в первой бригаде раствора
осталось в 1,5 раза больше, чем во второй, имеем уравнение

x  – 
450  =  1,5(x  –  550).

Отсюда x  =  750.

757.Пусть
первый теплоход шёл до встречи со вторым теплоходом х ч, тогда второй
теплоход шёл до встречи

жзx– 3цч
ч.

и    4ш

Имеем уравнение 45x  +  36 ^жзx– ^3цч =  162; x  = 
2 ¹.

                                                                   и         4ш                              3

758.Пусть
второй теплоход догонит первый через x ч после своего отправления. Тогда
первый теплоход был в

пути до этого момента ^жзx+1^1цч ч.

                                                    и           4ш

Имеем
уравнение 40^жзx+1^1цч =  60x; x
 =  2,5; 60    2,5  =

                                                        и           4ш

=  150 (км).

759.Пусть
скорость первого автобуса х км/ч, тогда скорость второго автобуса равна
(х  –  10) км/ч. За 3  ч первый автобус прошёл 3  х км, а
второй  —  3  (х  –  10) км. Первый автобус прибыл в B,
следовательно, расстояние от А до В равно 3  х км.

Имеем
уравнение 3x  –  3(x  –  10)  =  ¹    3 ¹ x; x
 =  60.

                                                                                             6         2

Скорости автобусов 60 км/ч и 50
км/ч, а расстояние АВ равно 3     60, т.  е. равно 210 км.

760.Пусть
скорость второго мотоциклиста равна х км/ч, тогда скорость первого  — 
1,5x км/ч. Первый мотоциклист проехал за 2,4 ч расстояние, равное 1,5х   
2,4 км, а второй  —  2,4х км. Расстояние, которое преодолели оба
мотоциклиста вместе, равно удвоенному расстоянию от А до В.

Имеем уравнение 1,5x    2,4  +  2,4x  = 
240; x  =  40.

Скорости мотоциклистов 60 км/ч и 40
км/ч, а расстояние от места встречи до пункта В равно 120  –  2,4    40,
т.  е. равно 24 км.

761.Пусть
х км/ч  —  скорость катера в стоячей воде, тогда (х  +  1,5)
км/ч  —  его скорость по течению реки, а (х  –  1,5) км/ч  —  его
скорость против течения.

Имеем уравнение 4(x  +  1,5)  =  2,4    2(x
 –  1,5); x  =  16,5.

762.Пусть
скорость течения равна х км/ч, тогда скорость катера по течению равна
(15  +  х) км/ч, а против течения  —  (15  –  х) км/ч.

Имеем уравнение 10(15  –  x)  –  6(15  +  x) 
=  20; x  =  2,5.

763.Допустим,
что кооператив предполагал в день выпускать х мужских сорочек, тогда

8x  = 
7(x  +  10).

Из этого уравнения получим, что x  =  70.

764.Пусть
на элеватор поступило х т пшеницы одного сорта и (1400  –  х) т
пшеницы другого сорта. Отходы, полученные при переработке, составили
соответственно 0,02х т и 0,03(1400  –  х) т. Поскольку получили
1364 т чистой пшеницы, отходы составили 1400  –  1364, т.  е. 36 т. Имеем
уравнение

0,02x
 +  0,03(1400  –  x)  =  36.

Отсюда x  =  600; 1400  –  600  =  800.

765.Допустим,
что бригада должна была убрать пшеницу с х га, тогда она планировала
закончить работу за

^x дней. Фактически она убрала
пшеницу с площади

80 (х  –  30) га и затратила на это ^x–30 дней.

90 Имеем уравнение

                                                         x         x –30

                                                              –                =1.

                                                        80          90

Отсюда х  =  480.

766. Пусть первоначально в
растворе было х г соли, тогда первоначальная концентрация раствора была
равна x

            100%;        новая        концентрация         раствора
     стала        равна

480 x+20

 100%. Учитывая, что 3,75%  =   100%, получаем

500 уравнение

                                                      x +20          x

                                                   – =       ,

                                                        500         480

из которого находим, что х  =  30.

768. в) 25⁹  +  5¹⁷  = 
(5²)⁹  +  5¹⁷  =  5¹⁸  +  5¹⁷  = 
5¹⁷    (5  +  1)  =  5¹⁷    

   6  =  5¹⁶    (5    6)  =  5¹⁶   
30;

г) 27¹⁰  –  9¹⁴  =  (3³)¹⁰
 –  (3²)¹⁴  =  3³⁰  –  3²⁸  = 
3²⁸    (3²  –  1)  =  3²⁸    8  =

=  (3        3²⁷  =  24    3²⁷;

д) 12³  –  12²  +  12¹¹  = 
12¹¹    (12²  –  12  +  1)  =  12¹¹    (144 
–  12  +  1)  =

=  12¹¹    133. Это произведение делится на
7 и на 19, так как

133 делится на 7 и на 19;

е)  11⁹  –  11⁸ 
+  11⁷  =  11⁷    (11²  –  11    +  1)  =  11⁷ 
  111. Это произведение делится на 3 и на 37, так как 111  =  37    3.

772. Следует обратить
внимание учащихся на то, что после вынесения в основании степени за скобки
общего множителя надо возвести в степень каждый из множителей полученного
произведения.

а) (3а  +  6)²  =  (3(а  + 
2))²  =  3²(а  +  2)²  =  9(а  + 
2)²;

г) (–3p  +  6)³  =  (–3(p  – 
2))³  =  (–3)³    (p  –  2)³  =  –27(p
 –  2)³;

д) (5q  –  30)³  =  (5(q  – 
6))³  =  5³    (q  –  6)³  =  125(q  – 
6)³;

е) (2a  –  ⁴  =  (2(a  – 
4))⁴  =  2⁴    (a  –  4)⁴  =  16(a  – 
4)⁴.

774.а
 +  а²  =  а(а  +  1). Это произведение
делится на 2, так как а и (а  +  1) — два последовательных целых
числа, одно из которых чётное.

775.abc cba–  = 
(100a  +  10b  +  c)  –  (100c  +  10b  +  a) 
=  99a  – –  99c  =  99(а  –  c). Это произведение
кратно 11, так как 99 делится на 11.

776.а)
2ⁿ  +  2^{n  +  1}  +  2^{n  + 
2}  =  2ⁿ    (1  +  2  +  4)  =  2ⁿ   
7  =  2^{n  –  1}    14, где n  —  натуральное
число;

б) 5ⁿ  +  5^{n
 +  1}  =  5ⁿ    (1  +  5)  =  5ⁿ   
6  =  5^{n  –  1}    (5    6)  =  5^{n  – 
1}    30, где n  —  натуральное число.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 24

7.  Преобразуем
данное выражение:

15у²(у²
 –  2у  +  4)  –  3у(8  –  10у²  +  7у) 
+  12(3  +  2у)  = =  15у⁴  –  30у³  + 
60у²  –  24у  +  30у³  –  21у²
 +  36  +  24у  = =  15у⁴  +  39у²  + 
36.

Значение этого выражения
положительно при любом значении у.

8.  Пусть легковой
автомобиль догонит автобус через х ч, тогда путь, пройденный
автомобилем, составит 60х км, а автобусом  —  50(х  +  1) км.

Имеем уравнение 50(х  +  1)  =  60х; х
 =  7,5.

60    7,5  =  450 (км).

10.                     
а) 3х(–4х²  +  7  +  2х)  + 
9  =  6х(х  –  1  –  2х²);

–12х³  +  21х  + 
6х²  +  9  =  6х²  –  6х  –  12х³; 
21х  +  6х  =  –9; х  =  –;

б) 2у(1  –  6у)  +  3у(4у  – 
3)  =  –7у  –  5(3  –  у);

2у  –  12у²  + 
12у²  –  9у  =  –7у  –  15  +  5у; 2у
 –  9у  =  –2у  –  15; –5у  =  –15; у  =  3.

11.                     
б) а³(2а²  +  а  – 
1)  –  2а²(а³  –  3а  +  2)  –  а⁴
 –  5а³  +  5  =  2а⁵  + +  а⁴
 –  а³  –  2а⁵  +  6а³  – 
4а²  –  а⁴  –  5а³  +  5 
=  –4а²  +  5.

Если а  =  , то –4а²  + 
5  =  –4      +  5  =  4.

14.    
а) 4yn–1жз3yn+1 – 1yцч = 3y2n –2yn; и8               2
ш           2

б) –3a bm mжз–1a7—m– 2b9—mчц= 1ab7 m +2a bm 9. и 6              3              ш             2

Здесь m, n  —  натуральные числа, m   
7.

15.    
а) 2– ^3x–2 – ^2x–11 =0; 54    2  –  3(3х  –  2)  –  2(2х  – 
11)  =

                                   18              27

=  0; 108  –  9х  +  6  –  4х  +  22 
=  0; 13х  =  136; x=10;

б) 
4 – ^{2 —
y}=^{3y + 4} – ^y; 60    4  –  20(2  –  у)  =  12(3у  + 
4)  –  15у;

                          3             5           4

240  –  40  +  20у  =  36у
 +  48  –  15у; 200  –  48  =  21у  –  20у; у  = 
152.

16. Допустим, что автобусы
встретятся через х ч после отправления первого автобуса. Учитывая, что
скорость второго автобуса равна 40    1,1  =  44 (км/ч), получаем уравне-

ние 40x+ ^жзx– ^1цч  44=650; х  =  8.

                         и        2ш

П у н к т 25

10.     Предварительно
преобразуем данное выражение.

б)   5m³n⁴  –  71m²n³
 +  6m⁴n³  =  m²n³(5mn
 –  71  +  6m²). Если

т  =  9, п  =  –, то

m²n³(5mn
 –  71  +  6m²)  =  81   ^жз– ^{1 ц}ч  _з^ж45  ^жз–^1цч –71+6 81     ^ц_ч =

                                                                       и 27ш и            и 3ш                            ш

= 
–3(–15  –  71  +  486)  =  –3    400  =  –1200;

в)   18x⁴y  –  27x³y²
 –  81x²y³  =  9x²y(2x²
 –  3xy  –  9y²). Если

х  =  –0,2, у  =  0,1, то

9x²y(2x²
 –  3xy  –  9y²)  = 

= 
9    0,04    0,1    (2    0,04  +  3    0,2    0,1  –  9    0,01) =

= 9    0,004    (0,08  +  0,06  –  0,09)  = 
0,036    0,05  =  0,0018.

11.     а)
a³ⁿ  –  3aⁿ  =  aⁿ(a²ⁿ
 –  3);

б) x2n  +  1y  +  x2n  –  1y  =  x2n  –  1y(x2  +  1);

в) c3n  +  4  –  c3n  +  2  +  c3n  +  1  =  c3n  +  1(c3  –  c  +  1).

12.     а)
6^{n  +  2}  –  6^{n  +  1}  + 
6ⁿ  =  6ⁿ(6²  –  6  +  1)  =  6ⁿ   
31;

б) 92n
 –  1  –  92n  – 
2  –  92n  –  3  = 
92n  –  3(92  –  9  –  1)  =  92n  –  3    71 (n  > 
1).

13.     а)
15a  –  30b  +  61  =  15(a  –  2b)  +  61  = 
15    8  +  61  =  181;

б) (2a  –  4b)²  –  300  = 
(2(a  –  2b))²  –  300  =  4    64  –  300  =  –44.

15.                     
б) 7y(y²  +  2)  –  5y³  – 
2y²(y  –  3)  =  0; 7y³  +  14y  – 
5y³  –  2y³  + +  6y²  = 
0; 14y  +  6y²  =  0; 2y(7  +  3y)  = 
0; y₁  =  0, y₂  =  –2 .

16.                     
abcd dcba–           =  1000a  +  100b  + 
10c  +  d  –  1000d  –  100c  –

–  10b  –  a  =  999a  +  90b  – 
90c  –  999d. Эта сумма делится на 9, так как каждое слагаемое
делится на 9.

§ 11. Произведение многочленов

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
29 30	Умножение многочлена на многочлен Разложение многочлена на множители способом группировки Контрольная работа № 6	4(4) 2(3) 1

Содержание материала

Умножение многочлена на
многочлен, его применение для упрощения выражений, при доказательстве тождеств,
при решении уравнений, в задачах на делимость. Способ группировки как один из
способов разложения многочленов на множители. Применение способа группировки
при нахождении значения выражения, доказательстве тождеств.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы сформировать умение преобразовывать произведение
двух многочленов в многочлен стандартного вида, применять это преобразование
при упрощении выражений, доказательстве тождеств, решении уравнений. Ознакомить
учащихся со способом группировки как одним из способов разложения на множители.
Сформировать умение применять этот способ в преобразованиях различных
выражений.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного материала
формируются умения учащихся выполнять умножение многочлена на многочлен,
применять это преобразование при упрощении выражений, доказательстве тождеств,
решении уравнений и текстовых задач с помощью уравнений, а также использовать
способ группировки для разложения многочленов на множители.

Методический комментарий

В данном параграфе учащиеся
впервые встречаются с таким преобразованием, как умножение многочлена на
многочлен. Изложение материала начинается с доказательства тождества

(a 
+  b)(c  +  d)  =  ac  +  bc  +  ad  +  bd.

При доказательстве этого тождества
учащиеся впервые встречаются с важной методической идеей  —  идеей подстановки.
Полезно рассказать учащимся, что в III в. до н. э. греческий математик Евклид
доказывал справедливость данного равенства с помощью чертежа, и предложить им
рассмотреть приведённый в учебнике рисунок 68.

На основе равенства (a  +  b)(c 
+  d)  =  ac  +  bc  +  ad  +  bd в учебнике формулируется правило
умножения многочлена на многочлен. Учащиеся должны знать это правило и уметь
его воспроизводить. Умение выполнять умножение многочлена на многочлен включает
два шага  —  представлять произведение в виде многочлена и приводить подобные
члены этого многочлена. Важно, чтобы учащиеся научились безошибочно выполнять
оба эти шага. При умножении многочлена на многочлен полезно приучить
семиклассников к такой последовательности действий: сначала каждый член первого
многочлена умножаем на первый член второго, далее каждый член первого
многочлена умножаем на второй член второго многочлена и т. д. Если в первом
многочлене т членов, а во втором п членов, то в произведении, до
приведения подобных членов, должно получиться тп членов. Учащимся
следует помнить об этом и использовать данную закономерность для самоконтроля,
чтобы избежать распространённой ошибки, связанной с потерей членов в
произведении.

При выполнении упражнений 677—684
учащиеся должны внимательно следить за знаками членов многочлена,
получившегося в результате умножения. Определённую сложность для них
представляют задания 687—694, где умножение многочлена на
многочлен сочетается с раскрытием скобок, перед которыми стоит знак «плюс» или
«минус». В подобных заданиях рекомендуется на первых порах использовать
пошаговое выполнение задания, а именно сначала выполнить умножение многочленов,
записывая результаты в скобках, а затем перейти к сложению или вычитанию
многочленов, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак
«плюс» или «минус». Например, упражнение 687д может выполняться так:

(a 
–  b)(a  +  2)  –  (a  +  b)(a  –  2)  =

=  (a²
 –  ab  +  2a  –  2b)  –  (a²  +  ab 
–  2a  –  2b)  = =  a²  –  ab  +  2a 
–  2b  –  a²  –  ab  +  2a  +  2b
 =  –2ab  +  4a.

Далее можно перейти к более
компактной записи решения, в которой скобки сразу опускаются с учётом знака,
стоящего перед произведением. Например, преобразование выражения в упражнении 690а
можно вести так:

(х 
–  3)(х  +  7)  –  (х  +  5)(х  –  1)  =

=  х²
 –  3х  +  7х  –  21  –  х²  –  5х  + 
x  +  5  =  –16.

В упражнениях 695—703 учащиеся
встречаются с применением умножения многочленов при решении задач на делимость,
а также при решении уравнений и текстовых задач с помощью уравнений. Заметим,
что рассмотренное в данном пункте преобразование широко используется при
изучении последующих тем курса алгебры 7 класса, а также в курсах алгебры 8 и 9
классов. В связи с этим при изучении пункта 29 необходимо уделить особое
внимание выработке соответствующих умений.

В соответствии с реализуемым в
учебнике принципом взаимосвязанного изучения прямых и обратных преобразований
непосредственно после изучения умножения многочлена на многочлен учащиеся
знакомятся с использованием способа группировки для разложения многочленов на
множители. По сравнению с ранее изученным способом вынесения общего множителя
за скобки для разложения многочлена на множители способ группировки является
более сложным. Слабым учащимся трудно представить, к чему приведёт то или иное
группирование членов многочлена. Вполне возможно, что, следуя по выбранному
пути, они не получат желаемого результата. В этом случае им придётся зачеркнуть
начатую запись, что, естественно, не должно сопровождаться снижением оценки.

Полезно, чтобы при разложении
многочлена на множители способом группировки учащиеся заранее прикидывали,
какой общий множитель можно будет вынести за скобки на последнем этапе, и в
зависимости от этого определяли, какой знак — «плюс» или «минус» — удобно сразу
ставить перед той или иной скобкой. Например, при разложении на множители
многочлена  xy²  –  by²  –  ax  +  ab 
+  y²  –  a удоб-

но выполнить группировку членов многочлена следующим
образом: xy²  –  by²  –  ax  +  ab  +  y²
 –  a  =  (xy²  –  by²  +  y²) 
–  (ax  –  ab  +  a).

Специальное внимание рекомендуется
уделить использованию способа группировки для разложения на множители трёхчлена
x²  +  bx  +  c (упражнение 718 и примыкающее к
нему дополнительное упражнение 793). Учитывая, каково значение b,
учащиеся должны сообразить, в виде какой суммы или разности двух одночленов
следует представить средний член bx.

Дополнительные упражнения к § 11
носят в основном дублирующий характер. При наличии времени желательно
использовать задания 786—789, позволяющие поддерживать
сформированное ранее умение учащихся решать с помощью уравнений текстовые
задачи. Хорошо успевающим учащимся рекомендуется предложить усложнённые задания
796—798.

Указания к основным упражнениям учебника 685. в) Умножим
сначала одночлен –3b³ на двучлен

(b  +  2), а затем полученное произведение
умножим на двучлен (1  –  b):

–3b³(b
 +  2)(1  –  b)  =  (–3b⁴  –  6b³)(1 
–  b)  = =  –3b⁴  –  6b³  +  3b⁵
 +  6b⁴  =  3b⁴  +  3b⁵  – 
6b³.

В этом задании искомый многочлен
можно найти также, умножив сначала (b  +  2) на (1  –  b), а
затем умножив –3b³ на полученное произведение.

687.                  
в)            x³  –  (x²  – 
3x)(x  +  3)  =  x³  –  (x³  – 
3x²  +  3x²  –  9x)  = =  x³
 –  (x³  –  9x)  =  x³  –  x³
 +  9x  =  9x.

