Набор инструкций описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата

Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители.

Ранее в русском языке писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но, тем не менее, имеет место исключение (нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает компьютер, но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек (а может быть и некоторый механизм, ткацкий станок, и пр.).

Можно выделить алгоритмы вычислительные (о них в основном идет далее речь), и управляющие. Вычислительные по сути преобразуют некоторые начальные данные в выходные, реализуя вычисление некоторой функции. Семантика управляющих алгоритмов существенным образом может отличаться и сводиться к выдаче необходимых управляющих воздействий либо в заданные моменты времени, либо в качестве реакции на внешние события (в этом случае, в отличие от вычислительного алгоритма, управляющий может оставаться корректным при бесконечном выполнении).

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века.

Частичная формализация понятия алгоритма началась с попыток решения проблемы разрешения (нем. Entscheidungsproblem), которую сформулировал Давид Гильберт в 1928 году. Следующие этапы формализации были необходимы для определения эффективных вычислений или «эффективного метода»; среди таких формализаций — рекурсивные функции Геделя — Эрбрана — Клини 1930, 1934 и 1935 гг., λ-исчисление Алонзо Чёрча 1936 г., «Формулировка 1» Эмиля Поста 1936 года и машина Тьюринга. В методологии алгоритм является базисным понятием и получает качественно новое понятие как оптимальности по мере приближения к прогнозируемому абсолюту. В современном мире алгоритм в формализованном выражении составляет основу образования на примерах, по подобию.

Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Это связано с тем, что работа каких-то инструкций алгоритма может быть зависима от других инструкций или результатов их работы. Таким образом, некоторые инструкции должны выполняться строго после завершения работы инструкций, от которых они зависят. Независимые инструкции или инструкции, ставшие независимыми из-за завершения работы инструкций, от которых они зависят, могут выполняться в произвольном порядке, параллельно или одновременно, если это позволяют используемые процессор и операционная система.

Ранее часто писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но, тем не менее, имеет место (например, Нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает некоторый механизм (компьютер, токарный станок, швейная машина), но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек.

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако, в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века.

Частичная формализация понятия алгоритма началась с попыток решения проблемы разрешения (нем. Entscheidungsproblem), которую сформулировал Давид Гильберт в 1928 году. Следующие этапы формализации были необходимы для определения эффективных вычислений^[1] или «эффективного метода»^[2]; среди таких формализаций — рекурсивные функции Геделя — Эрбрана — Клини 1930, 1934 и 1935 гг., λ-исчисление Алонзо Чёрча 1936 г., «Формулировка 1» Эмиля Поста 1936 года и машина Тьюринга. В методологии алгоритм является базисным понятием и получает качественно новое понятие как оптимальности по мере приближения к прогнозируемому абсолюту. В современном мире алгоритм в формализованном выражении составляет основу образования на примерах, по подобию. На основе сходства алгоритмов различных сфер деятельности была сформирована концепция (теория) экспертных систем.

История термина

Современное формальное определение алгоритма было дано в 30—50-е годы XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А. А. Маркова.

Само слово «алгоритм» происходит от имени хорезмского учёного Абу Абдуллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (алгоритм — аль-Хорезми). Около 825 года он написал сочинение, в котором впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. К сожалению, персидский оригинал книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr, отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр»). Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские учёные. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу. Переводчик, имя которого до нас не дошло, дал ей название Algoritmi de numero Indorum («Алгоритмы о счёте индийском»). По-арабски же книга именовалась Китаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о сложении и вычитании»). Из оригинального названия книги происходит слово Алгебра (алгебра — аль-джебр — восполнение).

Таким образом, мы видим, что латинизированное имя среднеазиатского учёного было вынесено в заглавие книги, и сегодня считается, что слово «алгоритм» попало в европейские языки именно благодаря этому сочинению. Однако вопрос о его смысле длительное время вызывал ожесточённые споры. На протяжении многих веков происхождению слова давались самые разные объяснения.

Одни выводили algorism из греческих algiros (больной) и arithmos (число). Из такого объяснения не очень ясно, почему числа именно «больные». Или же лингвистам больными казались люди, имеющие несчастье заниматься вычислениями? Своё объяснение предлагал и энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. В нём алгорифм (кстати, до революции использовалось написание алгориѳм, через фиту) производится «от арабского слова Аль-Горетм, то есть корень». Разумеется, эти объяснения вряд ли можно счесть убедительными.

Упомянутый выше перевод сочинения аль-Хорезми стал первой ласточкой, и в течение нескольких следующих столетий появилось множество других трудов, посвящённых всё тому же вопросу — обучению искусству счёта с помощью цифр. И все они в названии имели слово algoritmi или algorismi.

Про аль-Хорезми позднейшие авторы ничего не знали, но поскольку первый перевод книги начинается словами: «Dixit algorizmi: …» («Аль-Хорезми говорил: …»), всё ещё связывали это слово с именем конкретного человека. Очень распространённой была версия о греческом происхождении книги. В англо-норманнской рукописи XIII века, написанной в стихах, читаем:

Алгоризм был придуман в Греции. Это часть арифметики. Придуман он был мастером по имени Алгоризм, который дал ему своё имя. И поскольку его звали Алгоризм, Он назвал свою книгу «Алгоризм».

Около 1250 года английский астроном и математик Иоанн Сакробоско написал труд по арифметике Algorismus vulgaris, на столетия ставший основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах. Во введении Сакробоско назвал автором науки о счёте мудреца по имени Алгус (Algus). А в популярной средневековой поэме «Роман о Розе» (1275—1280) Жана де Мена «греческий философ Алгус» ставится в один ряд с Платоном, Аристотелем, Евклидом и Птолемеем! Встречался также вариант написания имени Аргус (Argus). И хотя, согласно древнегреческой мифологии, корабль «Арго» был построен Ясоном, именно этому Арго приписывалось строительство корабля.

«Мастер Алгус» (или Аргус) стал в средневековой литературе олицетворением счётного искусства. И в уже упоминавшейся «Романе о розе», и в известной итальянской поэме «Цветок», написанной Дуранте, имеются фрагменты, в которых говорится, что даже «mestre Argus» не сумеет подсчитать, сколько раз ссорятся и мирятся влюблённые. Английский поэт Джефри Чосер в поэме «Книга герцогини» (1369 г.) пишет, что даже «славный счётчик Аргус» (noble countour Argu) не сможет счесть чудовищ, явившихся в кошмарных видениях герою.

Впрочем, греческая версия была не единственной. Мифический АлГор (Algor) именовался то королём Кастилии (Rex quodam Castelliae), то индийским королём, то арабским мудрецом (philosophus Algus nomine Arabicus), то египетским божеством. Соответственно АлГорРитм — это ритм (порядок) бога Гора (АлГора).

Однако со временем такие объяснения всё менее занимали математиков, и слово algorism (или algorismus), неизменно присутствовавшее в названиях математических сочинений, обрело значение способа выполнения арифметических действий посредством арабских цифр, то есть на бумаге, без использования абака. Именно в таком значении оно вошло во многие европейские языки. Например, с пометкой «устар.» оно присутствует в представительном словаре английского языка Webster’s New World Dictionary, изданном в 1957 г.

Алгоритм — это искусство счёта с помощью цифр, но поначалу слово «цифра» относилось только к нулю. Знаменитый французский трувер Готье де Куанси (Gautier de Coincy, 1177—1236) в одном из стихотворений использовал слова algorismus-cipher (которые означали цифру 0) как метафору для характеристики абсолютно никчёмного человека. Очевидно, понимание такого образа требовало соответствующей подготовки слушателей, а это означает, что новая система счисления уже была им достаточно хорошо известна.