688.                  
Выполним преобразование:

(3a
 –  2b)(2a  –  3b)  –  6a(a  –  b)  +  7ab
 =

=  6a²
 –  4ab  –  9ab  +  6b²  –  6a²
 +  6ab  +  7ab  =  6b².

Достаточно знать только значение b.
Значит, верный ответ под номером 3.

692. а) Преобразуем левую и правую части
равенства:

(x  –  3)(x  +  7)  –  13  =  x²
 –  3x  +  7x  –  21  –  13  =  x²  +  4x
 –  34;

(x  +  8)(x  –  4)  –  2  =  x²
 +  8x  –  4x  –  32  –  2  =  x²  +  4x 
–  34.

Обе части равенства тождественно
равны одному и тому же выражению. Следовательно, данное равенство является
тождеством.

693.а)
(x  –  5)(x  +    –  (x  +  4)(x  –  1)  =  (x²
 –  5x  +  8x  –  40)  – –  (x²  +  4x
 –  x  –  4)  =  x²  +  3x  –  40  –  x²
 –  3x  +  4  =  –36.

Значение данного выражения не зависит от переменной x.

694.(y
 –  6)(y  +    –  2(y  –  25)  =  y²  – 
6y  +  8y  –  48  –  2y  +  50  =

=  y²  +  2. у²  + 
2 > 0 при любом значении у.

695.б)
n(n  +  2)  –  (n  –  7)(n  –  5)  =  n²
 +  2n  –  (n²  –  7n  –  5n  + 
35)  = =  n²  +  2n  –  n²  +  12n  – 
35  =  14n  –  35  =  7(2n  –  5), где 2n  –  5  — целое
число. Значит, при любом целом n значение данного выражения делится на
7.

696.Пусть
a  =  2n  +  1, где п  —  натуральное число, тогда
следующие нечётные числа имеют вид b  =  2n  +  3, c  =  2n
 +  5, d  =  2n  +  7. Имеем

cd 
–  ab  =  (2n  +  5)(2n  +  7)  –  (2n  +  1)(2n  + 
3)  =

=  4n²
 +  10n  +  14n  +  35  –  (4n²  +  2n
 +  6n  +  3)  = =  4n²  +  24n  +  35  – 
4n²  –  8n  –  3  =  16n  +  32.

Данная сумма кратна 16, так как
каждое слагаемое делится на 16.

698. а) 5  +  x²  =  (x  + 
1)(x  +  6);  5  +  x²  =  x²  +  x
 +  6x  +  6;

7x  =  –1; x=–;

б) 2x(x  –    =  (x
 +  1)(2x  –  3); 2x²  –  16x  =  2x²
 +  2x  –  3x  –  3; –16x  +  x  =  –3;  15x
 =  3;  x  =  0,2;

в) (3x  –  2)(x  +  4)  –  3(x  + 
5)(x  –  1)  =  0;

3x²  –  2x  +  12x  – 
8  –  3(x²  +  5x  –  x  –  5)  =  0;

3x²  +  10x  –  8  –  3x²
 –  12x  +  15  =  0; –2x  +  7  =  0; x  =  3,5;

г) x²  +  x(6  –  2x) 
=  (x  –  1)(2  –  x)  –  2;

x²  +  6x  –  2x²
 =  2x  –  2  –  x²  +  x  –  2; 6x  – 
3x  =  –4; x=–1.

700.Обозначим
наименьшее из трёх искомых чисел через п, тогда следующие натуральные
числа имеют вид n  +  1 и п  +  2. Составим и решим уравнение:

(n  +  1)(n  +  2) 
–  n²  =  65; n²  +  n  +  2n  + 
2  –  n²  =  65; 3n  =  63; n  =  21.

Искомые числа: 21, 22 и 23.

701.Пусть
наименьшее из трёх нечётных чисел равно 2п  +  1, тогда следующие два
нечётных числа имеют вид

2п  +  3 и 2п  +  5. Имеем уравнение

(2n  + 
5)(2n  +  3)  –  (2n  +  3)(2n  +  1)  =  76; (2n  + 
3)(2n  +  5  –  2n  –  1)  =  76; 4(2n  +  3)  =  76; 2n
 +  3  =  19; n  =  8.

Искомые числа: 17, 19 и 21.

702.Пусть
первоначальная длина прямоугольника была х см, тогда его ширина была
равна ^{70 2– x} =35– x (см),

2

а площадь  —  х(35  –  х) см².
Имеем уравнение

(x
 –  5)(35  –  x  +  5)  –  x(35  –  x)  =  50; x  = 
25.

703.Пусть
сторона квадрата равна х см, тогда стороны прямоугольника равны (х  + 
3) см и (х  –  2) см. Имеем уравнение

(x
 +  3)(x  –  2)  –  x²  =  30;  x  =  36.

708. г) a(p  –  q) 
+  q  –  p  =  a(p  –  q)  –  (p  –  q)  =  (p  –  q)(a 
–  1).

711. Ниже показан один из
возможных способов группировки одночленов:

б)    y⁵  –  y³  – 
y²  +  1  =  (y⁵  –  y³) 
–  (y²  –  1)  =  y³(y²  – 
1)  –  (y²  –  1)  =

=  (y²  –  1)(y³  – 
1);

г)    b⁶  –  3b⁴  – 
2b²  +  6  =  (b⁶  –  2b²) 
–  (3b⁴  –  6)  =  b²(b⁴  – 
2)  –  3(b⁴  –  2)  =

= (b⁴  –  2)(b²  – 
3);

з)    kn  –  mn  –  n²  + 
mk  =  (kn  +  mk)  –  (mn  +  n²)  =  k(n 
+  m)  –

–  n(m 
+  n)  =  (m  +  n)(k  –  n).

713. Предварительно разложим
многочлен на множители:

а)    p²q²
 +  pq  –  q³  –  p³  =  (p²q² 
–  p³)  –  (q³  –  pq)  =  p²(q²
 –  p)  – –  q(q²  –  p)  =  (q²
 –  p)(p²  –  q).

Если р  =  0,5, q  =  –0,5, то

(q²
 –  p)(p²  –  q)  =  (0,25  –  0,5)(0,25 
+  0,5)  = =  –0,25    0,75  =  –0,1875.

716.Ниже
показан один из возможных способов группировки.

б)   ax²  +  ay²  – 
bx²  –  by²  +  b  –  a  =  (ax²
 +  ay²  –  a)  –  (bx²  +  by²
 –  b)  =

=  a(x²  +  y²  – 
1)  –  b(x²  +  y²  –  1)  =  (x²
 +  y²  –  1)(a  –  b);

г)   xy²  –  by²
 –  ax  +  ab  +  y²  –  a  =  (xy²  – 
ax)  –  (by²  –  ab)  + +  (y²  – 
a)  =  x(y²  –  a)  –  b(y²
 –  a)  +  (y²  –  a)  =  (y²
 –  a)(x  –  b  +  1).

717.б)   x²  –  xy  + 
x  –  xy²  +  y³  –  y²  = 
(x²  –  xy²)  +  (x  –  y²) 
– –  (xy  –  y³)  =  x(x  –  y²)  + 
(x  –  y²)  –  y(x  –  y²)  =  (x 
–  y²)(x  –  y  +  1).

718.а)
Представим 6х как 5x  +  x:

x²  +  5x  +  x  + 
5  =  x(x  +  5)  +  (x  +  5)  =  (x  +  5)(x  + 
1);

б) представим –х как –3х  +  2x:

x²  –  3x  +  2x  – 
6  =  (x²  –  3x)  +  (2x  –  6)  =  x(x
 –  3)  +  2(x  –  3)  =

=  (x  –  3)(x  +  2);

в) представим –5а как –4a  –  a:

a²  –  4a  –  a  +  4  =  (a²
 –  4a)  –  (a  –  4)  =  a(a  –  4)  –  (a
 –  4)  =

=  (a  –  4)(a  –  1);

г) представим –6а как –8a  +  2a:

a²  –  8a  + 
2a  –  16  =  (a²  –  8a)  +  (2a  – 
16)  =  a(a  –    +  2(a  –    = =  (a  –  8)(a
 +  2).

Указания к дополнительным упражнениям учебника

780.   а)   (3⁵  –  3⁴)(3³
 +  3²)  =  3⁸  –  3⁷  +  3⁷  – 
3⁶  =  3⁸  –  3⁶  =

= 3⁶(3²  –  1)  =  3⁶   
8  =  3⁵    3    8  =  3⁵    24. Значение этого выражения
делится на 24;

б)   (2¹⁰  +  2⁸)(2⁵
 –  2³)  =  2¹⁵  +  2¹³  –  2¹³  – 
2¹¹  =  2¹⁵  –  2¹¹  = =  2¹¹(2⁴
 –  1)  =  2¹¹    15  =  2⁹    4    15  =  2⁹   
60. Значение этого выражения делится на 60;

в)   (16³  –  8³)(4³
 +  2³)  =  (2¹²  –  2⁹)(2⁶  + 
2³)  =  2¹⁸  –  2¹⁵  +  2¹⁵  –  2¹²
= =  2¹⁸  –  2¹²  =  2¹²(64  –  1)  =  2¹²   
63. Значение этого выражения делится на 63;

г)   (125²  +  25²)(5²
 –  1) =  (5⁶  +  5⁴)(5²  –  1)  =  5⁸
 +  5⁶  –  5⁶  –  5⁴   = =  5⁸  – 
5⁴  =  5⁴(5⁴  –  1)  =  5⁴    624.
Значение этого выражения делится на 39, так как 624 делится на 39.

781.                  
б) m³  +  n³  –  (m²
 –  2mn  –  n²)(m  –  n)  =

=  m³  +  n³  –  (m³
 –  2m²n  –  mn²  –  m²n
 +  2mn²  +  n³)  =

=  m³  +  n³  – 
(m³  –  3m²n  +  mn²  +  n³) 
=

=  m³  +  n³  –  m³
 +  3m²n  –  mn²  –  n³
 =  3m²n  –  mn²  =  mn(3m 
–  n).

Если т  =  –3, п  = 
4, то mn(3m  –  n)  =  (–3)    4    (–9  –  4)  = =  (–12)   
(–13)  =  156.

782.                  
б) (x²  –  3x  +  2)(2x  + 
5)  –  (2x²  +  7x  +  17)(x  –  4)  =  2x³
 – –  6x²  +  4x  +  5x²  – 
15x  +  10  –  (2x³  +  7x²  +  17x
 –  8x²  –  28x  –  68)  = =  2x³  – 
x²  –  11x  +  10  –  2x³  +  x²
 +  11x  +  68  =  78 при любом значении переменной х.

784.Пусть
наименьшее из искомых натуральных чисел равно п, тогда следующие
натуральные числа имеют вид

п  +  1, п  +  2 и п  +  3. Имеем
уравнение

(n  + 
2)(n  +  3)  –  n(n  +  1)  =  38;  n  =  8.

Искомые числа: 8, 9, 10 и 11.

785.а)
Пусть п  —  наименьшее из четырёх последовательных целых чисел, тогда
следующие числа имеют вид п  +  1, п  +  2 и п  +  3.

Преобразуем разность между
произведением средних и произведением крайних чисел:

(п
 +  1)(п  +  2)  –  п(п  +  3)   =  п²  + 
п  +  2п  +  2  –  п²  –  3п  =  2,

т.  е. первое произведение на 2 больше второго.

б) Пусть наименьшее из трёх
нечётных чисел равно 2п  +  1, тогда последующие нечётные числа имеют
вид

2п  +  3 и 2п  +  5.

Преобразуем разность между (2п  +  3)² и
произведением

(2п  +  1)(2п  +  5):

(2n  +  3)²  – 
(2n  +  1)(2n  +  5)  =  (2n  +  3)(2n  +  3)  – 
(2n  +  1)(2n  +  5)  = =  4n²  +  6n  + 
6n  +  9  –  4n²  –  2n  –  10n  –  5 
=  4.

Значит, квадрат числа 2п  + 
3 на 4 больше произведения чисел 2п  +  1 и 2п  +  5.

789. Пусть ширина первоначального
прямоугольника равна х см, тогда его длина равна (15  –  х) см.
Имеем уравнение

x(15 
–  x)  –  (x  +  5)(12  –  x)  =  8;  x  =  8,5.

Площадь первоначального прямоугольника равна

8,5   
(15  –  8,5)  =  55,25 (см²).

791.    е)   2x³  +  xy²
 –  2x²y  –  y³  =  (2x³  + 
xy²)  –  (2x²y  +  y³)  =

=  x(2x²  +  y²) 
–  y(2x²  +  y²)  =  (2x²
 +  y²)(x  –  y);

ж)   16ab²  –  10c³
 +  32ac²  –  5b²c  =  (16ab²
 +  32ac²)  – –  (10c³  +  5b²c) 
=  16a(b²  +  2c²)  –  5c(b²
 +  2c²)  =  (b²  +  2c²) 
    (16a  –  5c);

з)    6a³  –  21a²b
 +  2ab²  –  7b³  =  (6a³  + 
2ab²)  –  (21a²b  +  7b³) 
= =  2a(3a²  +  b²)  –  7b(3a²
 +  b²)  =  (3a²  +  b²)(2a
 –  7b).

793.Для
разложения на множители данных многочленов представим средний член в виде суммы
или разности некоторых одночленов.

а) x² –  10x  +  24  =  x²
–  6x  –  4x  +  24  =  x(x  –  6)  –  4(x
 –  6)  =

=  (x  –  6)(x  –  4);

б) x²  –  13x  +  40  =  x²
 –  8x  –  5x  +  40;

в) x²  +  8x  +  7  =  x²
 +  7x  +  x  +  7;

г) x²  +  15x  +  54  =  x²
 +  6x  +  9x  +  54;

д) x²  +  x  –  12  =  x²
 +  4x – 3x  –  12;

е) x²  –  2x  –  35  =  x²
 –  7x  +  5x  –  35.

794.а)
Подставим вместо x выражение 2a  –  3:

a(x
 +  6)  +  x(x  –  3a)  =  a(2a  –  3 
+  6)  +  (2a  –  3)(2a  –  3  –  3a)  =

=  a(2a  +  3)  +  (2a  –  3)(–a
 –  3)  =  2a²  +  3a  –  2a²  + 
3a  –  6a  +  9  =  9.

б) Подставим вместо x выражение a  + 
3:

x(x  –  3a)  +  a(a  + 
x)  +  4  =  (a  +  3)(a  +  3  –  3a)  +  a(a 
+  a  +  3)  +  4  =

=  (a
 +  3)(3  –  2a)  +  a(2a  +  3)  +  4  =

=  3a
 +  9  –  2a²  –  6a  +  2a²  + 
3a  +  4  =  13.

795.б)
Преобразуем левую и правую части равенства:

(a²
 +  3a)(a²  +  3a  +  2)  =  a⁴
 +  3a³  +  3a³  +  9a²  + 
2a²  +  6a  =

=  a⁴
 +  6a³  +  11a²  +  6a;

a(a
 +  1)(a  +  2)(a  +  3)  =  (a²  +  a)(a²
 +  2a  +  3a  +  6)  = =  (a²  +  a)(a²
 +  5a  +  6)  =  a⁴  +  a³  + 
5a³  +  5a²  +  6a²  +  6a
 = =  a⁴  +  6a³  +  11a²  + 
6a.

Левая и правая части равенства
тождественно равны одному и тому же выражению, следовательно, данное равенство
является тождеством.

г) (c⁴  –  c²
 +  1)(c⁴  +  c²  +  1)  =  c⁸
 –  c⁶  +  c⁴  +  c⁶  – 
c⁴  +  c²  +  c⁴  –  c²+
+  1  =  c⁸  +  c⁴  +  1.

796.В
данном произведении множитель х³ будут содержать члены,
полученные при умножении х³ на а и 4х² на
х, т.  е. члены ах³ и 4х³.
Произведение равно многочлену, не содержащему х³, если 4  +  а
 =  0, т.  е. а  =  –4.

797.(10a 
+  b)(10a  +  c)  =  100a²  +  10ab  +  10ac
 +  bc  =  100a²  + +  10a(b  +  c) 
+  bc. При b  +  c  =  10 получаем 100a²  + 
100a  + +  bc  =  100a(a  +  1)  +  bc.

798.а)
(a  +  c)(b  +  c)  +  (a  –  c)(b  –  c)  =  ab 
+  bc  +  ac  +  c²  +  ab  – –  bc  –  ac  +  c²
 =  2ab  +  2c²  =  2(ab  +  c²).
Это произведение тождественно равно нулю, так как ab  +  c²  = 
0;

б) (a  +  1)(b  + 
1)  –  (a  –  1)(b  –  1)  =  ab  +  b  +  a  +  1  –  ab 
+  b  +  a  – –  1  =  2a  +  2b  =  2(a  +  b). Если a 
+  b  =  9, то 2(a  +  b)  =  18.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 26

7. Допустим, что в
зрительном зале до ремонта было х рядов, тогда число кресел в каждом
ряду было 2x, а общее число мест в зрительном зале было 2х².
После ремонта общее число мест стало (х  +  2)(2х  +  3). Имеем
уравнение

(х  + 
2)(2х  +  3)  –  2х²  =  146;  x  =  20.

13. Пусть наименьшее из
искомых чисел равно п, тогда следующие числа имеют вид п  +  1 и п
 +  2. Имеем уравнение

(n
 +  2)²  –  n(n  +  1)  =  25;  n  =  7.

Искомые числа: 7, 8 и 9.

15. Пусть а  — 
коэффициент при х⁴ в данном произведении многочленов; а  = 
4    0,2  –   –  20М. По условию этот коэффициент равен
2,8. Имеем уравнение

4   
0,2  –   – 
20М  =  2,8;  М  =  –.

18. Пусть ширина участка
земли равна х м, тогда его длина составляет (х  +  10) м, а
площадь  —  х(х  +  10) м². Имеем уравнение

(x  + 
3)(x  +  13)  =  x(x  +  10)  +  159; x  =  20.

Длина забора была равна 2(20  +  30), т.  е. равна
100 м.

П у н к т 27

9. Преобразуем данный
многочлен, разложив его на множители:

6a²
 –  5a  –  6ab  +  5b  =  (6a²  – 
6ab)  –  (5a  –  5b) =

= 6a(a 
–  b)  –  5(a  –  b)  =  (a  –  b)(6a  –  5).

Значение этого произведения кратно
11, так как один из множителей (a  –  b) делится на 11.

11.                     
5n  + 
5n  +  2  –  3n  +  3  +  3n  =  (5n  +  5n  +  2) 
–  (3n  +  3  –  3n)  = =  5ⁿ(1 
+  5²)  –  3ⁿ(3³  –  1)  =  5ⁿ   
26  –  3ⁿ    26  =  26    (5ⁿ  –  3ⁿ).