Многие века абак был фактически единственным средством для практичных вычислений, им пользовались и купцы, и менялы, и учёные. Достоинства вычислений на счётной доске разъяснял в своих сочинениях такой выдающийся мыслитель, как Герберт Аврилакский (938—1003), ставший в 999 г. папой римским под именем Сильвестра II. Новое с огромным трудом пробивало себе дорогу, и в историю математики вошло упорное противостояние лагерей алгорисмиков и абацистов (иногда называемых гербекистами), которые пропагандировали использование для вычислений абака вместо арабских цифр. Интересно, что известный французский математик Николя Шюке (Nicolas Chuquet, 1445—1488) в реестр налогоплательщиков города Лиона был вписан как алгорисмик (algoriste). Но прошло не одно столетие, прежде чем новый способ счёта окончательно утвердился, столько времени потребовалось, чтобы выработать общепризнанные обозначения, усовершенствовать и приспособить к записи на бумаге методы вычислений. В Западной Европе учителей арифметики вплоть до XVII века продолжали называть «магистрами абака», как, например, математика Никколо Тарталью (1500—1557).

Итак, сочинения по искусству счёта назывались Алгоритмами. Из многих сотен можно выделить и такие необычные, как написанный в стихах трактат Carmen de Algorismo (латинское carmen и означает стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского астронома и математика Георга Пурбаха (Georg Peurbach, 1423—1461) Opus algorismi jocundissimi («Веселейшее сочинение по алгоритму»).

Постепенно значение слова расширялось. Учёные начинали применять его не только к сугубо вычислительным, но и к другим математическим процедурам. Например, около 1360 г. французский философ Николай Орем (Nicolaus Oresme, 1323/25-1382) написал математический трактат Algorismus proportionum («Вычисление пропорций»), в котором впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Когда же на смену абаку пришёл так называемый счёт на линиях, многочисленные руководства по нему стали называть Algorithmus linealis, то есть правила счёта на линиях.

Можно обратить внимание на то, что первоначальная форма algorismi спустя какое-то время потеряла последнюю букву, и слово приобрело более удобное для европейского произношения вид algorism. Позднее и оно, в свою очередь, подверглось искажению, скорее всего, связанному со словом arithmetic.

В 1684 году Готфрид Лейбниц в сочинении Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus… впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

В XVIII веке в одном из германских математических словарей, Vollstandiges mathematisches Lexicon (изданном в Лейпциге в 1747 г.), термин algorithmus всё ещё объясняется как понятие о четырёх арифметических операциях. Но такое значение не было единственным, ведь терминология математической науки в те времена ещё только формировалась. В частности, выражение algorithmus infinitesimalis применялось к способам выполнения действий с бесконечно малыми величинами. Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo). Мы видим, что понимание Эйлером алгоритма как синонима способа решения задачи уже очень близко к современному.

Однако потребовалось ещё почти два столетия, чтобы все старинные значения слова вышли из употребления. Этот процесс можно проследить на примере проникновения слова «алгоритм» в русский язык.

Историки датируют 1691 годом один из списков древнерусского учебника арифметики, известного как «Счётная мудрость». Это сочинение известно во многих вариантах (самые ранние из них почти на сто лет старше) и восходит к ещё более древним рукописям XVI в. По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий с ними постепенно распространялось на Руси. Полное название этого учебника — «Сия книга, глаголемая по еллински и по гречески арифметика, а по немецки алгоризма, а по русски цифирная счётная мудрость».

Таким образом, слово «алгоритм» понималось первыми русскими математиками так же, как и в Западной Европе. Однако его не было ни в знаменитом словаре В. И. Даля, ни спустя сто лет в «Толковом словаре русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935 г.). Зато слово «алгорифм» можно найти и в популярном дореволюционном Энциклопедическом словаре братьев Гранат, и в первом издании Большой советской энциклопедии (БСЭ), изданном в 1926 г. И там, и там оно трактуется одинаково: как правило, по которому выполняется то или иное из четырёх арифметических действий в десятичной системе счисления. Однако к началу XX в. для математиков слово «алгоритм» уже означало любой арифметический или алгебраический процесс, выполняемый по строго определённым правилам, и это объяснение также даётся в следующих изданиях БСЭ.