12.                     
б)  24abx²  –  6ax²  – 
28b²x  +  7bx  =  (24abx²  – 
6ax²)  –

–  (28b²x  –  7bx)  = 
6ax²(4b  –  1)  –  7bx(4b  –  1)  =  (4b
 –  1)      (6ax²  –  7bx)  =  x(4b  – 
1)(6ax  –  7b).

13.  а)  y^{n  + 
2}  –  3yⁿ  +  y²  –  3  =  (y^{n  + 
2}  –  3yⁿ)  +  (y²  –  3)  =

=  yⁿ(y²  –  3) 
+  (y²  –  3)  =  (y²  –  3)(yⁿ  + 
1);

б)  bx^{n  – 
1}  +  5xⁿ  –  ab  –  5ax  =  x^{n  – 
1}(b  +  5x)  –  a(b  +  5x)  = =  (b
 +  5x)(x^{n  –  1}  –  a).

Для тех, кто хочет знать больше

Пункт 31. Деление с остатком

Методический комментарий

Начальные сведения о делении с
остатком учащиеся получили в младших классах, где рассматривалось деление
натурального числа на натуральное. В данном пункте сведения о делении с
остатком расширяются. Учащиеся знакомятся со случаем, когда выполняется деление
с остатком целого числа на натуральное число.

Важно обратить внимание учащихся на
то, что при делении с остатком целого числа на натуральное число частное
выбирается так, чтобы полученный остаток был натуральным числом. Например,

–17 
=  9    (–2)  +  1,  –46  =  9    (–6)  +  8,  –130  =  9    (–15)  +  5.

Учащиеся узнают, что для любого
целого числа a и натурального числа b существует единственная
пара целых чисел q и r, таких, что a  =  bq  +  r,
где 0    r    b.

Для доказательства справедливости
этого утверждения используется изображение чисел на координатной прямой. Важно
обратить внимание учащихся на то, что на делении с остатком основаны различные
разбиения множества целых чисел на классы, т. е. на подмножества, не имеющие
общих элементов.

Материал, включённый в данный
пункт, является достаточно сложным для учащихся. В связи с этим изучение этого
пункта можно провести в форме факультативного занятия, на котором учитель
ознакомит учащихся, интересующихся математикой, с соответствующим теоретическим
материалом.

Выслушав объяснения учителя,
учащиеся смогут приступить к выполнению соответствующих упражнений.

В систему упражнений,
представленных в данном пункте, включены разнообразные задания, требующие от
учащихся определённых рассуждений, обобщений, проявления сообразительности.
Учащихся, увлечённых математикой, безусловно, заинтересует задание 725,
в котором предлагается указать наибольшее число воскресений в году, а также
задание 729, в котором требуется определить, верно ли утверждение, что
при любых целых значениях a и b произведение

ab(a 
+  b)(a  –  b)

делится на 3, и некоторые другие задания.

Решение включённых в данный пункт
усложнённых задач благоприятно скажется на дальнейшем продвижении учащихся,
интересующихся математикой, в достижении высоких результатов обучения.

Указания к упражнениям учебника

722.а)  
138  =  7    19  +  5; б)  –16  =  5    (–4)  +  4;

в)  –4  =  5    (–1)  +  1.

723.По условию x  –  1  =  11p,
x < 0. Значит, x  =  –10.

724.По
условию имеем а  =  7b  +  3, где b  —  целое число и –12 
<  a  <  12. Подбором находим, что b равно одному из чисел
–2, –1, 0 или 1.

725.Наибольшее
число дней в году  —  366 (високосный год). Так как 366 : 7  =  52 (2 ост.), то
наибольшее число воскресений в году может быть равно 52  +  1, т.  е. 53.

726.Из
условия следует, что m  =  35k  +  15. Из свойства делимости
суммы следует, что число т делится на 5 и число т не делится на
7.

727.Не
могут. Действительно, если b и c  —  нечётные числа, то их
произведение bc является нечётным числом. Так как a  =  bc  +  d,
то при нечётном d число а является суммой двух нечётных чисел, и,
следовательно, а  —  число чётное.

728.Пусть
число а имеет вид 3m  +  2, а число b  —  3k  +  1,
где т и k  —  целые числа. Тогда

ab 
+  1  =  (3m  +  2)(3k  +  1)  +  1  =  9mk  +  6k  + 
3m  +  2  +  1  = =  3(3mk  +  2k  +  m  +  1).

Из свойства делимости произведения
вытекает, что значение выражения ab  +  1 делится на 3.

729.Если
одно из чисел а или b делится на 3, то произведение ab(a 
+  b)(a  –  b) делится на 3. Если числа а и b не
делятся на 3 и при делении на 3 дают одинаковые остатки, значит, их разность
делится на 3 и делится на 3 выражение ab(a  +  b)(a  –  b).
Если числа а и b не делятся на 3 и при делении на 3 дают разные
остатки, то их сумма делится на 3 и потому выражение ab(a  +  b)(a 
–  b) делится на 3.

730.Из
равенства a  =  12b  +  5, где b  —  целое число, следует,
что a  =  12b  +  4  +  1, значит, при делении числа а на
4 получится остаток 1.

731.Пусть
а  =  9т  +  7, b  =  9n  +  5, где т и п
 —  целые числа. Тогда

ab
 =  (9m  +  7)(9n  +  5)  =  81mn  +  63n  + 
45m  +  35  = =  9(9mn  +  7n  +  5m  +  3)  +  8.

При
делении произведения ab на 9 получится остаток 8.

732.Данное
число равно 5р  +  1 и 7k  +  1, причём р  =  k  + 
4. Отсюда р  =  14, k  =  10. Искомое число: 5    14  +  1  = 
71.

733.Множество
натуральных чисел можно разбить на шесть классов: числа вида 6k, 6k  + 
1, 6k  +  2, 6k  +  3, 6k  +  4 и 6k  +  5, где k
 —  целое число.

Если п  =  6k, то
произведение п(2п  +  1)(7п  +  1) делится на 6, так как
первый множитель делится на 6. Если n  =  6k  +  1, то
произведение имеет вид

(6k
 +  1)(12k  +  3)(42k  + 

и делится на 6, так как второй множитель делится на 3,
а третий  —  на 2.

Аналогично рассуждаем в остальных случаях.

Формулы сокращённого умножения

§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
32 33	Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности	3(3) 2(3)

Содержание материала

Формулы квадрата суммы и квадрата
разности двух выражений: (a  +  b)²  =  a²  + 
2ab  +  b², (a  –  b)²  =  a²  – 
2ab  +  b², их

применение в преобразованиях выражений, при
доказательстве тождеств и решении уравнений. Использование формул a²
 +  2ab  +  b²  =  (a  +  b)² и a²
 –  2ab  +  b²  =  (a  –  b)² для
представления выражения вида a²    2ab  +  b²
в виде квадрата двучлена. Формулы куба суммы и куба разности двух выражений: (a 
+  b)³  =  a³  +  3a²b  + 
3ab²  +  b³, (a  –  b)³  = 
a³  –

–  3a²b  +  3ab²
 –  b³, их применение для преобразования в многочлен
выражений вида (a  +  b)³, (a  –  b)³.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с формулами квадрата суммы и
квадрата разности двух выражений: (a  +  b)²  =  a²
 + +  2ab  +  b², (a  –  b)²  =  a²
 –  2ab  +  b², сформировать умение использовать эти
формулы для упрощения выражений, доказательства тождеств, решения уравнений, а
также выработать умение представлять выражение a²    2ab  + 
b² в виде квадрата двучлена.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного параграфа
формируются умения учащихся доказывать справедливость формул (a    b)²
 = =  a²    2ab  +  b², применять эти
формулы для преобразования в многочлен квадрата суммы или квадрата разности
двух

выражений, использовать равенства a²    2ab 
+  b²  =  (a    b)² для
представления трёхчлена a²    2ab  +  b² в
виде квадрата суммы a  +  b или квадрата разности a  –  b,
применять изученные формулы при упрощении выражений, доказательстве тождеств,
решении уравнений, задач на делимость и т. п. Учащиеся овладевают также умением
использовать формулы куба суммы и куба разности двух выражений в простейших
ситуациях.

Методический комментарий

В главе V «Формулы сокращённого
умножения» продолжается формирование умений выполнять преобразование целых
выражений, начатое в предшествующих главах. Формируемые здесь умения
используются в действиях с алгебраическими дробями, в преобразованиях
квадратных корней и корней n-й степени. Они также находят широкое
применение при решении уравнений и неравенств с одной переменной, систем
уравнений с двумя переменными, исследовании функций и т. п. В связи с этим
необходимо добиваться усвоения материала, представленного в данной главе, всеми
учащимися.

Изучение
§ 12 «Квадрат суммы и квадрат разности» на-

чинается с вывода формул (a  +  b)²  = 
a²  +  2ab  +  b² и (a  –  b)²  =
=  a²  –  2ab  +  b² и ознакомления
учащихся с соответствующими словесными формулировками. Полезно рассказать
учащимся, что справедливость равенства (a  +  b)²  =  a²
 +  2ab  +  b²

при положительных значениях a и b была
доказана геометрически в «Началах» Евклида ещё в III в. до н. э., и рассмотреть
с ними приведённый в учебнике рисунок 70.

Система упражнений в пункте 32
начинается с заданий 799—811, направленных на непосредственное
применение формул (a    b)²  =  a² 
  2ab  +  b². Правильность выполнения этих
заданий является необходимым условием для перехода к упражнениям 812—826,
в которых эти формулы применяются в усложнённых ситуациях.

При изучении данного пункта
учащиеся знакомятся также с формулами куба суммы и куба разности двух
выражений. В связи с тем что эти формулы сложны и не находят применения в
последующих темах, от учащихся можно не требовать их запоминания, а при
выполнении соответствующих упражнений 827—829 разрешить
пользоваться учебником или записями в тетрадях.

Изучение § 12 «Квадрат суммы и
квадрат разности» завершает пункт 33, в котором учащиеся знакомятся с
применением формул квадрата суммы и квадрата разности для разложения
многочленов на множители. Необходимо иметь

в виду, что замена трёхчленов a²  + 
2ab  +  b² и a²  –  2ab  +  b² соответственно
выражениями (a  +  b)² и (a  –  b)² широко
используется при решении многих задач, например при упрощении выражений,
доказательстве тождеств, исследовании функций и т. п.

Система упражнений в пункте 33
начинается с простейших заданий 833—835, в которых учащимся предлагается
представить каждый из заданных квадратных трёхчленов в виде квадрата двучлена.
При выполнении этих упражнений можно порекомендовать учащимся сначала
определить, квадраты каких выражений входят в качестве слагаемых в данный
трёхчлен, а затем проверить, является ли третий член удвоенным произведением
этих выражений или выражением, ему противоположным. Далее учащиеся приступают к
заданиям 836—838 на восстановление пропущенных членов трёхчлена.
Заметим, что при выполнении подобных упражнений учителю не следует спешить с
подсказкой, предоставляя учащимся возможность самостоятельно найти пропущенные
члены многочленов. Интерес для учащихся представляют включённые в данный пункт
упражнения 847, 848, в которых приходится выделять из многочлена
слагаемое, тождественно равное квадрату некоторого двучлена. Из дополнительных
упражнений к § 12 рекомендуется обратить внимание на задания 966, 970,
связанные с более сложными преобразованиями по сравнению с упражнениями,
представленными в пунктах 32 и 33.

В заключение отметим, что при
изучении главы V важную роль играет формирование у учащихся понимания структуры
выражений, свободного владения используемой терминологией. С этой целью
рекомендуется систематически предлагать учащимся устные упражнения следующих
типов:

1.       Найдите
сумму квадратов чисел 5 и –1; квадрат суммы этих чисел.

2.       Вычислите
значение выражения (–6  –  1)²; (–6)²  –  (–1)²;
–6  –  (–1)³.

3.       Найдите
значение выражения a²  +  2ab  +  b² при а
 =  –1, b  =  –3; при а  =  3, b  =  –4.

4.       Прочитайте
выражение, используя термины «сумма квадратов», «квадрат суммы», «куб суммы»,
«удвоенное произведение» и т. п.: a²  +  b²,
(m  +  n)², 2pq, (p  –  3q)²,
3x²y,

(x²  +  y²)².

5.       Закончите
фразу: «Квадрат суммы двух выражений равен…» или «Квадрат разности двух
выражений равен…».

Подобные задания можно записать на
карточках и предлагать учащимся, закончившим работу на доске, открыть одну из
карточек и выполнить записанное на ней задание. Использование этих карточек
поможет учащимся овладеть вводимой терминологией, запомнить соответствующие
формулы и научиться свободно оперировать ими.

Указания
к основным упражнениям учебника 802. Преобразуем левую и правую
части равенства:

n²  +  (n  +  2)²
 +  (n  +  9)²  =  n²  +  n²
 +  4n  +  4  +  n²  +  18n  +  81  = = 
3n²  +  22n  +  85;

(n  –  1)²  +  (n
 +  5)²  +  (n  +  7)²  +  10  =  n²
 –  2n  +  1  +  n²  +  10n  + +  25  +  n²
 +  14n  +  49  +  10  =  3n²  +  22n  + 
85.

Получили одно и то же выражение.
Значит, исходное равенство верно при любом n.

806. а) Выражению (x  +  y)² тождественно
равны (y  +  x)²

и (–x  –  y)²;

б)
выражению                 (x  –  y)² тождественно          равны
      (y  –  x)²,

(–y  +  x)²
и (–x  +  y)².

810. г) 199²  =  (200  –  1)²  = 
40  000  –  400  +  1  =  39  601;

з) 10,2²  =  (10  +  0,2)²  = 
100  +  0,04  +  4  =  104,04.

815. в) 121  –  (11  –  9x)²  = 
121  –  (121  –  198x  +  81x²)  =  121 –

–   121  +  198x
 –  81x²  =  198x  –  81x²;

е)     a⁴  – 
81  –  (a²  +  9)²  =  a⁴  – 
81  –  (a⁴  +  18a²  +  81)  =  a⁴ 
–  81  – –  a⁴  –  18a²  –  81  =  –18a²
 –  162.

817.                  
д)   (a  +  3)(5  –  a)  –  (a  –  1)²
 =  5a  +  15  –  a²  –  3a  –

–   (a²
 –  2a  +  1)  =  15  –  a²  +  2a  –  a²
 +  2a  –  1  =  –2a²  +  4a  +  14;

е)   (5  +  2y)(y  – 
3)  –  (5  –  2y)²  =  5y  +  2y²  – 
15  –  6y  – –  (25  –  20y  +  4y²)  =  2y²
 –  y  –  15  –  25  +  20y  –  4y²  = = 
–2y²  +  19y  –  40.

818.                  
a)            (x  –  10)²  –  x(x
 +  80)  =  x²  –  20x  +  100  –  x²  – 
80x  = =  100  –  100x. Если x  =  0,97, то 100  –  100x
 =  100  –  97  =  3.

в)   (2x  +  0,5) ²  –  (2x  – 
0,5) ²  =  4x ²  +  2x  +  0,25  –

–   (4x² 
–  2x  +  0,25)  =  4x²  +  2x  +  0,25  –  4x²
 +  2x  –  0,25  =  4x.

Если x  =  –3,5, то 4х  =  4    (–3,5) 
=  –14.

823.         б)
         6x(x²  +  5x)²  =  6x(x⁴
 +  10x³  +  25x²)  =  6x⁵
 +  60x⁴  +

+  150x³;

в) (a  +  2)(a  –  1)²
 =  (a  +  2)(a²  –  2a  +  1)  =  a³
 +  2a²  –  2a²  –  4a  + +  a
 +  2  =  a³  –  3a  +  2.

825.     
Преобразуем левую и правую части равенства:

(a²  +  b²)(c²
 +  d²)  =  a²c²  + 
b²c²  +  a²d²
 +  b²d²;

(ac  +  bd)²  + 
(ad  –  bc)²  =  a²c²  + 
2acbd  +  b²d²  +  a²d²
 –  2adbc  +

+  b²c²  = 
a²c²  +  b²c²
 +  a²d²  +  b²d².

826.     
Составим и решим уравнение:

а) (x  +  1)²  –  (x  – 
3)²  =  120;  x²  +  2x  +  1  –  x²
 +  6x  –  9  =  120;

x  =  16;

б) (2x  +  10)²  =  4(x  – 
5)²; 4x²  +  40x  +  100  =  4x²
 –  40x  +  100;

x  =  0.

829. а) (x  +  3)³
 –  (x  –  3)³  =  x³  +  9x²
 +  27x  +  27  –  x³  +  9x²  –
–  27x  +  27  =  18x²  +  54;

б)    (a  –  2b)³
 +  6ab(a  –  2b)  =  a³  –  6a²b
 +  12ab²  –  8b³  +  6a²b
 – –  12ab²  =  a³  –  8b³.

837.а)
Пусть первый член двучлена равен x. Из условия 12ab  =  2    x   
2a находим, что x  =  3b. Получаем тождество (3b  + 
2a)²  =  9b²  +  12ab  +  4a².

б) Пусть второй член двучлена равен
a. Из условия а²  =  49у² находим,
что а  =  7у или а  =  –7у. Получаем два тождества:

(3x
 +  7y)²  =  9x²  +  42xy  +  49y²;

(3x
 –  7y)²  =  9x²  +  (–42)xy  + 
49y².

838.в)
Пусть 16x²  +  24xy  +  *  =  (4x  +  a)².
Из условия 24xy  =  2    4    x    a находим, что a  = 
3y. Значит, знак * надо заменить одночленом 9y².

г) Пусть *  –   42pq  +  49q²
 =  (x  –  7q)². Из условия –42pq  = = 
–2    x    7q находим, что x  =  3p. Значит, знак *
надо заменить одночленом 9р².

839.г)
–44ax  +  121a²  +  4x²  =  (11a  – 
2x)²;

д) 4cd  –  25c²  –  0,16d²
 =  –(25c²  –  4cd  +  0,16d²) 
=  –(5c  –  0,4d)²;

е) –0,49x²  –  1,4xy  –  y²
 =  –(0,49x²  +  1,4xy  +  y²)  = 
–(0,7x  +  y)².

840.Предварительно
представим трёхчлен в виде квадрата двучлена.

а) y²  –  2y  +  1  =  (y
 –  1)².

Если y  =  101, то (y  – 
1)²  =  (101  –  1)²  =  10  000; если у  =  0,6,
то (y  –  1)²  =  (0,6  –  1)²  =  (–0,4)²  = 
0,16.

841.б)
Утверждение неверно, так как х²  +  20х  +  100  = = 
(х  +  10)² и значение этого выражения при х  =  –10
равно нулю.