Алгоритмы становились предметом всё более пристального внимания учёных, и постепенно это понятие заняло одно из центральных мест в современной математике. Что же касается людей, от математики далёких, то к началу сороковых годов это слово они могли услышать разве что во время учёбы в школе, в сочетании «алгоритм Евклида». Несмотря на это, алгоритм всё ещё воспринимался как термин сугубо специальный, что подтверждается отсутствием соответствующих статей в менее объёмных изданиях. В частности, его нет даже в десятитомной Малой советской энциклопедии (1957 г.), не говоря уже об однотомных энциклопедических словарях. Но зато спустя десять лет, в третьем издании Большой советской энциклопедии (1969 г.) алгоритм уже характеризуется как одна из основных категорий математики, «не обладающих формальным определением в терминах более простых понятий, и абстрагируемых непосредственно из опыта». Как мы видим, отличие даже от трактовки первым изданием БСЭ разительное! За сорок лет алгоритм превратился в одно из ключевых понятий математики, и признанием этого стало включение слова уже не в энциклопедии, а в словари. Например, оно присутствует в академическом «Словаре русского языка» (1981 г.) именно как термин из области математики.

Одновременно с развитием понятия алгоритма постепенно происходила и его экспансия из чистой математики в другие сферы. И начало ей положило появление компьютеров, благодаря которому слово «алгоритм» вошло в 1985 г. во все школьные учебники информатики и обрело новую жизнь. Вообще можно сказать, что его сегодняшняя известность напрямую связана со степенью распространения компьютеров. Например, в третьем томе «Детской энциклопедии» (1959 г.) о вычислительных машинах говорится немало, но они ещё не стали чем-то привычным и воспринимаются скорее как некий атрибут светлого, но достаточно далёкого будущего. Соответственно и алгоритмы ни разу не упоминаются на её страницах. Но уже в начале 70-х гг. прошлого столетия, когда компьютеры перестали быть экзотической диковинкой, слово «алгоритм» стремительно входит в обиход. Это чутко фиксируют энциклопедические издания. В «Энциклопедии кибернетики» (1974 г.) в статье «Алгоритм» он уже связывается с реализацией на вычислительных машинах, а в «Советской военной энциклопедии» (1976 г.) даже появляется отдельная статья «Алгоритм решения задачи на ЭВМ». За последние полтора-два десятилетия компьютер стал неотъемлемым атрибутом нашей жизни, компьютерная лексика становится всё более привычной. Слово «алгоритм» в наши дни известно, вероятно, каждому. Оно уверенно шагнуло даже в разговорную речь, и сегодня мы нередко встречаем в газетах и слышим в выступлениях политиков выражения вроде «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» или даже «алгоритм предательства». Академик Н. Н. Моисеев назвал свою книгу «Алгоритмы развития», а известный врач Н. М. Амосов — «Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы разума». А это означает, что слово живёт, обогащаясь всё новыми значениями и смысловыми оттенками.

Определения алгоритма

Формальное определение

Разнообразные теоретические проблемы математики и ускорение развития физики и техники поставили на повестку дня точное определение понятия алгоритма.

Первые попытки уточнения понятия алгоритма и его исследования осуществляли в первой половине XX века Алан Тьюринг, Эмиль Пост, Жак Эрбран, Курт Гедель, А. А. Марков, Алонзо Чёрч. Было разработано несколько определений понятия алгоритма, но впоследствии было выяснено, что все они определяют одно и то же понятие (см. Тезис Чёрча — Тьюринга)^[3]

Машина Тьюринга

Основная идея, лежащая в основе машины Тьюринга, очень проста. Машина Тьюринга — это абстрактная машина (автомат), работающая с лентой отдельных ячеек, в которых записаны символы. Машина также имеет головку для записи и чтения символов из ячеек, которая может двигаться вдоль ленты. На каждом шагу машина считывает символ из ячейки, на которую указывает головка, и, на основе считанного символа и внутреннего состояния, делает следующий шаг. При этом, машина может изменить свое состояние, записать другой символ в ячейку или передвинуть головку на одну ячейку вправо или влево.^[4]

На основе исследования этих машин был выдвинут тезис Тьюринга (основная гипотеза алгоритмов):

Этот тезис является аксиомой, постулатом, и не может быть доказан математическими методами, поскольку алгоритм не является точным математическим понятием.