843.     
в) –x²  –  4x  –  4    0, так как

–x²
 –  4x  –  4  =  –(x²  +  4x  +  4)  = 
–(x  +  2)²;

г) –x²  +  18x  –  81    0,
так как

–x²
 +  18x  –  81  =  –(x²  –  18x  +  81) 
=  –(x  –  9)².

844.     
г)
19x2 + xy+ 251 y2 = жзиз13x+ 15yцччш2;

д) 100b²  +  9c²  – 
60bc  =  (10b  –  3c)².

В заданиях «в» и «е» представить
выражение в виде квадрата двучлена невозможно.

846. а) 4a⁶  –  4a³b²
 +  b⁴  =  (2a³  –  b²)²
 =  (2a³  –  b²)(2a³ 
–  b²);

⁸  – 
a²b⁴  +  ¹a⁴ = ж_ззb4 – 1a2цч_ч2 = жз_зb4 – 1a b2_чцчжз_з 4 – 1a2ч_чц.

б) b

                                       4           и          2     ш       и          2     ши          2     ш

848. б) 4y²  –  4y  + 
6  =  4y²  –  4y  +  1  +  5  =  (2y  –  1)²
 +  5;

(2у  –  1)²    0 при любом значении у,
следовательно, (2y  –  1)²  +

+  5  >  0;

г) 9x²  +  4  – 
6xy  +  4y²  =  (9x²  –  6xy  + 
y²)  +  3y²  +  4  =  (3x  –  y)²
 + +  3y²  +  4;

(3х  –  у)²    0 и 3у²   
0 при любых значениях х и у, следовательно, (3х  –  у)² 
+  3у²  +  4  >  0.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

966.            
(a  +  b  +  c)²  =  ((a  +  b)  +  c)² 
=  (a  +  b)²  +  2(a  +  b)c  +  c²
= =  a²  +  2ab  +  b²  +  2ac  +  2bc 
+  c²  =  a²  +  b²  +  c²
 +  2ab  +  2ac  +  2bc.

967.            
б) (x  +  9)²  +  (8  –  x)(x  + 
26)  =  x²  +  18x  +  81  +  8x  –  x²  +

+  208  –  26x  =  289 при любом значении х.

968.            
а) (3x  +  1)³  =  27x²(x
 +  1)  +  8x  +  2;

27x³  +  27x²  + 
9x  +  1  =  27x³  +  27x²  +  8x
 +  2;  x  =  1;

б) 4x²(2x  +  9)  =  (2x  + 
3)³  +  12(3x  +  1);

8x³  +  36x²  =  8x³
 +  36x²  +  54x  +  27  +  36x  +  12; 
90x  +  39  =  0; x=–.

970. ж) y  –  y²  – 
0,25  =  –(y²  –  y  +  0,25)  =  –(y  –  0,5)²;

                                     2         ж        1     ц2

з) 9–m+                 m = з_зи3– ₆mч_чш ;

и) –25  –  2n  –  0,04n²  = 
–(5  +  0,2n)².

Указания к упражнениям из рабочей тетради П у н к т 28

2

4.        б)
^{(417 3 94,} ₂^{– , )}₂
<1, так                            как
            (4,17  –  3,94)²  =  4,17²  –

                      417,    +3 94,

–  2    4,17    3,94  +  3,94²  <  4,17²
 +  3,94².

9. б) Пусть первый член двучлена равен у.
Из условия

–10ax  =  –2y    x находим, что y
 =  5a. Тождество имеет вид

(5a 
–  x)²  =  25a²  –  10ax  +  x².

11.    Пусть
а  —  целое число, не кратное 3. Тогда оно может иметь вид 3k  + 
1 или 3k  +  2, где k  —  целое число.

Если a  =  3k  +  1,
то a²  –  1  =  (3k  +  1)²  –  1  =  9k²
 +  6k  +  1  –  1  = =  9k²  +  6k  = 
3(3k²  +  2k). Это число кратно 3.

Если a  =  3k  +  2,
то a²  –  1  =  (3k  +  2)²  –  1  =  9k²
 +  12k  +  4  – –  1  =  9k²  +  12k  + 
3  =  3(3k²  +  4k  +  1). Это число кратно 3.

12.    Пусть
х см  —  сторона большего квадрата, тогда сторона меньшего квадрата
равна (30  –  х) см, а площади квадратов равны соответственно х²
см² и (30  –  х)² см². Имеем
уравнение

х²
 –  (30  –  х)²  =  180; х  =  18.

Стороны квадратов 18 см и 12 см.

14. а) (3xⁿ  +  2yⁿ)²
 –  12(xy)ⁿ  =  9x²ⁿ  + 
12xⁿyⁿ  +  4y²ⁿ  –  12xⁿyⁿ
 =

=  9x²ⁿ  +  4y²ⁿ,
где n  —  натуральное число;

        б)
        (0,5a2n  + 
1  –  b2n  + 
1)2  +  (ab)2n  +  1  =  0,25a4n  +  2  –  a2n  +  1b2n  +  1  +

+  b4n  +  2 +  a2n  +  1b2n  +  1  =  0,25a4n  +  2  +  b4n  +  2, где n  — 
натуральное число.

П у н к т 29

8.       a²
 –  5a  –  2ab  +  b²  +  5b  =  (a²
 –  2ab  +  b²)  –  (5a  –  5b)  =  (a 
–  b)²  – – 5(a  –  b)  =  (a  –  b)(a  – 
b  –  5)  =  7    (7  –  5)  =  14.

9.       а)
x⁴  –  2x²y³  +  a⁸
 +  y⁶  =  (x⁴  –  2x²y³
 +  y⁶)  +  a⁸  =  (x²  – 
y³)²  +

+  (a⁴)²;

б) a¹²  +  b¹⁶  – 
2a⁶b⁸  –  c²⁴  =  (a⁶
 –  b⁸)²  –  (c¹²)².

10.    a(a
 +  6)  +  b(b  +  6)  +  2ab  =  a²  + 
6a  +  b²  +  6b  +  2ab  = =  (a²
 +  2ab  +  b²)  +  6(a  +  b)  =  (a  +  b)²
 +  6(a  +  b)  =  8²  +  6    8  =  112.

12.                     
б) Утверждение неверно, так как 9m²  + 
100  –  60m  = =  (3m  –  10)² и значение этого
выражения при т  =   равно нулю.

13.                     
а) a²  +  b²  =  a²
 +  2ab  +  b²  –  2ab  =  (a  +  b)²
 –  2ab  =  p²  –  2q;

б) (a  –  b)²  = 
a²  –  2ab  +  b²  =  a²  + 
2ab  +  b²  –  4ab  =  (a  +  b)² –
–  4ab  =  p²  –  4q.

§ 13. Разность квадратов. Сумма и
разность кубов

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
34 35 36	Умножение разности двух выражений на их сумму Разложение разности квадратов на множители Разложение на множители суммы и разности кубов Контрольная работа № 7	2(3) 2(3) 2(3) 1

Содержание материала

Формула (a  –  b)(a  +  b) 
=  a²  –  b², её использование для
представления произведения разности и суммы двух выражений в виде разности
квадратов этих выражений. Форму-

ла a²  –  b²  =  (a 
–  b)(a  +  b), её использование для разложения на множители
разности квадратов двух выражений. Фор-

мулы a³  +  b³  = 
(a  +  b)(a²  –  ab  +  b²), a³
 –  b³  =  (a  –  b)(a²  +  ab 
+  b²), их применение для разложения на множители суммы и
разности кубов двух выражений.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы выработать умение применять формулу (a  –  b) 
     (a  +  b)  =  a²  –  b² для
преобразования произведения двучленов a  –  b и a  +  b в
многочлен a²  –  b², а также использовать
формулу для разложения разности квадратов на множители. Сформировать
представление об использовании формул a³  +  b³  = 
(a  +  b)(a²  –  ab  +  b²) и a³
 –  b³  =  (a  –  b)(a²  +  ab 
+  b²) для разложения на множители суммы и разности кубов двух
выражений.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного материала
формируется умение учащихся представлять произведение разности и суммы двух
выражений в виде разности их квадратов, выполнять разложение на множители
разности квадратов двух выра-

жений, использовать формулы (a  –  b)(a  + 
b)  =  a²  –  b², a²  – 
b²  = =  (a  –  b)(a  +  b) для преобразования
выражений, решения уравнений и задач на делимость, выполнения вычислений.
Учащиеся овладевают умением применять формулы a³  +  b³
 =

=  (a  +  b)(a²  –  ab  + 
b²) и a³  –  b³  =  (a 
–  b)(a²  +  ab  +  b²) для разложения
на множители разности и суммы кубов в несложных ситуациях.

Методический комментарий

Формулы (a  –  b)(a  +  b) 
=  a²  –  b² и a²  –  b²
 =  (a  –  b)(a  +  b) широко используются в преобразовании
целых и дробных выражений, а также выражений, содержащих степени с целыми
показателями, квадратные корни и корни n-й степени. Эти формулы находят
применение при решении уравнений и неравенств с одной переменной, систем уравнений
с двумя переменными, при исследовании функций. Этим обусловлена необходимость
добиваться от всех учащихся знания данных формул и умения свободно оперировать
ими.

Изучение пункта 34 «Умножение
разности двух выражений на их сумму» начинается с вывода формулы

(a 
–  b)(a  +  b)  =  a²  –  b².

Учащиеся должны запомнить эту
формулу и соответствующую словесную формулировку. Важно обратить их внимание на
то, что уменьшаемое в разности квадратов a²  –  b²
определяется по первому члену, записанному в множителе a  –  b,
например:

(a  + 
3x)(3x  –  a)  =  9x²  –  a².

Упражнения, включённые в пункт 34,
можно разбить на три группы. Первую группу составляют простейшие задания 854—857,
направленные на формирование умения применять формулу (a  –  b)(a  + 
b)  =  a²  –  b² и запоминание
соответствующей словесной формулировки. Только убедившись в том, что учащиеся
безошибочно выполняют соответствующие преобразования и правильно воспроизводят
правило умножения разности двух выражений на их сумму, можно переходить к более
сложным заданиям 858— 868, в которых изученная формула и
соответствующая словесная формулировка используются в усложнённой ситуации. В
этой группе заданий учащихся обычно привлекает упражнение 858, в котором
предлагается вместо знака * вписать пропущенный одночлен, а также задания 860,
861, иллюстрирующие возможности применения изученной формулы для
упрощения вычислений. Особое внимание следует уделить упражнению 862, в
котором учащимся предлагается применить изученную формулу в усложнённой
ситуации. Третью группу составляют задания 869— 877, в которых
рассмотренные в пункте 34 преобразования используются в сочетании с различными
преобразованиями целых выражений, изученными ранее. Специально рекомендуется
остановиться на упражнении 874, предназначенном для работы в парах, и
обсудить с учащимися, в каком случае выбранные обозначения приводят к более
простым преобразованиям.

Далее учащиеся приступают к
изучению пункта 35 «Разложение разности квадратов на множители». Они знакомятся
с формулой

a²
 –  b²  =  (a  –  b)(a  +  b),

непосредственно следующей из формулы

(a 
–  b)(a  +  b)  =  a²  –  b²,

а также с соответствующей словесной формулировкой.
Следует отметить, что формула a²  –  b²  = 
(a  –  b)(a  +  b) используется в курсе алгебры при решении
широкого круга задач. Она находит применение в тождественных преобразованиях
целых и дробных выражений, выражений, содержащих квадратные корни и корни n-й
степени, а также при решении уравнений и неравенств с одной переменной, систем
уравнений с двумя переменными, при доказательстве тождеств и выполнении
вычислений.

Изучение материала пункта 35
строится по той же схеме, которая использовалась в пункте 34. Сначала
выполняются простейшие упражнения 883—888, в которых формула a²
 –  b²  =  (a  –  b)(a  +  b) находит
непосредственное примене-

ние. При работе с этими упражнениями в поле зрения
учителя постоянно должны находиться слабые учащиеся, так как без выработки
соответствующих умений они не смогут успешно продолжать изучение курса алгебры.
Следующий блок упражнений 889—900 содержит задания, в которых
формула a²  –  b²  =  (a  –  b)(a 
+  b) применяется для разложения выражений на множители в более сложных
ситуациях, в частности для решения уравнений, доказательства тождеств,
исследования вопроса о делимости значения выражения. Завершает этот блок
заданий задача- исследование 900, в которой предлагается обсудить вопрос
о делимости на 12 значения выражения p²  –  1, где р  — 
простое число. При выполнении подобных упражнений учащиеся убеждаются в
значимости приобретаемого ими умения выполнять разложение на множители разности
квадратов двух выражений.

В связи с тем что формулы (a  – 
b)(a  +  b)  =  a²  –  b² и a²
 –  b²  =  (a  –  b)(a  +  b) находят
широкое применение в курсе алгебры, рекомендуется при изучении материала § 13 и
14, а также последующих тем продолжить использование специальных
карточек-заданий. Закончив работу на доске, учащийся открывает одну из таких
карточек и выполняет устно записанное на ней задание. Примером могут служить
следующие задания:

1.       Закончите
фразу: «Разность квадратов двух выражений равна…».

2.       Разложите
на множители выражение 36  –  a²; 9p²  –  4m²;
81x²y²  –  1.

3.      
Представьте в виде разности квадратов произведение

(x  –  7y)(x  +  7y); (3a²
 +  b³)(b³  –  3a²).

4.  Вычислите
разность квадратов чисел 7 и 2 и квадрат разности этих чисел.

5.  Найдите значение
выражения 11²  –  9²; 46²  –  36².

При изучении пунктов 34 и 35
рекомендуется использовать дополнительные упражнения 972, 978, 984.

Завершает данный параграф пункт 36
«Разложение на множители суммы и разности кубов». Учащиеся знакомятся с
формулами

a³
 +  b³  =  (a  +  b)(a²  –  ab 
+  b²), a³  –  b³  =  (a 
–  b)(a²  +  ab  +  b²)

и соответствующими словесными формулировками. В связи
с тем что эти формулы находят значительно меньшее применение в курсе алгебры по
сравнению с другими формулами сокращённого умножения, рассмотренными в пунктах
34 и 35, можно не требовать от учащихся их запоминания и разрешить при
выполнении упражнений пользоваться учебником или записями в тетрадях. В систему
упражнений, представленных в пункте 36, включены лишь простейшие задания,
рассчитанные на прямое применение изучаемых формул, используемых для преобразования
суммы и разности кубов.

Дополнительные упражнения к данному
пункту 986— 988 носят дублирующий характер. Хорошо успевающим
учащимся можно предложить выполнить усложнённое задание 989.

Изучение § 13 рекомендуется
завершить уроком на подготовку к контрольной работе № 7, предложив учащимся
выполнить задания, аналогичные тем, которые будут включены в контрольную
работу.

Указания к основным упражнениям учебника

860. г)
201    199  =  (200  +  1)(200  –  1)  =  40  000  –  1  =  39  999; ж) 1,05   
0,95  =  (1  +  0,05)(1  –  0,05)  =  1  –  0,0025  =  0,9975. 861.             г)
            2,03    1,97  =  (2  +  0,03)(2  –  0,03)  =  4  –  0,0009                =

=  3,9991;

е) 29,8    30,2  =  (30  –  0,2)(30  +  0,2)  =  900 
–  0,04  =  899,96.

Можно предложить учащимся проверить
результаты, выполнив вычисления с помощью калькулятора.

865.б) з_зиж4– ¹₃b^цч_чш^жз_зи4+ ¹₃b^цч_чш =16– ¹₉b². Наибольшее
значение этого выражения равно 16 при b  =  0.

866.а)
(5a  –  0,2)(0,2  +  5a)  =  25a²  –  0,04.
Наименьшее зна- чение этого выражения равно –0,04 при а  =  0;
наибольшего значения не существует.

874.     (Для    
работы     в     парах.)          1)   19    20    21  +  20  =  20      (19 
  21  +  1)  =  20(399  +  1)  =  20    400  =  20    20²  =  20³.

2) Пусть р  —  наименьшее из
трёх целых чисел, тогда следующие за ним числа имеют вид р  +  1 и р  + 
2.

p(p  +  1)(p  +  2)  +  (p  + 
1)  =  (p  +  1)(p(p  +  2)  +  1)  =  (p  +  1)    

   (p²  +  2p  +  1)  =  (p
 +  1)(p  +  1)²  =  (p  +  1)³.

Рассмотрим другой способ решения.

Пусть р  —  среднее из трёх
целых чисел, тогда остальные числа имеют вид p  –  1 и p  +  1.

(p  –  1)p(p  +  1)  +  p  = 
p((p  –  1)(p  +  1)  +  1)  =  p(p²  – 
1  +  1)  =

=  p p²  =  p³.

Во втором случае преобразования оказываются проще.

875.    в)    (8p  –  q)(q  +  8p) 
–  (p  +  q)(p  –  q)  =  (64p²  –  q²) 
–  (p²  –  q²)  =

=  64p²  –  q²  – 
p²  +  q²  =  63p²;

г)    (2x  –  7y)(2x
 +  7y)  +  (2x  –  7y)(7y  –  2x)  = 
(2x  –  7y)      (2x  +  7y  +  7y  –  2x) 
=  (2x  –  7y)    14y  =  28xy  –  98y².
876. б) x  –  3x(1  –  12x)  =  11  –  (5  –  6x)(6x
 +  5); x  –  3x  +  36x²  =  11  –  25  + 
36x²; –2x  =  –14; x  =  7.

886.     
д) 0,849²  –  0,151²  =  (0,849  + 
0,151)(0,849  –  0,151) =

=  1    0,698  =  0,698;

         ж 2ц²            ж 1ц²            ж 2            1цж 2          1ц

е) зз53ччш –
ззи43чшч = зиз53 +43ччшизз53 –43ччш =10
1=10 ==13.

и

887.     
а)        ³⁶            36 = 3; б) 79² – 65² =
= 4;

в) 53₂ –27_{2 =}                             = ;                               =                  =1.

79 –51

894.                  
г) 25  –  (a  +  7)²  =  (5  +  a  + 
7)(5  –  a  –  7)  =  (a  +  12)(–a  –  2); д) (5y  – 
6)²  –  81  =  (5y  –  6  –  9)(5y  –  6  +  9)  =  (5y
 –  15)(5y  +  3)  = =  5(y  –  3)(5y  +  3).

895.                  
д) (–2a²  +  3b)²  –  4a⁴
 =  (–2a²  +  3b  –  2a²)(–2a²
 +  3b  + 2a²)  =

=  3b(3b  –  4a²);

е) b⁶  –  (x  –  4b³)²
 =  (b³  +  x  –  4b³)(b³
 –  x  +  4b³)  =  (x  –  3b³)(5b³
 –  x).

897.        
в) (m  +  n)²  –  (m  –  n)²  = 
(m  +  n  +  m  –  n)(m  +  n  –  m  +  n)  =

=  2m    2n  =  4mn;

г) (4c  –  x)²  – 
(2c  +  3x)²  =  (4c  –  x  +  2c  +  3x)(4c 
–  x  –  2c  –  3x)  = =  (6c  +  2x)(2c  – 
4x)  =  4(3c  +  x)(c  –  2x).

898.        
а) (4n  +  5)²  –  9  =  (4n  +  5 
+  3)(4n  +  5  –  3)  =  (4n  +      

   (4n  +  2)  =  4(n  +  2)(4n  + 
2).

Следовательно, при любом
натуральном п значение выражения делится на 4.

900. (Задача-исследование.)
2) p²  –  1  =  (p  –  1)(p  +  1), где р  — 
простое число, p  >  3. Все простые числа, большие 3,— числа
нечётные, следовательно, (р  –  1) и (р  +  1)  —  чётные числа,
а произведение двух чётных чисел кратно 4.

3)       Из
трёх последовательных целых чисел р  –  1, р и р  +  1
одно делится на 3. Число р  —  простое и больше 3, следовательно, оно на
3 не делится. Значит, на 3 делится одно из чисел (р  –  1) или (р  + 
1), а следовательно, и их произведение.

4)       Так
как значение выражения р²  –  1 при указанных условиях кратно
и 4 и 3, то оно кратно 12.

911. в) –a6 += жзз12цчч3– (a2 3) = зжз12 – a2шцччжзиз14 + 12a2 + a4цччш; и ш             и

г) –– b6= –жзз13 + b2цччшжззи19 – 13b2 + b4чцшч. и

913.                  
а) 327³  +  173³  =  (327  +  173)(327²
 –  327    173  +  173²)  =

= 500    (327²  –  327    173  +  173²) 
—  это произведение делится на 500;

б)   731³  –  631³  = 
100    (731²  +  731    631  +  631²)  —  это
произведение делится на 100.

914.                  
а) 38³  +  37³  =  75    (38²  – 
38    37  +  37²)  —  это произведение делится на 75;

б) 99³  –  74³  = 
25    (99²  +  99    74  +  74²)  —  это произведение
делится на 25.

Заметим, что при решении заданий 913,
914 не требуется вычислять значение каждого множителя.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

975.            
в)            (a  –  4)(a  +  4)  +  (2a  – 
1)²  =  a²  –  16  +  4a²  –  4a
 +  1  =

=  5a²  –  4a  –  15;

д) (2a  –  5)²  – 
(5a  –  2)²  =  (2a  –  5  +  5a  –  2)(2a  – 
5  –  5a  +  2)  = =  (7a  –  7)(–3a  –  3)  =  7(a  – 
1)    (–3)(a  +  1)  =  –21(a²  –  1)  =  21  – –  21a².

976.            
Составим разность между суммой квадратов выражений x  + 
2 и x  –  2 и их удвоенным произведением. Выполним преобразования:

((x  +  2)²  +  (x  –  2)²) 
–  2(x  +  2)(x  –  2)  =  ((x  +  2)  –  (x  – 
2))²  =  4²  =  16.

Следовательно,         удвоенное          произведение   выражений
x  +  2 и x  –  2 меньше суммы их квадратов на 16 при любом
значении х.

977.            
б) (m  +  n  –  3)(m  +  n  +  3)  =  (m  + 
n)²  –  9  =  m²  +  2mn  +

+  n²  –  9;

е)    (a  –  3x  + 
6)(a  +  3x  +  6) = ((a  +  6)  –  3x)((a  + 
6)  +  3x)  = =  (a  +  6)²  –  9x²  = 
a²  +  12a  +  36  –  9x².

978.            
г) (5x  –  1)²  –  (1  –  3x)²  = 
16x(x  –  3);

(5x  –  1  +  1  –  3x)(5x  – 
1  –  1  +  3x)  =  16x²  –  48x;

2x(8x  –  2)   =  16x²  – 
48x;

16x²  –  4x  =  16x²
 –  48x; 4x  =  48x; x  =  0.

                            39 5, ² – ,3 5²               36
43        1

         980. ^б)                          2 =                   = ;

                           57 5, 2 –14 5,           43 72        ₂

                17 5, ² – ,9 5²                  8
27             1 1          1

           в)
131 5, 2 – ,3 52 = 128 135         = 16 5 = 80.

982. ж) 9(a  +  1)²  –  1 
=  (3a  +  3  –  1)(3a  +  3  +  1)  =  (3a  +  2)    

   (3a  +  4);

з) 4  –  25(x  –  3)²  = 
(2  +  5x  –  15)(2  –  5x  +  15)  =  (5x  –  13)      (17 
–  5x).

984.б)  
(2n  +  3)²  –  (2n  –  1)²  =  (2n  + 
3  +  2n  –  1)(2n  +  3  –  2n  +  1)  = =  (4n  + 
2)    4  =  8    (2n  +  1). Следовательно, при любом значении n значение
выражения кратно 8.

г) (5n  +  1)²  –  (2n  – 
1)²  =  (5n  +  1  +  2n  –  1)(5n  +  1  –  2n
 +  1)  =

=  7n    (3n  +  2). Значение этого
произведения кратно 7 при любом значении п.

985.а)
Предварительно применим формулу разности квадратов:

(3a  –  2b)²  – 
(2a  –  b)²  =  (3a  –  2b  +  2a  –  b)(3a
 –  2b  –  2a  +  b)  = =  (5a  –  3b)(a  – 
b).

Если а  =  1,35, b  =  –0,65, то

(5a  –  3b)(a  – 
b)  =  (5    1,35  +  0,65    3)(1,35  +  0,65)  = =  (6,75  +  1,95)    2 
=  8,7    2  =  17,4.

б) Предварительно применим формулы квадрата суммы

и квадрата разности:

(2y  –  c)²  +  (y
 +  2c)²  =  4y²  –  4yc  +  c²
 +  y²  +  4yc  +  4c²  =  5y²
 + +  5c²  =  5(y²  +  c²).

Если с  =  1,2, у  =  –1,4, то

5(y²  +  c²)  = 
5((–1,4)²  +  1,2²)  =  5(1,96  +  1,44)  =  5    3,4  = 
17.

987.б) –x¹⁵
+ ₂₇1         жзи1₃цч_чш3–( )5 3        ж_и1          5цжз1 + x5 +x10ччц;

                                           = з             x       = зз3
– x ччшзи9       3             ш

в) 33a15 +b12 = ж_зз3a5ц_чч3 +( )b4 3 = жз_з3a5 +b4цч_чзж_з9a10 – 3a b5 4 +b8чцч =

             8                        и2     ш                     и2                ши4                2              ш

= 1з_зж 1a5 +b4ч_чцз_зж2¹a10 –1¹ab5 4 +b8цч_ч; и 2 ши 4         2              ш

г) 1        x18 + y3 = жз_зи⁵4x6ч_чшц³ + y3 = ж_ззи⁵x6 + yч_чцзж_з16²⁵x12 – ⁵₄x y6 + y2ц_шч_ч =

                                                                       _{4              ши}

ж 1
6                     цж    9     12                1 6                   2ц

= 1з_зи 4x + yч_чшз_з1₁₆x –1₄x y + y ч_чш. _и

988.в)
66³  +  34³  =  (66  +  34)(66²  –  66    34 
+  34²)  =  100    2²     (33²  –  33    17 
+  17²)  =  400    (33²  –  33    17  +  17²).
Значит, значение выражения делится на 400.

г)   54³  –  24³  = 
(54  –  24)(54²  +  54    24  +  24²)  =  30    6²
    (9²  +  9    4  +  4²)  =  1080    (9²  + 
9    4  +  4²). Значит, значение выражения делится на 1080.

989.д) 27a³  –  (a  – 
b)³  =  (3a  –  a  +  b)(9a²  +  3a(a 
–  b)  +  (a  –  b)²)  = =  (2a  +  b)    (9a²
 +  3a²  –  3ab  +  a²  –  2ab  + 
b²)  =  (2a  +  b)   

   (13a²  –  5ab  +  b²);

е)    1000  +  (b  –  ³ 
 =   (10  +  b  –  8)(100  –  10(b  –    +  (b  – 
²)   = =   (2  +  b)      (100  –  10b  +  80  +  b²
 –  16b  +  64)   =   (2  +  b)        (b²  – 
26b  +  244).

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 30

3. Квадрат со стороной a 
см имеет площадь a²  см², а прямоугольник со
сторонами (a  +  7)  см и (a  –  7)  см имеет площадь (a 
+  7)(a  –  7)  =  a²  –  49  (см²), что на
49  см² меньше площади квадрата. Верный ответ под номером 2.

8. а) (a  –  3)(a  +  3)(9  +  a²) 
=  (a²  –  9)(a²  +  9)  =  a⁴  – 
81;

в) (c  –  1)² (с  +  1)²
 =  ((с  –  1)(с  +  1))²  =  (с²  – 
1)²  =  c⁴  –  2c²  +  1. 9. б)
(6xk  –  2  –  yk  +  2)(yk  + 
2  +  6xk  –  2)  =  36x2k  –  4  –  y2k  +  4, где k   
2.

13.         а)
          (xⁿ  +  yⁿ)(x²ⁿ  + 
y²ⁿ)(xⁿ  –  yⁿ)  =  (x²ⁿ
 –  y²ⁿ)(x²ⁿ  + 
y²ⁿ)  =

=  x⁴ⁿ  – 
y⁴ⁿ;

б) (an
 +  1  –  bn  +  1)(a2n  +  2  +  b2n  +  2)(an  +  1  +  bn  +  1)  =  (a2n
 +  2  –  b2n
 +  2)      (a2n
 +  2  +  b2n
 +  2)  =  a4n
 +  4  –  b4n
 +  4.

П у н к т 31

10.    б)  
(10n  +  5)²  –  (2n  +  1)²   =  (10n  + 
5  +  2n  +  1)      (10n  +  5  –  2n  –  1)  =  (12n  + 
6)(8n  +  4)  =  6(2n  +  1)    4(2n  +  1)  =

=  24(2n  +  1)²;

в) (10n  +  5)²  –  (6n  + 
3)²  =  (10n  +  5  +  6n  +  3)(10n  +  5  – 
6n  –  3)  =

= (16n  +  8)(4n  +  2)  =  8(2n  + 
1)    2(2n  +  1)  =  16(2n  +  1)².

11.    Числа
а и b не делятся на 3, следовательно, при делении на 3 дают
остаток 1 или 2. Если числа а и b имеют при делении на 3
одинаковые остатки, то их разность делится на 3, если разные, то на 3 делится
их сумма. В обоих случаях произведение (a  –  b)(a  +  b)  =  a²
 –  b² делится на 3.

12.    Пусть
х  =  10a  +  b; y  =  10b  +  a;

x²  –  y²
 =  (10a  +  b)²  –  (10b  +  a)²  = 
(10a  +  b  +  10b  +  a)      (10a  +  b  –  10b  –  a) 
=  (11a  +  11b)(9a  –  9b)  =  11(a  +  b)   
9(a  –  b)  =

=  99(a²  –  b²).
Значение этого произведения при любых значениях а и b делится на
99.

15.     а)    m²  –  n²
 +  12(n  –  3)   =   m²  –  n²  + 
12n  –  36  =  m²  –

– (n²  –  12n  +  36)  =  m²
 –  (n  –  6)²  =  (m  +  n  –  6)(m  –  n  + 
6);

б)    a²  –  11b(2n
 +  11b)  –  n² =  a² –  22bn
 –  121b² –  n² =  a²
– –  (n  +  11b)²  =  (a  +  n  +  11b)(a 
–  n  –  11b).

16. в) 81a6n – 12  –  49b4n – 8  =  (9a3n – 6  –  7b2n – 4)(9a3n – 6  +  7b2n – 4), где п   
2;

г)    0,16y4n – 6  –  0,25y2n – 4  =  (0,4y2n – 3  +  0,5yn – 2)(0,4y2n – 3  –  0,5yn – 2), где п    2.

П у н к т 32

5. а) ^{93 –73} =      ^{2             2} =           =              =965.
0 4,               0
4,          0 4,          0 4,

7.   б)   767³  –  167³  = 
(767  –  167)    (767²  +  767    167  +  167²)  =

=  600    (767²  +  767    167  +  167²).
Произведение делится на 300, так как один из множителей делится на 300. 11. б)
33³  –  16³ не делится на 11, так как уменьшаемое делится
на 11, а вычитаемое не делится;

33³  –  16³  =  (33  –  16)(33²
 +  33    16  +  16²)  =  17    (33²  +  33    16 
+  16²).

Значит, 33³  –  16³ делится на
17.

12.    
в) c3n
+ 3  +  d3n
+ 3  =  (cn + 1  +  dn + 1)(c2n + 2  –  cn + 1dn + 1  +  d2n + 2);

г) x3k  +  6  +  y3k  +  6  =  (xk  +  2  +  yk  +  2)(x2k  +  4  –  xk  + 
2yk  +  2  +  y2k  +  4).

13.    
а) a³  +  a²  –  4ab  – 
8b³  +  4b²  =  (a³  –  8b³) 
+  (a²  –  4ab  +  4b²)  =

=    (a  –  2b)(a²  + 
2ab  +  4b²)   +   (a  –  2b)²    =   
(a  –  2b)    

    (a²  +  2ab  +  4b²
 +  a  –  2b);

б)   x ³  +  2x
²  –  64y ³  +  32y ²  +  8xy 
 =   (x ³  –  64y ³)   + +   (2x²
 +  32y²  +  8xy)   =   (x  –  4y)(x²
 +  4xy  +  16y²)   +

+   2(x²  +  16y²  + 
4xy)   =   (x²  +  4xy  +  16y²)(x
 –  4y  +  2).

§ 14. Преобразование целых выражений

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
37 38	Преобразование целого выражения в многочлен Применение различных способов для разложения на множители Контрольная работа № 8	3(3) 3(4) 1

Содержание материала

Целое выражение. Преобразование
целого выражения в многочлен путём применения правил действий с многочленами и
формул сокращённого умножения. Использование различных способов разложения
многочленов на множители: вынесения общего множителя за скобки, способа
группировки, следствий из формул сокращённого умножения. Применение
преобразований целых выражений при доказательстве тождеств, решении уравнений,
в задачах на делимость, в вычислениях, в частности при нахождении значений
выражений с помощью калькулятора.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы сформировать умение преобразовывать целое
выражение в многочлен, используя правила действий с многочленами и формулы
сокращённого умножения, а также выполнять разложение целого выражения на множители,
применяя вынесение множителя за скобки, способ группировки, следствия из формул
сокращённого умножения.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного параграфа
формируются умения учащихся выполнять преобразования целых выражений в
многочлены с помощью изученных правил сложения и вычитания многочленов,
умножения одночлена на многочлен, умножения многочленов, а также формул
сокращённого умножения, применять различные способы разложения многочленов на
множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, следствия
из формул сокращённого умножения. Учащиеся овладевают также умением применять
преобразования целых выражений для упрощения выражений, при доказательстве
тождеств, решении уравнений и задач на делимость, нахождении значений
выражений, в частности с использованием калькулятора.

Методический комментарий

Данный параграф завершает изучение
преобразований целых выражений в курсе алгебры 7 класса. Он начинается с пункта
37 «Преобразование целого выражения в многочлен». Здесь разъясняется понятие
«целое выражение». Учащиеся узнают, что целым выражением называют выражение,
составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и
умножения, в частности возведения в степень. Важно обратить внимание учащихся
на то, что к целым выражениям относят также выражения, в которых используется
деление на число, отличное от нуля. Они должны уметь выделять целые выражения
из предложенной совокупности выражений, приводить примеры выражений, не
являющихся целыми.

Включённые в пункт 37 упражнения в
содержательном плане близки к тем заданиям, с которыми учащиеся встречались
ранее. Однако используемые здесь преобразования связаны с более сложными
выкладками и требуют от учащихся внимания и аккуратности. Рекомендуется
специально остановиться на упражнении 924, предназначенном для работы в
парах. При проверке в классе результатов выполнения этого упражнения важно
обсудить, какому требованию должно удовлетворять пропущенное число и из каких
свойств делимости это требование вытекает.

Следующий пункт 38 «Применение
различных способов для разложения на множители» позволяет учащимся подняться на
новую ступень в изучении преобразований целых выражений. Они могут выбрать тот
или иной приём или совокупность приёмов для разложения целого выражения на
множители. Если раньше само название темы типа «Разложение на множители способом
группировки» служило подсказкой к необходимым действиям, то теперь учащиеся
должны самостоятельно определить, какие преобразования и в какой
последовательности им предстоит выполнить. Полезно, например, разъяснить им,
что начинать разложение на множители следует, если это возможно, с вынесения
общего множителя за скобки, а дальше посмотреть, можно ли воспользоваться
формулами сокращённого умножения или применить какую-либо группировку
слагаемых. Соответствующие случаи рассмотрены в авторских примерах 1—3.

Тематика упражнений, предлагаемых
учащимся в пункте 38, разнообразна. В их число входят задания, в которых для
разложения некоторого выражения на множители требуется использовать
совокупность преобразований, а также различные задания, где разложение выражений
на множители применяется для решения уравнений, доказательства тождеств, в
задачах на делимость.

Рекомендуется обратить внимание
учащихся на разобранный в учебнике пример 4. Здесь они впервые встречаются со
случаем, когда многочлен стандартного вида преобразуют в тождественно равное
ему более сложное выражение, которым удобно пользоваться при нахождении
значения этого многочлена с помощью калькулятора. Аналогичное преобразование
учащимся приходится выполнить в упражнении 948, предназначенном для работы
в парах. В ходе его выполнения учащиеся убеждаются в преимуществах способа
вычислений, продемонстрированного в примере 4 учебника.

В число дополнительных упражнений
к параграфу 14 включено немало усложнённых заданий. Рекомендуется хорошо
успевающим учащимся предложить упражнение 1004 на доказательство
тождества Эйлера, а также упражнение 1008, выполнение которого связано с
нестандартными преобразованиями.

Указания к основным упражнениям учебника

923.                     
(2n  +  1)(n  +  5)  –  2(n  +  3)(n  – 
3)  –  (5n  +  13)  =  2n²  +  n  + +  10n  + 
5  –  2n²  +  18  –  5n  –  13  =  6n  +  10.
Первое слагаемое полученной суммы при любом целом п делится на 6, а
второе слагаемое на 6 не делится, следовательно, сумма не делится на 6.

924.                     
(Для работы в парах.) 1) Преобразуем разность:

(n
 +  8)(n  –  4)  –  (n  +  3)(n  –  2)  = =  n²
 +  8n  –  4n  –  32  –  n²  –  3n  + 
2n  +  6  = =  3n  –  26  =  3n  –  27  +  1  =  3(n  – 
9)  +  1.