Рекурсивные функции

С каждым алгоритмом можно сопоставить функцию, которую он вычисляет. Однако возникает вопрос, можно ли произвольной функции сопоставить машину Тьюринга, а если нет, то для каких функций существует алгоритм? Исследования этих вопросов привели к созданию в 1930-х годах теории рекурсивных функций^[5].

Класс вычислимых функций был записан в образ, напоминающий построение некоторой аксиоматической теории на базе системы аксиом. Сначала были выбраны простейшие функции, вычисление которых очевидно. Затем были сформулированы правила (операторы) построения новых функций на основе уже существующих. Необходимый класс функций состоит из всех функций, которые можно получить из простейших применением операторов.

Подобно тезису Тьюринга в теории вычислительных функций была выдвинута гипотеза, которая называется тезис Чёрча:

Доказательство того, что класс вычислимых функций совпадает с исчисляемыми по Тьюрингу, происходит в два шага: сначала доказывают вычисление простейших функций на машине Тьюринга, а затем — вычисление функций, полученных в результате применения операторов.

Таким образом, неформально алгоритм можно определить как четкую систему инструкций, определяющих дискретный детерминированный процесс, который ведет от начальных данных (на входе) к искомому результату (на выходе), если он существует, за конечное число шагов; если искомого результата не существует, алгоритм или никогда не завершает работу, либо заходит в тупик.

Нормальный алгоритм Маркова

Нормальный алгоритм Маркова — это система последовательных применений подстановок, которые реализуют определенные процедуры получения новых слов из базовых, построенных из символов некоторого алфавита. Как и машина Тьюринга, нормальные алгоритмы не выполняют самих вычислений: они лишь выполняют преобразование слов путем замены букв по заданным правилам^[6].

Нормально вычислимой называют функцию, которую можно реализовать нормальным алгоритмом. То есть, алгоритмом, который каждое слово из множества допустимых данных функции превращает в ее исходные значения^[7]..

Создатель теории нормальных алгоритмов А. А. Марков выдвинул гипотезу, которая получила название принцип нормализации Маркова:

Подобно тезисам Тьюринга и Черча, принцип нормализации Маркова не может быть доказан математическими средствами.

Стохастические алгоритмы

Однако, приведенное выше формальное определение алгоритма в некоторых случаях может быть слишком строгим. Иногда возникает потребность в использовании случайных величин^[8]. Алгоритм, работа которого определяется не только исходными данными, но и значениями, полученными из генератора случайных чисел, называют стохастическим (или рандомизированным, от англ. randomized algorithm)^[9]. Формально, такие алгоритмы нельзя называть алгоритмами, поскольку существует вероятность (близкая к нулю), что они не остановятся. Однако, стохастические алгоритмы часто бывают эффективнее детерминированных, а в отдельных случаях — единственным способом решить задачу^[8].

На практике вместо генератора случайных чисел используют генератор псевдослучайных чисел.

Однако следует отличать стохастические алгоритмы и методы, которые дают с высокой вероятностью правильный результат. В отличие от метода, алгоритм дает корректные результаты даже после продолжительной работы.

Некоторые исследователи допускают возможность того, что стохастический алгоритм даст с некоторой заранее известной вероятностью неправильный результат. Тогда стохастические алгоритмы можно разделить на два типа^[10]:

• алгоритмы типа Лас-Вегас всегда дают корректный результат, но время их работы не определено.
• алгоритмы типа Монте-Карло, в отличие от предыдущих, могут давать неправильные результаты с известной вероятностью (их часто называют методами Монте-Карло).

Другие формализации

Для некоторых задач названные выше формализации могут затруднять поиск решений и осуществление исследований. Для преодоления препятствий были разработаны как модификации «классических» схем, так и созданы новые модели алгоритма. В частности, можно назвать:

• многоленточная и недетерминированная машины Тьюринга;
• регистровая и РАМ машина — прототип современных компьютеров и виртуальных машин;
• конечные и клеточные автоматы

и другие.