2)       Сумма
пропущенного числа и 1 должна быть кратна 3, т.  е. пропущенное число должно
иметь вид 3k  –  1, где k  —  целое число.

3)       В
качестве пропущенного числа можно взять, например, число 11 (при k  = 
4) или число –7 (при k  =  –2).

926.б)
(y  –  3)²  +  3(y  +  2)(y  –  2)  =  9  +  4y²;
y²  –  6y  +  9  +  3y²  –  12  = 
9  +  4y²;  –6y  =  12;  y  =  –2.

927.а)
(a  –  1)(a²  +  1)(a  +  1)  –  (a²
 –  1)²  –  2(a²  –  3)  =  (a²  – 
1)      (a²  +  1)  –  (a²  –  1)²  – 
2a²  +  6  =  (a²  –  1)(a²  + 
1  –  a²  +  1)  –  2a²  + +  6  =  2a²
 –  2  –  2a²  +  6  =  4 при любом значении а.

928.а)   
(y  –  3)(y²  +  9)(y  +  3)  –  (2y²
 –  y)²  –  19  =  (y²  –  9)      (y²
 +  9)  –  4y⁴  +  4y³  –  y²
 –  19  =  y⁴  –  81  –  4y⁴  +  4y³
 –  y²  –  19  = =  –3y⁴  +  4y³
 –  y²  –  100.

929.а)
Для доказательства тождества покажем, что обе части данного равенства
тождественно равны одному и тому же выражению.

(a  –  3c)(4c  +  2a)  + 
3c(a  +  3c)  =  4ac  –  12c²  + 
2a²  –  6ac  +  3ac  +

+  9c²  =  ac  +  2a²
 –  3c²;

(2a  –  c)(3c  +  5a) 
–  8a²  =  6ac  –  3c²  +  10a²
 –  5ac  –  8a²  =  ac  + +  2a²
 –  3c².

938.     в)   y⁸  –  1  =  (y⁴
 –  1)(y⁴  +  1)  =  (y²  –  1)(y²
 +  1)(y⁴  +  1)  =

=  (y  –  1)(y  +  1)(y²  + 
1)(y⁴  +  1);

г) a⁴  –  b⁸  = 
(a²  –  b⁴)(a²  +  b⁴) 
=  (a  –  b²)(a  +  b²)(a²  + 
b⁴).

940.    а)    x⁶  –  y⁶ 
=  (x³)²  –  (y³)² 
=  (x³  –  y³)(x³  +  y³) 
=  (x  –  y)   

   (x²  +  xy  +  y²)(x 
+  y)(x²  –  xy  +  y²);

б)    x⁶  –  y⁶ 
=  (x²)³  –  (y²)³ 
=  (x²  –  y²)(x⁴ + x²y²
+ y⁴)  =  (x  –  y)   

   (x  +  y)(x⁴  +  x²y² 
+  y⁴).

942.в)   
–abc  –  5ac  –  4ab  –  20a  =  –ac(b  + 
5)  –  4a(b  +  5)  = =  (b  +  5)(–ac  –  4a) 
=  –a(b  +  5)(c  +  4).

943.б) 
–5xy  –  40y  –  15x  –  120  =
 –5y(x  +    –  15(x  +  
 = =  (x  +  8)(–5y  –  15)  =
 –5(x  +  8)(y  +  3).

944.г)  
x²  –  a²  –  10a  –  25  =  x²
 –  (a²  +  10a  +  25)  =  x²  –
–  (a  +  5)²  =  (x  –  a  –  5)(x  +  a  + 
5).

946.    б)   a²  –  b²
 –  a  +  b  =  (a²  –  b²) 
–  (a  –  b)  =  (a  –  b)(a  +  b)  –

–  (a  –  b) 
=  (a  –  b)(a  +  b  –  1);

г)   k²  –  k 
–  p²  –  p  =  (k²  –  p²) 
–  (k  +  p)  =  (k  +  p)(k  –  p)  –  (k  +  p) 
= =  (k  +  p)(k  –  p  –  1).

948.      (Для
работы в парах.) I способ.

3,5x³  =  3,5    3,7    3,7    3,7 
=  177,2855;

2,1x²  =  2,1    3,7    3,7  = 
28,749;

1,9x  =  1,9    3,7  =  7,03;

177,2855  –  28,749  +  7,03  –  16,7  =  138,8665.

II способ.

Для удобства пользования
калькулятором выполним следующие преобразования:

(3,5x³
–  2,1x² +  1,9x)  –  16,7  =  (3,5x²
–  2,1x  +  1,9)x  –  16,7  = =  ((3,5x  –  2,1)x  + 
1,9)x  –  16,7.

Выполняем следующие действия с
помощью калькулятора, не читая и не записывая промежуточные результаты:

1.     Находим
значение выражения 3,5    3,7  –  2,1.

2.     Результат
умножаем на 3,7.

3.     К
полученному произведению прибавляем 1,9.

4.     Найденную
сумму умножаем на 3,7.

5.     Из
полученного произведения вычитаем 16,7. Получаем 138,8665.

Учащиеся должны убедиться, что во
втором случае затрачено меньше времени.

949.      б)
9x  –  x³  =  0; x(9  –  x²) 
=  0; x(3  –  x)(3  +  x)  =  0; x₁  = 
0; x₂  =  3; x₃  =  –3.

951.            
x³  –  x  =  x(x²  – 
1)  =  x(x  –  1)(x  +  1). При целом x име-

ем произведение трёх последовательных целых чисел, из
которых по крайней мере одно является чётным и одно  — кратным 3, а значит,
произведение кратно 6.

952.            
Пусть последовательные нечётные числа имеют вид

2п  +  1 и 2п  +  3, где п  — 
целое число, тогда

(2n
 +  3)²  –  (2n  +  1)²  =  (2n  +  3 
+  2n  +  1)(2n  +  3  –  2n  –  1)  =  =  (4n  + 
4)    2  =  8(n  +  1).

Произведение делится на 8.

953.            
Пусть сторона исходного квадрата равна x см, тогда его
площадь равна x² см². После увеличения стороны
квадрата на 4 см получится новый квадрат со стороной

(x  +  4) см и площадью (x  +  4)² см².
Составим и решим уравнение

(x
 +  4)²  – x²=  96.

Получим, что сторона исходного квадрата равна 10 см.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

992.    в)   24  –  (3y  +  1)(4y 
–  5)  =  (11  –  6y)(2y  –  7);

24  –  12y²  –  4y  +  15y 
+  5  =  22y  –  12y²  –  77  +  42y; 29  –  12y² 
+  11y  =  64y  –  12y²  –  77; 53y  = 
106;  y  =  2.

993. Преобразуем правую часть равенства:

(2x
 –  5)(3  +  8x)  –  (1  –  4x)²  =

=  6x
 –  15  +  16x²  –  40x  –  1  +  8x  –  16x²
 =  –26x  –  16.

Получим y  =  –26x  – 
16. Функция является линейной, так как она задаётся формулой вида y  =  kx 
+  b, где k  =  –26, b  =  –16.

Точка А(–1; 10) принадлежит
графику этой функции, так как (–26)    (–1)  –  16  =  10; точка В(0;
16) не принадлежит графику этой функции, так как 0    26  –  16    10.

995. б) (x²  –  3x  + 
2)(2x  +  5)  –  (2x²  +  7x  +  17)(x  – 
4)  =  2x³  –

–  6x²  +  4x  +  5x²
 –  15x  +  10  –  2x³  –  7x²  – 
17x  +  8x²  +  28x  +  68  =

=  78 при любом значении х.

996.            
Преобразуем левую часть данного равенства:

(a²
 +  b²)(ab  +  cd)  –  ab(a²  + 
b²  –  c²  –  d²)  =

=  (a²
 +  b²)ab  +  (a²  +  b²)cd
 –  ab(a²  +  b²)  +  ab(c²
 +  d²)  = =  a²cd  +  b²cd
 +  abc²  +  abd²  =  (a²сd 
+  abc²)  +  (b²cd  +  abd²) 
= =  ac(ad  +  bc)  +  bd(bc  +  ad)  =  (ad  + 
bc)(ac  +  bd).

Можно доказать это тождество,
преобразовав левую и правую части равенства.

997.            
Выполнив преобразования, получим

(b 
+  c  –  2a)(c  –  b)  +  (c  +  a  –  2b)(a 
–  c)  –  (a  +  b  –  2c)(a  –  b)  = =  c²
 –  b²  –  2a(c  –  b)  +  a²
 –  c²  –  2b(a  –  c)  –  a²
 +  b²  +  2c(a  –  b)  = =  –2ac  + 
2ab  –  2ab  +  2bc  +  2ac  –  2bc  =  0.

998.            
а) (a  +  ²  –  2(a  +  8)(a  – 
2)  +  (a  –  2)²  = =  ((a  +    –  (a  – 
2))²  =  10²  =  100. 999.    а)   2(a²
 –  1)²  –  (a²  +  3)(a²  – 
3)  –  ¹ (a²
 +  a  –  4)(2a²  +  3)  =

2

=  2(a⁴  –  2a²  + 
1)  –  (a⁴  –  9)  –  ¹ (2a⁴  +  2a³
 –  8a²  +  3a²  +  3a  – 
12)  =

2

=  2a⁴  –  4a²  + 
2  –  a⁴  +  9  –  a⁴  –  a³  + 
2,5a²  –  1,5a  +  6  =  –a³  –  1,5a²
 – –  1,5a  +  17.

1000.                    
(a(a  +  2b)  +  b²)(a(a
 –  2b)  +  b²)((a²  –  b²)²
 +  4a²b²)  = =  (a²  + 
2ab  +  b²)(a²  –  2ab  +  b²)(a⁴
 –  2a²b²  +  b⁴  + 
4a²b²)  = =  (a  +  b)²(a 
–  b)²(a²  +  b²)² 
=    (a²  – 
b²)²(a²  +  b²)² 
=  (a⁴  –  b⁴)²  =

=  a⁸  –  2a⁴b⁴
 +  b⁸.

1001.                    
а) Преобразуем левую часть равенства. При этом удобно вынести
за скобки множитель (a  –  b):

(a 
+  b)²(a  –  b)  –  2ab(b  –  a)  –  6ab(a 
–  b)  =

=  (a 
–  b)(a²  +  2ab  +  b²  +  2ab 
–  6ab) =

= 
(a  –  b)(a²  –  2ab  +  b²)  =  (a 
–  b)(a  –  b)²  =  (a  –  b)³.

б) Вынесем за скобки множитель (a  +  b):

(a 
+  b)(a  –  b)²  +  2ab(a  +  b)  –  2ab(–a 
–  b) =

=  (a 
+  b)(a²  –  2ab  +  b²  +  2ab  + 
2ab)  =

=  (a 
+  b)(a²  +  2ab  +  b²)  =  (a  + 
b)(a  +  b)²  =  (a  +  b)³.

1002.                    
Для преобразования левой части равенства воспользуемся
формулами суммы кубов и разности квадратов двух выражений.

(a²
 +  b²)(a⁴  –  a²b²
 +  b⁴)  –  (a³  –  b³)(a³
 +  b³)  =

=  a⁶
 +  b⁶  –  (a⁶  –  b⁶) 
=  a⁶  +  b⁶  –  a⁶  +  b⁶
 =  2b⁶.

1003.                    
в) Следует обратить внимание учащихся, что первое
произведение тождественно равно разности кубов.

(2p
 –  1)(4p²  +  2p  +  1)  –  p(p  – 
1)(p  +  1)  =

=  (8p³
 –  1)  –  p(p²  –  1)  =  8p³  – 
1  –  p³  +  p  =  7p³  +  p  – 
1.

Если р  =  1,5, то

7р³
 +  р  –  1  =  p(7p²  +  1)  –  1  = 
1,5    (7    2,25  +  1)  –  1  =  24,125.

1004.                    
Преобразуем левую и правую части данного равенства:

(p²
 +  cq²)(r²  +  cs²) 
=  p²r²  +  cq²r²
 +  cp²s²  +  c²q²s²;

(pr 
+  cqs)²  +  c(ps  –  qr)²  =

= 
p²r²  +  2prcqs  +  c²q²s²
 +  cp²s²  –  2cpsqr  +  cq²r²
 = =  p²r²  +  c²q²s²
 +  cp²s²  +  cq²r².

1005.                    
а) В произведение (х²  +  х  –  1)(х 
–  а) входят два члена, содержащие х² (–ах² и
х²), следовательно, коэффициент при х² равен
(–а  +  1). Произведение не содержит х², если –а  + 
1  =  0, т.  е. а  =  1.

б) В произведение (х²  + 
х  –  1)(х  –  а) входят два члена, содержащие х (–ах и
–х), следовательно, коэффициент при х равен (–а  –  1).
Произведение не содержит х, если

–а  –  1  =  0, т.  е. а  =  –1.

1006.                    
а) В произведение (х²  –  10x  + 
6)(2х  +  b) входят два члена, содержащие х² (–20х²
и bx²), следовательно, коэффициент при х²
равен (–20  +  b). Произведение не содержит х², если
–20  +  b  =  0, т.  е. b  =  20.

б) В произведении (х²  – 
10х  +  6)(2х  +  b) коэффициент при х³
равен 2, а коэффициент при х равен 12  –  10b. Эти коэффициенты
равны, если 12  –  10b  =  2, т.  е. b  =  1.

1008. Воспользуемся равенством 111  111  = 
111    1001.

111 
111  –  222  =  111    1001  –  111    2  =  111    (1001  –  2) = = 111   
999  =  111    111    9  =  111²    3²  =  333².

1009. б) x22 – ¹ x20 = x x20ззж 2 – ₄₉1 _шччц = x x20зжз_и – ₇1чч_шцз_изжx + ₇1цчч_ш;

                                     _{49                    и}

г) y7 –17y5 = y y5жзз 2 – 169 чцчш = y y5жззи – 34цччшзижзy+ 34цчшч.

                      9                и

1010.         
б)   –2a⁶  –  8a³b  – 
8b²    =  –2(a⁶  +  4a³b
 +  4b²)   = =  –2(a³  +  2b)²
=  –2(a³  +  2b)(a³  +  2b).

1011.         
а) 70a  –  84b  +  20ab  –  24b²
 =  (70a  +  20ab)  –  (84b  +  24b²) 
=

=  10a(7  +  2b)  –  12b(7  +  2b) 
=  (7  +  2b)(10a  –  12b)  =

=  2(7  +  2b)(5a  –  6b);

г)    30a³  –  18a²b
 –  72b  +  120a  =  6a²(5a  –  3b) 
+  24(5a  –  3b)  = =  (5a  –  3b)(6a²  + 
24)  =  6(5a  –  3b)(a²  +  4).

1012.         
в) 3p  –  2c³  –  3c³p
 +  2  =  3p(1  –  c³)  +  2(1  –  c³) 
=  (1  –  c³)   

   (3p  +  2)  =  (1  –  c)(1  +  c 
+  c²)(3p  +  2);

г) a⁴  –  24  + 
8a  –  3a³  =  a³(a  –  3) 
+  8(a  –  3)  =  (a  –  3)(a³  +    = =  (a
 –  3)(a  +  2)(a²  –  2a  +  4).

1014.      г)     4x³  –  3x²
 =  4x  –  3;  x²(4x  –  3)  –  (4x  – 
3)  =  0;

(4x  –  3)(x²  –  1)  =  0; (x
 –  1)(x  +  1)(4x  –  3)  =  0; x₁  =  –1;
x₂  =  ³;

4 x₃  =  1.

1017.                    
г) 5a²  –  5  –  4(a  +  1)²  = 
5(a²  –  1)  –  4(a  +  1)²  =  5(a  – 
1)      (a  +  1)  –  4(a  +  1)²  =  (a  + 
1)(5a  –  5  –  4a  –  4)  =  (a  +  1)(a  –  9).

1018.                    
д) 81a²  +  6bc  –  9b²  – 
c²  =  81a²  –  (c²  –  6bc
 +  9b²)  =  81a²  – –  (c  –  3b)²
=  (9a  +  c  –  3b)(9a  –  c  +  3b).

1019.                    
б) x³  –  y³  –  5x(x²
 +  xy  +  y²)  =  (x  –  y)(x²  + 
xy  +  y²)  – –  5x(x²  +  xy  + 
y²)  =  (x²  +  xy  +  y²)(x 
–  y  –  5x)  =  (x²  +  xy  +  y²) 
    (–4x  –  y)  =  –(4x  +  y)(x²  +  xy 
+  y²);

е)        a³  – 
4a²  +  20a  –  125  =  (a³  – 
125)  –  (4a²  –  20a)  =  (a  –  5)       (a²  + 
5a  +  25)  –  4a(a  –  5)  =  (a  –  5)(a²
 +  5a  +  25  –  4a)  =  (a  –  5)      (a²
 +  a  +  25).

1020.                    
г) x⁴  +  x³y  –  xy³
 –  y⁴  =  x³(x  +  y)  –  y³(x 
+  y)  =  (x  +  y)      (x³  –  y³) 
=  (x  +  y)(x  –  y)(x²  +  xy  +  y²).

1021.                    
г) Представим одночлен 2b² как сумму b²
 +  b²: a²  +  2ab  +  2b²
 +  2b  +  1  =  (a²  +  2ab  +  b²) 
+  (b²  +  2b  +  1)  =

=  (a 
+  b)²  +  (b  +  1)²    0

при любых значениях а и b;

д) представим одночлен –4ху как сумму –2ху  – 
2ху:

x²
 –  4xy  +  y²  +  x²y²  + 
1  =  (x²  –  2xy  +  y²)  +  (x²y²
 –  2xy  +  1)  =

=  (x 
–  y)²  +  (xy  –  1)²    0

при любых значениях х и у;

е) представим число 10 как сумму 1  +  9:

x²
 +  y²  +  2x  +  6y  +  10  =  (x²
 +  2x  +  1)  +  (y²  +  6y  +  9)  =

=  (x
 +  1)²  +  (y  +  3)²    0

при любых значениях х и у.

1022.                    
г) Может. Например, при y  =  –10,2 имеем

(y  +  10)²  –  0,1  =  (–0,2)²
 –  0,1  =  0,04  –  0,1 < 0;

д) может. Например, при а  =  –100,03 имеем

0,001  –  (a  +  100)²  =  0,001 
–  (–0,03)²  =  0,001  –  0,0009 > 0.

1023. б) (7n  +  8)(n  –  1)  + 
(3n  –  2)(n  +  2)  =  7n²  +  8n  –  7n
 –  8  +

+  3n²  –  2n  +  6n  – 
4  =  10n²  +  5n  –  12. Значение этого многочлена не
делится на 5 ни при каком целом п, так как 10п² и 5п
делятся на 5, а 12 не делится.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 33

11.                
а) 7(p²  +  10p  +  23)  –  4(p  + 
8)(p  –    =  3(p  +  5)²  +  22;

7p²  +  70p  +  161  –  4(p²
 –  64)  =  3(p²  +  10p  +  25)  +  22;

7p²  +  70p  +  161  –  4p²
 +  256  =  3p²  +  30p  +  75  +  22; 40p  = 
–320; p  =  –8.

12.                
Преобразуем данное выражение:

(5a
 –  2b)²  –  0,5a(50a  –  40b)  + 
(3a  –  2b)(2b  +  3a) = = 25a²  – 
20ab  +  4b²  –  25a²  +  20ab  + 
9a²  –  4b²  =  9a².

Теперь ясно, что значение данного
выражения зависит от значений переменной a и не зависит от значений
переменной b.

13.                
Пусть наименьшее из четырёх последовательных натуральных
чисел равно п, тогда остальные числа имеют вид п  +  1, п  + 
2 и n  +  3.

n(n
 +  1)(n  +  2)(n  +  3)  +  1  =  (n²  + 
3n)(n²  +  3n  +  2)  +  1  = =  (n²
 +  3n)²  +  2(n²  +  3n)  + 
1  =  (n²  +  3n  +  1)².

15. Пусть одна
сторона прямоугольной площадки, примыкающей к зданию, равна х   м, тогда
другая её сторона равна (80  –  2х)   м (рис.   3), а площадь равна х(80 
–  2х)   м².

x(80  –  2x)  = 
80x  –  2x² =  –2(x² –  40x) 
= =  –2(x²  –  40x  +  400  –  400)  = =  –2(x  – 
20)²  +  800.

Наибольшее значение этой суммы
равно 800 при х  =  20. Значит,

стороны площадки должны быть ^{Рис. 3} равны 20 м и
40 м.

П у н к т 34

10. б) x³  +  9xy  –  9y²
 +  y³  –  9x²  =  (x³  + 
y³)  –  9(x²  –  xy  +  y²) 
= =  (x  +  y)(x²  –  xy  +  y²)  – 
9(x²  –  xy  +  y²)  =  (x²  – 
xy  +  y²)(x  +  y  –  9). 11. а) xyz  – 
4x²z  +  4x²y  –  16x³
 =  xz(y  –  4x)  +  4x²(y  – 
4x)  = =  (y  –  4x)(xz  +  4x²) 
=  x(y  –  4x)(z  +  4x).

12.                
p  =  2³  +  2⁴  +  2⁵  = 
2³(1  +  2  +  2²)  =  2³    7  =  8    7.

Искомые числа: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

13.                
б) 4x⁴  +  1  =  4x⁴  + 
1  +  4x²  –  4x²  =  (4x⁴  + 
4x²  +  1)  –  4x²  = =  (2x²  + 
1)²  –  4x²  =  (2x²  +  1  –  2x)(2x²
 +  1  +  2x).

14.                
а)    Представим 2у² как сумму у² 
+  у². Получим

4x²  –  4xy  + 
2y²  –  2y  +  1  =  (4x²  –  4xy 
+  y²)  +  (y²  –  2y  + 1)  = =  (2x 
–  y)²  +  (y  –  1)².

Значений переменных, при которых
многочлен принимает отрицательные значения, не существует, так как при любых
значениях х и у верны неравенства (2х  –  у)²   
0 и

(у  –  1)²    0.

Для тех, кто хочет знать больше

Пункт 39. Возведение двучлена в степень

Методический комментарий

Данный пункт является
заключительным в изучении преобразований целых выражений. В нём учащиеся узнают
об интересных закономерностях, наблюдаемых в формулах, которые получаются при
возведении двучлена a  +  b в первую степень, вторую, третью и т.
д.

Учащимся уже известны формулы
квадрата и куба двучлена:

(a 
+  b)²  =  a²  +  2ab  +  b²;

(a 
+  b)³  =  a³  +  3a²b 
+  3ab²  +  b³.

В данном пункте они впервые
знакомятся с формулами, которые можно использовать для возведения двучлена в
четвёртую и пятую степени:

(a 
+  b)⁴  =  a⁴  +  4a³b 
+  6a²b²  +  4ab³  +  b⁴;

(a 
+  b)⁵  =  a⁵  +  5a⁴b 
+  10a³b²  +  10a²b³ 
+  5ab⁴  +  b⁵.

Сопоставление этих формул позволяет
учащимся заметить особенность в образовании членов многочленов, записанных в
правой части равенства. Их, безусловно, заинтересует, каким образом
коэффициенты каждого последующего многочлена можно получить из коэффициентов
предыдущего. Они узнают об интересных закономерностях, которые представлены в
таблице, известной под названием «треугольник Паскаля». Простота составления
этой таблицы, безусловно, привлечёт учащихся, интересующихся математикой. Можно
предложить им продолжить составление таблицы, добавив, например, строки,
соответствующие значениям n, равным 6, 7, 8.

Важно обратить внимание учащихся
ещё на одну интересную закономерность, связанную с возведением двучлена a 
+  b в степень n, где n — натуральное число, и выражающуюся
в том, что в равенстве

(a 
+  b)ⁿ  =  aⁿ  +  na^{n 
–  1}b  +  …  +  nabⁿ  +  bⁿ

сумма коэффициентов многочлена равна 2ⁿ.

Усвоению новых сведений
способствуют включённые в данный пункт упражнения. Они не должны вызвать особых
затруднений у учащихся, проявляющих интерес к математике. Их внимание,
безусловно, привлекут упражнения 964 и 965, в которых изученные
сведения используются в задачах на делимость.

Ознакомление с материалом данного
пункта позволяет хорошо успевающим учащимся сделать новые шаги в достижении
личностных результатов обучения.

Изучение пункта 39 «Возведение
двучлена в степень» можно провести в форме занятия математического кружка. На
этом занятии один из учащихся может сделать сообщение о треугольнике Паскаля,
другой — о сумме коэффициентов многочлена, тождественно равного выражению (a 
+  b)ⁿ. После этого учащиеся приступят к выполнению
некоторых из упражнений, включённых в данный пункт.

Указания к упражнениям учебника

957.Для
n  =  6 имеем 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Для п  =  7 строка в
треугольнике Паскаля выглядит так: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

958.Воспользовавшись
подмеченными закономерностями, получим

(a 
+  b)⁶  =  a⁶  +  6a⁵b  + 
15a⁴b²  +  20a³b³
 +  15a²b⁴  +  6ab⁵  + 
b⁶.

959.            
а)            (a  +  b)⁷  =  a⁷
 +  7a⁶b  +  21a⁵b²
 +  35a⁴b³  +  35a³b⁴
+

+  21a²b⁵  +  7ab⁶
 +  b⁷;

б)    (a  +  6)⁸  = 
a⁸  +  8a⁷b  +  28a⁶b²
 +  56a⁵b³  +  70a⁴b⁴
 +  56a³b⁵  + +  28a²b⁶
 +  8ab⁷  +  b⁸.

960.            
Выполнив подстановку в формулу, получим:

а) (a²  +  2b)⁴  = 
a⁸  +  8a⁶b  +  24a⁴b²
 +  32a²b³  +  16b⁴;

б) (a³  –  b)⁴  = 
a¹²  –  4a⁹b  +  6a⁶b²
 –  4a³b³  +  b⁴.

961.            
а) Можно воспользоваться формулой куба суммы:

(a²
 +  3b³)³  =  a⁶  +  9a⁴b³
 +  27a²b⁶  +  27b⁹.

б) Воспользуемся формулой

(a 
+  b)⁴  =  a⁴  +  4a³b  + 
6a²b²  +  4ab³  +  b⁴.

Получим

(1 
–  2xy)⁴  =  1  –  8xy  +  24x²y²
 –  32x³y³  +  16x⁴y⁴.

962.            
а) Воспользуемся тем, что сумма членов, стоящих на чётных
местах, равна нулю. Получим

(x 
+  y)⁶  +  (x  –  y)⁶  =  2x⁶  + 
30x⁴y²  +  30x²y⁴
 +  2y⁶.

б) Воспользуемся тем, что разность членов, стоящих на

нечётных местах, равна нулю. Получим

(x 
+  y)⁶  –  (x  –  y)⁶  =  12x⁵y
 +  40x³y³  +  12xy⁵.

963.            
Имеем

(1  + 
y)³  =  1  +  3y  +  3y²  +  y³;

(1  + 
y)⁴  =  1  +  4y  +  6y²  +  4y³
 +  y⁴;

(1 
+  y)⁵  =  1  +  5y  +  10y²  +  10y³
 +  5y⁴  +  y⁵.

Коэффициент при у² равен
3  +  6  +  10, т.  е. равен 19. Коэффициент при у³ равен 1 
+  4  +  10, т.  е. равен 15.

964.            
Так как 147⁶  =  (145  +  2)⁶, то,
возведя выражение 145  +  2 в шестую степень, получим сумму, в которой каждое
слагаемое, кроме последнего, делится на 145, а последнее равно 64. Значит,
искомый остаток равен 64.

965.            
а) Представив 83⁴ в виде (81  +  2)⁴,
находим, что при делении числа 83⁴ на 81 в остатке получается 2⁴,
т.  е. 16. Так как 16  +  65  =  81, то заданное выражение делится на 81.

б) Представим 141¹⁰ в виде (139  +  2)¹⁰.
Возведя 139  +  2

в десятую степень, получим сумму, в которой каждое
слагаемое, кроме последнего, делится на 139, а последнее равно 2¹⁰,
т.  е. равно 1024. Сумма 1024  +  88 равна 1112, а это число делится на 139.
Значит, заданное выражение делится на 139.

Системы
линейных уравнений

§ 15. Линейные уравнения с двумя
переменными и их системы

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
40 41 42	Линейное уравнение с двумя переменными График линейного уравнения с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными	2(2) 1(1) 2(2)

Содержание материала

Решение уравнения с двумя
переменными как пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное
равенство. Равносильные уравнения с двумя переменными, условия перехода от
одного уравнения к другому, ему равносильному. График уравнения с двумя переменными.
Прямая как график линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы
один из коэффициентов при переменных не равен нулю. Система уравнений с двумя
переменными, её решение как пара значений переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с понятиями линейного
уравнения с двумя переменными и его графика, системы линейных уравнений, дать
начальное представление о решении линейного уравнения с двумя переменными в
целых числах.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

Учащиеся должны уметь определять,
является ли пара значений переменных решением данного уравнения с двумя
переменными, находить подбором целые решения линейного уравнения с двумя
переменными, строить график уравнения ax  +  by  =  c, в котором хотя бы
один из коэффициентов при переменных не равен нулю, а также решать графическим
способом в несложных ситуациях системы линейных уравнений с двумя переменными.

Методический комментарий

В курсе математики младших классов
и в курсе алгебры 7 класса учащиеся неоднократно встречались с уравнениями с
одной переменной. Теперь им предстоит ознакомиться с уравнениями с двумя
переменными и системами таких уравнений. Материал данной главы позволяет
учащимся овладеть новым аппаратом для решения текстовых задач, расширить свои
представления о взаимосвязи некоторых алгебраических понятий с геометрическими
образами.

Изучение пункта 40 «Линейное
уравнение с двумя переменными» начинается с рассмотрения примеров таких
уравнений и введения понятия решения уравнения с двумя переменными как пары
значений переменных, обращающей уравнение в верное равенство. Следует обратить
внимание учащихся на то, что здесь речь идёт об упорядоченной паре чисел, а
также на принятое соглашение записывать решение уравнения с переменными х и
у в виде пары чисел (a; b), указывая на первом месте
значение переменной х, а на втором значение переменной у.
Учащиеся знакомятся в данном пункте с понятием равносильности уравнений с двумя
переменными и соответствующими свойствами равносильности уравнений с двумя
переменными, аналогичными свойствам равносильности уравнений с одной
переменной. Эти свойства находят применение при выполнении упражнений 1030—1033,
в которых предлагается выразить из линейного уравнения с двумя переменными одну
переменную через другую. Соответствующее умение является опорным при решении
систем уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Интерес учащихся обычно вызывают
задачи, в которых требуется найти все пары целых или натуральных чисел,
удовлетворяющие некоторому уравнению с двумя переменными. В связи с этим
полезно остановиться на разобранной в учебнике задаче о расселении туристов на
теплоходе в двухместные и трёхместные каюты и рассказать учащимся о работах
известного греческого учёного Диофанта. С решением линейных уравнений с двумя
переменными учащиеся встречаются в упражнениях 1036—1040.
Рекомендуется при этом специально остановиться на задаче 1040,
предназначенной для работы в парах, в которой предлагается составить по условию
задачи уравнение с двумя переменными и исследовать его. После окончания работы
пар рекомендуется обсудить в классе полученные ответы.

В пункте 41 учащиеся знакомятся с
важным понятием «график уравнения с двумя переменными». Известные им сведения о
графике линейной функции являются здесь опорными. Сначала на примерах
разъясняется, что если в линейном уравнении ax  +  by  =  c коэффициент b
не равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая. Затем делается
дополнительная оговорка, что если в линейном уравнении ax  +  by  =  c коэффициент
b равен нулю, а коэффициент а не равен нулю, то его графиком
также является прямая. Специальное внимание обращается на то, что графиком
уравнения 0х  +  0у  =  с при с  =  0 является вся
координатная плоскость, а при с    0 график этого уравнения не содержит
ни одной точки.

Усвоению вводимых в данном пункте
понятий способствуют упражнения 1045—1053. При недостатке
учебного времени некоторые из этих упражнений можно предлагать при изучении
последующих пунктов. Заметим, что на уроке, отводимом на изучение пункта 41,
рекомендуется специально остановиться на задании 1053, предназначенном
для работы в парах. При обсуждении в классе результатов выполнения этого
задания важно выяснить у учащихся, как они рассуждали, отвечая на вопрос о
расположении графика заданного уравнения с двумя переменными в координатной
плоскости.

Знания и умения, приобретённые
учащимися при изучении пунктов 40 и 41, составляют основу для введения понятия
системы линейных уравнений с двумя переменными и дальнейшего изучения способов
решения таких систем. В пункте 42 учащиеся знакомятся с понятием «система уравнений
с двумя переменными» и узнают, что называется решением такой системы. Они
получают представление о графическом способе решения систем двух линейных
уравнений с двумя переменными, учатся применять этот способ при выполнении
упражнений 1060, 1061. Сведения о графическом способе решения
систем линейных уравнений являются опорными при исследовании систем линейных
уравнений в заданиях 1062, 1063. Выполнение учащимися задания 1063,
предназначенного для работы в парах, рекомендуется завершить коллективным обсуждением,
требуя от учащихся соответствующих обоснований.

Дополнительные упражнения к § 15
«Линейные уравнения с двумя переменными и их системы» могут быть использованы
при повторении материала. Специальное внимание рекомендуется уделить
предназначенному для работы в парах упражнению 1164, в котором
рассматривается вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.

Указания к основным упражнениям учебника

1034. Пусть искомое решение
уравнения х  +  2у  =  18 имеет вид (а; а). Тогда а
 +  2а  =  18; а  =  6. Искомое решение:

(6; 6).

1036.                    
Пусть было взято х двухрублёвых монет и у пятирублёвых
монет. Имеем уравнение 2х  +  5у  =  28. Выразим у через х:
y= ^{28 2– x}.

5

При х  =  1, 2, 3 значение у не
является целым числом; при х  =  4 получим y=  =4;

при х  =  5, 6, 7, 8 значение у не
является целым числом; при х  =  9 получим y=  =2.

Значит, двухрублёвых монет может быть взято 4 или 9.

1037.                    
Предположим, что ученик купил х тетрадей и у карандашей.
Имеем уравнение 5х  +  7у  =  44. Выразим х

через у: x= ^{44 7– y} . Уравнению удовлетворяет единствен-

5

ная пара натуральных чисел: х  =  6, у  = 
2.

1040.                    
(Для работы в парах.) а) Пусть купили х тетрадей
в клетку и х тетрадей в линейку. Имеем уравнение

10х
 +  15х  =  320; 25х  =  320.

Значение х не является целым
числом, так как 320 не делится на 25. Значит, одинаковое количество тетрадей в
клетку и тетрадей в линейку при указанном условии купить нельзя.

б) Пусть купили х тетрадей в клетку и у тетрадей
в

линейку. Имеем уравнение

64 2– x

                      10х
 +  15у  =  320; 2х  +  3у  =  64; y=       .

3

Подбором находим искомые пары
чисел: (2; 20); (5; 18); (8; 16); (11; 14); (14;12); (17; 10); (20; 8); (23;
6); (26; 4); (29; 2).

в) Максимальное количество тетрадей, которое можно

купить при указанном условии, равно 29  +  2, т.  е.
31.

г) Минимальное количество тетрадей, которое можно

купить при указанном условии, равно 2  +  20, т.  е.
22.

1041.                    
Пусть двузначное число имеет вид 10х  +  у, где
х  —  число десятков, у  —  число единиц, х    0. После
перестановки цифр получим число 10у  +  х. Имеем уравнение

(10у 
+  х)  –  (10х  +  у)  =  54; 9у  –  9х  =  54;
у  =  6  +  х.

При х  =  1 получим у  = 
7; при х  =  2 получим у  =  8; при х  =  3 получим у  = 
9.

Искомое двузначное число может быть
равно 17, 28 или 39.

1042.                    
Имеем равенство 5т  +  1  =  6п  +  2, где т
и п  —  натуральные числа. Выразим т через п: m = ⁶ⁿ⁺¹. Наимень5

шее число получится при п  =  4, т  = 
5, т.  е. наименьшее число 26.

1053. (Для работы в парах.)
Графиком уравнения ax  =  b при a > 0 и b > 0
является прямая x= ^b,
паралa

лельная оси у. Этот график расположен в первой
и четвёртой координатных четвертях, так как х > 0.

Графиком уравнения ay  =  b при
a > 0 и b > 0 является прямая y= ^b,
параллельная оси х. Этот график располоa

жен в первой и второй координатных четвертях, так как у
> 0.

Если а  =  0, b  = 
0, то графиком уравнения ax  =  b является ось x, а графиком
уравнения ay  =  b является ось у. Если а  =  0, b   
0, то графики уравнений ax  =  b и ay  =  b не
содержат ни одной точки.

При a > 0, b >
0, c > 0 графиком уравнения ax  +  by  =  c является прямая,
расположенная в первой, второй и четвёртой координатных четвертях, так как
точки её пересечения с осями имеют положительные координаты; при a >
0, b > 0, c < 0 графиком является прямая, расположенная во
второй, третьей и четвёртой координатных четвертях.

В случае когда а  =  0, b
 =  0 и с  =  0, графиком является вся плоскость, а когда a  = 
0, b  =  0, с    0, график не содержит ни одной точки.

1062. а) Выразим в каждом
уравнении системы у через х:

^мy= ^x +3,

                                                          п       ₄

                                                          н          _x

поy=– –₃ 1.