Формальные свойства алгоритмов

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:

• Дискретность — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, то есть преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.
• Детерминированность (определённость). В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа. Однако при включении метода генерации случайных чисел в список «исходных данных», вероятностный алгоритм становится подвидом обычного.
• Понятность — алгоритм должен включать только те команды, которые доступны исполнителю и входят в его систему команд.
• Завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов.^{[источник не указан 713 дней]} С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.
• Массовость (универсальность). Алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.
• Результативность — завершение алгоритма определёнными результатами.
• Алгоритм содержит ошибки, если приводит к получению неправильных результатов либо не даёт результатов вовсе.
• Алгоритм не содержит ошибок, если он даёт правильные результаты для любых допустимых исходных данных.

Виды алгоритмов

Особую роль выполняют прикладные алгоритмы, предназначенные для решения определённых прикладных задач. Алгоритм считается правильным, если он отвечает требованиям задачи (например, даёт физически правдоподобный результат). Алгоритм (программа) содержит ошибки, если для некоторых исходных данных он даёт неправильные результаты, сбои, отказы или не даёт никаких результатов вообще. Последний тезис используется в олимпиадах по алгоритмическому программированию, чтобы оценить составленные участниками программы.

Важную роль играют рекурсивные алгоритмы (алгоритмы, вызывающие сами себя до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое условие возвращения). Начиная с конца XX — начала XXI века активно разрабатываются параллельные алгоритмы, предназначенные для вычислительных машин, способных выполнять несколько операций одновременно.

Нумерация алгоритмов

Нумерация алгоритмов играет важную роль в их исследовании и анализе^[11]. Поскольку любой алгоритм можно задать в виде конечного слова (представить в виде конечной последовательности символов некоторого алфавита), а множество всех конечных слов в конечном алфавите счётное, то множество всех алгоритмов также счётное. Это означает существование взаимно однозначного отображения между множеством натуральных чисел и множеством алгоритмов, то есть возможность присвоить каждому алгоритму номер.

Нумерация алгоритмов является одновременно и нумерацией всех алгоритмически исчисляемых функций, причем любая функция может иметь бесконечное количество номеров.

Существование нумерации позволяет работать с алгоритмами так же, как с числами. Особенно полезна нумерация в исследовании алгоритмов, работающих с другими алгоритмами.

Алгоритмически неразрешимые задачи

Формализация понятия алгоритма позволила исследовать существование задач, для которых не существует алгоритмов поиска решений. Впоследствии была доказана невозможность алгоритмического вычисления решений ряда задач, что делает невозможным их решение на любом вычислительном устройстве. Функцию называют вычислимой (англ. computable), если существует машина Тьюринга, которая вычисляет значение для всех элементов множества определения функции. Если такой машины не существует, функция называют невычислимой. Функция будет считаться невычислимой, даже если существуют машины Тьюринга, способные вычислить значение для подмножества из всего множества входных данных^[12].

Случай, когда результатом вычисления функции является логическое выражение «истина» или «ложь» (или множество {0, 1}), называют задачей, которая может быть решаемой или нерешаемой в зависимости от вычислимости функции ^[12].

Важно точно указывать допустимое множество входных данных, поскольку задача может быть решаемой для одного множества и нерешаемой для другого.

Одной из первых задач, для которой была доказана нерешаемость, является проблема остановки. Формулируется она следующим образом:

Доказательство неразрешимости проблемы остановки важно тем, что к ней можно свести другие задачи. Например, простую проблему остановки можно свести к задаче остановки на пустой строке (когда нужно определить для заданной машины Тьюринга, остановится ли она, будучи запущенной на пустой строке), доказав тем самым неразрешимость последней. ^[12].

Анализ алгоритмов

Вместе с распространением информационных технологий увеличился риск программных сбоев. Одним из способов избежания ошибок в алгоритмах и их реализациях служат доказательства корректности систем математическими средствами.

Использование математического аппарата для анализа алгоритмов и их реализаций называют формальными методами. Формальные методы предусматривают применение формальных спецификаций и, обычно, набора инструментов для синтаксического анализа и доказательства свойств спецификаций. Абстрагирование от деталей реализации позволяет установить свойства системы независимо от ее реализации. Кроме того, точность и однозначность математических утверждений позволяет избежать многозначности и неточности естественных языков^[14].