Угловые коэффициенты прямых,
являющихся графиками этих уравнений, различны, следовательно, эти прямые
пересекаются. Система имеет единственное решение.

в)
Графиком первого уравнения системы является пря-

мая, параллельная оси у, а график второго
уравнения не параллелен оси у, следовательно, прямые пересекаются.
Система имеет единственное решение.

^мпy=–^x + ³,

г) н 2                2
поy=– ,0 5x.

Графики этих уравнений  — 
параллельные прямые. Система не имеет решений.

1063. (Для работы в парах.)
Выразим из каждого уравнения системы у через х:

мy= 1x+ 1,

а) мно2xx=–610y– ,y1=3;  
пнпоy= ₁₅6x– ₁₀6₃ .

Угловые коэффициенты прямых,
являющихся графиками уравнений системы, различны, следовательно, прямые
пересекаются. Система имеет единственное решение.

           м5x y+          =4, мy=–5x+4,

б) н н оx y+  =6;          оy=–x+6.

Система имеет единственное
решение, так как угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками уравнений,
различны.

              м12x–3y=5,                  ^мпy=4x– ,⁵3

в) н                                  н

               о6y–24x=–10;              поy=4x– .⁵₃

Прямые, являющиеся графиками
уравнений системы, совпадают. Следовательно, система имеет бесконечно много
решений.

Указания к дополнительным упражнениям учебника

1139. Если а и b  — 
целые числа, то левая часть равенства 15а  +  40b  =  81 делится
на 5, а правая часть на 5 не делится. Следовательно, пара чисел (15; 40) ни при
каких целых а и b не может быть решением уравнения

15х  +  40у  =  81.

1141.                    
б) Подбором находим искомые пары чисел:

(1;
18); (2; 9); (3; 6); (6; 3); (9; 2); (18; 1).

1142.                    
Выбирая в качестве значений a простые числа, находим
пары, в которых значение b также является простым числом: (5; 37); (11;
31); (13; 29); (19; 23); (23; 19); (29; 13); (31; 11); (37; 5).

1143.                    
Пусть 9xy  —  искомое трёхзначное число. По усло-
вию число xy9
также является трёхзначным, т.  е. x    0.

Так как 9xy xy–             9=576, имеем уравнение

(900 
+  10x  +  y)  –  (100x  +  10y  +  9)  =  576; –90x
 –  9y  =  –315; 10x  +  y  =  35.

Искомое трёхзначное число: 935.

1144.                    
Пусть искомое трёхзначное число имеет вид 100x  +  10y 
+  4. После перемещения цифры 4 на первое место получим число 400  +  10x 
+  y. Имеем уравнение

(400 
+  10x  +  y)  +  7  =  2(100x  +  10y  +  4); 190x 
+  19y  =  399;  10x  +  y  =  21.

Искомое трёхзначное число равно

10(10x 
+  y)  +  4  =  10    21  +  4  =  214.

1145.                    
Пусть xy  —  искомое
двузначное число. Полученное

четырёхзначное число имеет вид 1xy1. Имеем уравнение

1000 
+  100x  +  10y  +  1  =  21(10x  +  y); 110x  + 
11y  =  1001; 10x  +  y  =  91.

Искомое число: 91.

1146.                    
а) Из уравнения у  –  х²  =  9 получаем у
 =  х²  +  9. При любых значениях x значение y является
положительным числом, следовательно, график этого уравнения не пересекает ось х.

1150. Если x и у  — 
целые числа, то значение левой части равенства 6х  –  12у  =  5
делится на 6, а правая часть равенства на 6 не делится.

1154.                    
а) Графиком является совокупность прямых x  =  2 и y
 =  3;

г) графиком является совокупность
прямых х  =  0 и у  =  2, т.  е. оси y и прямой у  = 
2.

1155.                    
Графиком уравнения является совокупность прямых х  + 
2  =  0 и у  +  3  =  0. Он пересекает ось y в точке (0; –3), а
ось x в точке (–2; 0).

1159.                    
Точка, принадлежащая оси у, имеет абсциссу х  = 
0; из равенства  5х  –  2у  =  3 находим, что если х  = 
0, то у  =  –1,5, т.  е. прямая 5х  –  2у  =  3 пересекает
ось у в точке (0; –1,5). Подставив координаты этой точки в равенство х 
+  у  =  а, получим а  =  –1,5.

1160.                    
Точка, принадлежащая оси х, имеет ординату у  = 
0. Из уравнения  х  –  2у  =  4 находим, что если у  =  0,
то x  =  4. Подставив эти значения в уравнение bx  +  3y  = 
10, получим b    4  +  3    0  =  10; b  =  2,5.

1163.              
б) Преобразуем первое уравнение системы, умно-

м^{3x y– =15,} жив все его члены на 15: н

о6x–2y=35.

Система не имеет решений, так как
второе уравнение равносильно уравнению 3х  –  у  =  17,5.

м5y=0 2, x–11,

в) н о25y x= –55.

Система имеет бесконечно много
решений, так как второе уравнение равносильно уравнению 5у  =  0,2х  – 
11.

1164.              
(Для работы в парах.) а) Выразим из данного уравнения у
через х: у  =  –2х  +  0,2.

Угловой коэффициент прямой,
являющейся графиком этого уравнения, равен –2. Угловой коэффициент прямой,
пересекающейся с графиком данного уравнения, должен быть отличен от –2.
Допустим, что он равен 4.

Вторым уравнением
системы может быть, например, у  =  4х  –  3. Получим систему
уравнений

м10x+5y=1, н о4x
y– =3.

Эта система имеет единственное решение.

б) Система уравнений имеет бесконечно много решений,

если графики уравнений системы совпадают. Значит,
второе уравнение следует взять с коэффициентами и свободным членом,
пропорциональными коэффициентам и свободному члену первого уравнения. Например,
20х  +  10у  =  2.

в) Система уравнений не имеет
решений, если графики уравнений системы являются параллельными прямыми. Второе
уравнение системы, например, может иметь вид у  =  –2х  –  3.
Получим систему уравнений

м10x+5y=1, н           о2x y+   =– ,3

которая не имеет решений.

1166.      
Данная система равносильна системе уравнений

мпy=3x–10, н          c поy=3x– ₃. Система имеет бесконечно много решений,
если – =–10,^c

3 т.  е. с  =  30.

1167.      
Данная система равносильна системе уравнений

мпy=–2 5, x+10, н       c поy=–2 5, x+ ₂.

c

Система не имеет решений, если ₂    10, т. 
е. с    20.

Указания к упражнениям из рабочей тетради

П у н к т 35

8. Пусть имеется x десятирублёвых
и y пятирублёвых монет. Имеем уравнение 10х  +  5у  =  45;
2x  +  y  =  9; y  =  9  –  2x.

Если x  =  1, то y  = 
7; если x  =  2, то y  =  5; если x  =  3, то y  = 
3; если x  =  4, то y  =  1. Существует четыре способа.

11.    Пусть
искомое число 10х  +  у, x    0. После перестановки цифр
получим число 10у  +  x, у    0. Имеем уравнение

(10x 
+  y)  –  (10y  +  x)  =  45; 9x  –  9y  =  45; y 
=  x  –  5.

Если x  =  6, то y  = 
1; если x  =  7, то y  =  2; если x  =  8, то y  = 
3; если x  =  9, то y  =  4.

Искомые числа: 61, 72, 83, 94.

12.    Пусть
на спартакиаду было направлено х команд мальчиков и у команд
девочек. Имеем уравнение 4х  +  3у  =  22; y= ^{22 4– x}.

3

Уравнение имеет два решения: x  =  1, у  = 
6; x  =  4, y  =  2.

13.    Пусть
двузначное число имеет вид 10х  +  у, x    0. Имеем уравнение

        3(10x 
+  y)  +  2(x  +  y)  =  79; 32x  +  5y  =  79; y= ^{79 32– x}.

5

Уравнению удовлетворяет
единственная пара натуральных чисел: x  =  2, y  =  3. Искомое
число: 23.

14.   
1) Пусть x  =  2n  +  1, у  =  2п  + 
3. Имеем уравнение 3(2п  +  1)  –  4(2п  +  3)  =  –17; 2n  = 
8.

Искомые числа: 9, 11.

2) Пусть y  =  2n  + 
1, x  =  2n  +  3. Имеем уравнение 3(2n  +  3)  –  4(2n
 +  1)  =  –17; 2n  =  22.

Искомые числа: 25, 23.

П у н к т 36

12. Точка, принадлежащая оси
x, имеет ординату у  =  0. Из уравнения 7x  –  3y  = 
–21 находим, что если y  =  0, то x  =  –3. Подставив эти
значения в уравнение 2x  –  5y  =  m, получим

2   
(–3)  –  5    0  =  m; m  =  –6.

П у н к т 37

7. а) Выразим в каждом уравнении системы y через
x:

мy=3x+2 5, , н оy=3x–8.

Система не имеет решений.

10.     Выразим
в каждом уравнении системы y через x:

мпy=0 8, x– ,2 н         a поy=0 8, x– _{12 5,} . Система
имеет бесконечно много решений, если ^a =2,

12 5, т.  е. a  =  25.

11.     Преобразуем
данную систему уравнений:

мпy=–x+8, н m n поy=– ₃ x+ ₃.

а) Система имеет единственное
решение, если –^m    –1, 3

т.  е. т    3, а n  —  любое число.

б) Система имеет бесконечно много решений, если

m                    n

– 
=  –1 и           =8, т.  е. т  =  3, п  =  24.

3                     3

в) В случае когда т  =  3, п  24,
система не имеет реше-

ний.

13. а) Преобразуем данную систему уравнений:

мy = –2x –5, н оy = –2x +3.

Система не имеет решений.

§ 16. Решение систем линейных уравнений

Номер пункта	Название пункта	Число уроков
43 44 45	Способ подстановки Способ сложения Решение задач с помощью систем уравнений Контрольная работа № 9	3(3) 3(3) 3(4) 1

Содержание материала

Равносильность систем уравнений с
двумя переменными. Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя
переменными способом подстановки. Алгоритм решения системы двух линейных
уравнений с двумя переменными способом сложения. Использование систем линейных
уравнений с двумя переменными для решения текстовых задач. Основные этапы
решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Основная цель

Основная цель изучения данного
материала состоит в том, чтобы сформировать умения учащихся решать системы двух
линейных уравнений с двумя переменными, используя способ подстановки или способ
сложения, а также решать текстовые задачи с помощью систем уравнений.

Характеристика основных видов деятельности учащихся

При изучении данного материала
формируются умения учащихся применять способ подстановки и способ сложения при
решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными, решать текстовые
задачи, используя в качестве алгебраической модели системы линейных уравнений с
двумя переменными, интерпретировать результат, полученный при решении системы
уравнений, составленной по условию задачи.

Методический комментарий

Графический способ решения систем
линейных уравнений с двумя переменными является наглядным и хорошо иллюстрирует
случаи, когда система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет
единственное решение, не имеет решений или имеет бесконечно много решений.
Однако использовать этот способ на практике неудобно. Это связано с тем, что
ответ, полученный при графическом способе решения, обычно является
приближённым, причём в случае существенного различия коэффициентов при
переменных в выражениях, входящих в систему уравнений, бывает трудно выбрать
масштаб для построения графиков. Поэтому наряду с графическим способом решения
систем двух линейных уравнений с двумя переменными рассматривают два
аналитических способа: способ подстановки и способ сложения.

Сущность способа подстановки
разъясняется в пункте 43 на конкретном примере. Она состоит в том, что заданную
систему двух линейных уравнений с двумя переменными заменяют равносильной
системой, в которой одно из уравнений содержит единственную переменную. В
примере, рассмотренном в учебнике, равносильность исходной и полученной систем
уравнений иллюстрируется с помощью графиков.

При решении систем двух линейных
уравнений с двумя переменными способом подстановки учащиеся должны
руководствоваться чётко сформулированным в учебнике алгоритмом. Важно обратить
их внимание на рациональный выбор уравнения системы, из которого выражается
одна переменная через другую. От этого часто зависит сложность выполняемых
преобразований.

Система упражнений в пункте 43
начинается с простейших заданий 1068—1072, в которых учащимся
достаточно просто выразить одну переменную через другую. В заданиях 1075—1078
для того, чтобы выразить одну переменную через другую, учащимся приходится
выполнять более сложные преобразования. Специальное внимание следует уделить
заданиям 1073, 1074, в которых предлагается, не выполняя
построения, найти координаты точек пересечения графиков уравнений с двумя
переменными.

Изучение пункта 44 «Способ
сложения» строится по той же схеме, что и изучение предшествующего пункта. На
примере разъясняются особенности способа сложения, широко используемого при
решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Как и в предыдущем
пункте, равносильность исходной системы уравнений и новой, полученной в
результате сложения уравнений, иллюстрируется в рассмотренном примере с помощью
графиков. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными
учащиеся руководствуются соответствующим алгоритмом, сформулированным в
учебнике.

Приведённые в учебнике авторские
примеры строятся с последовательным нарастанием сложности рассматриваемых
систем. В примере 1 непосредственное сложение уравнений с двумя переменными
позволяет исключить одну из переменных. С подобной ситуацией учащиеся
встречаются в упражнениях 1082, 1083. В примере 2 представлен
случай, когда легко найти множитель, умножив на который все члены одного из уравнений
можно перейти к системе, из которой с помощью несложных вычислений определяется
искомая пара решений. С подобной ситуацией учащиеся встречаются в упражнениях 1084,
1085. Наконец, в примере 3 рассматривается более сложный случай, когда
для каждого из уравнений системы приходится находить соответствующий множитель,
чтобы на последующем этапе можно было исключить одну из переменных. С такими
системами двух линейных уравнений с двумя переменными учащиеся будут
неоднократно встречаться в упражнениях 1086, 1092—1096.
Полезно остановиться на заданиях 1087—1090, где решение систем
уравнений связывается с соответствующими геометрическими образами.

Важным шагом в формировании
математической компетентности учащихся является ознакомление их с
использованием систем линейных уравнений с двумя переменными для решения
текстовых задач, которому посвящён пункт 45. Аналогично известному учащимся
подходу к решению текстовых задач с помощью уравнений с одной переменной здесь
выделяются три этапа: обозначение неизвестных и составление системы уравнений,
решение составленной системы, истолкование результатов в соответствии со
смыслом задачи. Полезно обратить внимание учащихся на разобранную в учебнике
задачу 2, когда найденное решение системы, составленной по условию задачи, не
соответствует смыслу этой задачи.

Тематика включённых в пункт 45
текстовых задач разнообразна. В их число входят задачи на движение, на
процентные расчёты, задачи с геометрическим содержанием. Интерес у учащихся
обычно вызывают содержащиеся в пункте старинные задачи (1104, 1105,
1115). Важно обратить внимание учащихся на задачи 1121 и 1122,
связанные с вычислением концентрации растворов, характеризующие практическую
значимость формируемых умений. Рекомендуется остановиться на
задаче-исследовании 1123, в которой составление и решение системы
уравнений с двумя переменными находит применение в задаче на делимость.

При изучении § 16 можно
использовать некоторые дополнительные упражнения. Полезно рассмотреть с
учащимися предназначенную для работы в парах задачу 1176, где
предлагается составить уравнение вида y  =  kx  +  b, график которого
проходит через две заданные точки. Учащимся, проявляющим интерес к математике,
можно предложить текстовые задачи 1181—1183, в которых
приобретённые ими умения применяются в усложнённых ситуациях.

Указания к основным упражнениям учебника

1073. a) Составим и решим систему уравнений

м7x+4y=23, н о8x–10y=19.

Выразим из первого уравнения системы y через x:

23 7– x

y=                              .
Подставим найденное выражение вместо y во

4 второе уравнение и решим его:

                  8x
 –  ^{10 23
7(  – x)}  =  19; 16x  –  115  +  35x  =  38; x
 =  3.

Отсюда y=                     ;
y  =  0,5. Значит, точка пересечения гра-

4

фиков имеет координаты (3; 0,5).

м– ( – )2 a b +16=3(b+7),

1076.              
б) н

                                   о6a–( – )a 5 =– –(8       b+1);

м–2a+2b+16=3b+21, м–2a b– =5,               мb=–5 2– a, н    н        
н о6a a– + =5     – – – ;8 b 1           о5a b+ =–14; о5a+(– –5 2a)=–14.

5a  –  5  –  2a  =  –14; 3a  = 
–9; a  =  –3; b  =  1.

1077.              
в) Умножив обе части первого уравнения на 15, а второго на
30, получим систему уравнений с целыми коэф-

м^6m+5n=15, фициентами, равносильную
данной: н
Отсюо3m –35n=120.

да m  =  5, n  =  –3.

1086.                    
г) При решении систем уравнений способом сложения можно
разрешить учащимся записывать справа число, на которое умножаются обе части
уравнения.

м–3b+10a=0
1, , 4 м–12b+40a=0 4, , н            н

о4b+15a=2 7, ; 3 о12b+45a=8 1, ;

85a=8 5, ; a=0 1, .

–3b  +  10    0,1  =  0,1; –3b  = 
–0,9; b  =  0,3.

1087.                    
в) Подставим в уравнение y  =  kx  +  b координаты
точек А и В, получим систему уравнений

м–1=8k b+ , н о17=–4k b+ .

Решив эту систему, найдём, что  k  =  –1,5, b
 =  11. Уравнение прямой: у  =  –1,5х  +  11.

1091. Выберем на графике
линейной функции какие-либо две точки, например А(–1; 1) и В(0;
–1), и подставим их координаты в уравнение прямой y  =  kx  +  b.
Получим систему уравнений

м– + =k b 1, н оb=–1.

Отсюда k  =  –2. Уравнение прямой: у  = 
–2х  –  1.

                                ^мп¹u – ¹v = – ,36                  мu
– 2v = –18,

1093. г) н6                                      ³н

по0 2, u + 0 1, v =3 9, ;20 о4u +2v =78.

Решив эту систему, найдём, что u  =  12, v
 =  15.

мп4a–5b–10=0, м4a–5b=10,

1095. г) нa               b      1                   н

                           по₅ – ₃ + ₃ =0;                о3a–5b=– .5

Вычитая из первого уравнения
второе, получаем a  =  15. Из уравнения 3a  –  5b  =  –5
находим, что b  =  10.

1102. Пусть длина площадки
равна х м, а ширина  — у м. Тогда x  –  у  =  12,8. По
условию задачи периметр прямоугольника (2х  +  2у) равен 69,48 м,
следовательно, x  +  у  =  34,74. Имеем систему уравнений

мx y–               =12
8, , н
оx y+   =34
74,  .

1104.                    
Предположим, что ослица несла х мешков, а мул  —  у
мешков. Имеем систему уравнений

м2(x–1)= +y 1, н

оx+ =1 y– .1