По гипотезе Ричарда Мейса, «избежание ошибок лучше устранения ошибок»^[15]. По гипотезе Хоара, «доказательство программ решает проблему корректности, документации и совместимости»^[16]. Доказательство корректности программ позволяет выявлять их свойства по отношению ко всему диапазону входных данных. Для этого понятие корректности было разделено на два типа:

• Частичная корректность — программа дает правильный результат для тех случаев, когда она завершается.
• Полная корректность — программа завершает работу и выдает правильный результат для всех элементов из диапазона входных данных.

Во время доказательства корректности сравнивают текст программы со спецификацией желаемого соотношения входных-выходных данных. Для доказательств типа Хоара эта спецификация имеет вид утверждений, которые называют предусловиями и постусловиями. В совокупности с самой программой, их еще называют тройкой Хоара. Эти утверждения записывают

P{Q}R

где P — это предусловие, что должно выполняться перед запуском программы Q, а R — постусловие, правильное после завершения работы программы.

Формальные методы были успешно применены для широкого круга задач, в частности: разработке электронных схем, искусственного интеллекта, автоматических систем на железной дороге, верификации микропроцессоров, спецификации стандартов и спецификации и верификации программ^[17].

Время работы

Распространенным критерием оценки алгоритмов является время работы и порядок роста продолжительности работы в зависимости от объема входных данных.^[18]

Для каждой конкретной задачи составляют некоторое число, которое называют ее размером. Например, размером задачи вычисления произведения матриц может быть наибольший размер матриц-множителей, для задач на графах размером может быть количество ребер графа.

Время, которое тратит алгоритм как функция от размера задачи , называют временной сложностью этого алгоритма T(n). Асимптотику поведения этой функции при увеличении размера задачи называют асимптотичной временной сложностью, а для ее обозначения используют специальную нотацию.

Именно асимптотическая сложность определяет размер задач, которые алгоритм способен обработать. Например, если алгоритм обрабатывает входные данные размером за время cn², где c — некоторая константа, то говорят, что временная сложность такого алгоритма O(n²).

Часто, во время разработки алгоритма пытаются уменьшить асимптотическую временную сложность для наихудших случаев. На практике же бывают случаи, когда достаточным является алгоритм, который «обычно» работает быстро.

Грубо говоря, анализ средней асимптотической временной сложности можно разделить на два типа: аналитический и статистический. Аналитический метод дает более точные результаты, но сложен в использовании на практике. Зато статистический метод позволяет быстрее осуществлять анализ сложных задач^[19].

В следующей таблице приведены распространенные асимптотические сложности с комментариями^[20].

Сложность	Комментарий	Примеры
O(1)	Устойчивое время работы не зависит от размера задачи	Ожидаемое время поиска в в хеш-таблице
O(log log n)	Очень медленный рост необходимого времени	Ожидаемое время работы интерполирующего поиска n элементов
O(log n)	Логарифмический рост — удвоение размера задачи увеличивает время работы на постоянную величину	Вычисление xn; Двоичный поиск в массиве из n элементов
O(n)	Линейный рост — удвоение размера задачи удвоит и необходимое время	Сложение/вычитание чисел из n цифр; Линейный поиск в массиве из n элементов
O(n log n)	Линеаритмичный рост — удвоение размера задачи увеличит необходимое время чуть более чем вдвое	Сортировка слиянием или кучей n элементов; нижняя граница сортировки сопоставлением n элементов
O(n²)	Квадратичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в четыре раза	Элементарные алгоритмы сортировки
O(n³)	Кубичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в восемь раз	Обычное умножение матриц
O(cn)	Экспоненциальный рост — увеличение размера задачи на 1 приводит к c-кратному увеличению необходимого времени; удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в квадрат	Некоторые задачи коммивояжёра, алгоритмы поиска полным перебором

Наличие исходных данных и некоторого результата

Алгоритм — это точно определённая инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач. Так, алгоритм сложения применим к любой паре натуральных чисел. В этом выражается его свойство массовости, то есть возможности применять многократно один и тот же алгоритм для любой задачи одного класса.

Для разработки алгоритмов и программ используется алгоритмизация — процесс систематического составления алгоритмов для решения поставленных прикладных задач. Алгоритмизация считается обязательным этапом в процессе разработки программ и решении задач на ЭВМ. Именно для прикладных алгоритмов и программ принципиально важны детерминированность, результативность и массовость, а также правильность результатов решения поставленных задач.

Алгоритм — это понятное и точное предписание, исполнительно совершить последовательность действий, направленных на достижение цели.

Представление алгоритмов

Формы записи алгоритма:

• словесная или вербальная (языковая, формульно-словесная);
• дракон-схема;
• псевдокод (формальные алгоритмические языки);
• схематическая:
  • структурограммы (схемы Насси-Шнайдермана);
  • графическая (блок-схемы).

Обычно сначала (на уровне идеи) алгоритм описывается словами, но по мере приближения к реализации он обретает всё более формальные очертания и формулировку на языке, понятном исполнителю (например, машинный код).

Эффективность алгоритмов

Хотя в определении алгоритма требуется лишь конечность числа шагов, требуемых для достижения результата, на практике выполнение даже хотя бы миллиарда шагов является слишком медленным. Также обычно есть другие ограничения (на размер программы, на допустимые действия). В связи с этим вводят такие понятия как сложность алгоритма (временна́я, по размеру программы, вычислительная и др.).

Для каждой задачи может существовать множество алгоритмов, приводящих к цели. Увеличение эффективности алгоритмов составляет одну из задач современной информатики. В 50-х гг. XX века появилась даже отдельная её область — быстрые алгоритмы. В частности, в известной всем с детства задаче об умножении десятичных чисел обнаружился ряд алгоритмов, позволяющих существенно (в асимптотическом смысле) ускорить нахождение произведения. См. быстрое умножение

Ярким примером является алгоритм Чудновского для вычисления числа .

Пример

В качестве примера можно привести алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД). Назван в честь греческого математика Евклида; один из древнейших алгоритмов, который используют до сих пор^[21].

Описан в «Началах» Евклида (примерно 300 до н. э.), а именно в книгах VII и X. В седьмой книге описан алгоритм для целых чисел, а в десятой — для длин отрезков.

Существует несколько вариантов алгоритма, ниже записанный в псевдокоде рекурсивный вариант:

функция нод(a, b)
    если b = 0
       возврат a
    иначе
       возврат нод(b, a mod b)

НОД чисел 1599 и 650:

Шаг 1	1599 = 650*2 + 299
Шаг 2	650 = 299*2 + 52
Шаг 3	299 = 52*5 + 39
Шаг 4	52 = 39*1 + 13
Шаг 5	39 = 13*3 + 0

См. также

• Список алгоритмов
• Адаптивный алгоритм
• Метаалгоритм
• Теория алгоритмов

Примечания

Литература

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
• Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4

• Порублев Илья Николаевич, Ставровский Андрей Борисович. Алгоритмы и программы. Решение олимпиадных задач. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 480. — ISBN 978-5-8459-1244-2

• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стер.. — М.: ИЦ «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 5-7695-1363-2

Ссылки

	алгоритм в Викисловаре?
	Что такое алгоритм в Викиучебнике?

• «Слово „алгоритм“: происхождение и развитие», В. В. Шилов, Журнал «Потенциал» — источник исторических сведений.
• Алгоритмы, методы, исходники — сайт по алгоритмам и методам программирования
• Дискретная математика: Алгоритмы — список алгоритмов
• Юрий Лифшиц. Курс лекций Алгоритмы для Интернета
• Геометрические алгоритмы
• об алгоритме в энциклопедии «Кругосвет»
• Сборник алгоритмов на сайте e-maxx.ru

Что такое алгоритм?! Часть первая

Терзаем вместе основной кирпичик программиста — Алгоритм.

Проблема

Текущее состояние в области программирования — это обучение ремеслу по большей части личной практикой или разборами примеров стороннего кода, с которым по каким-то причинам приходится сталкиваться.

В результате программированию учишься по наитию. Лишь немного в этом труде помогают сборники алгоритмов, прикладных техник и шаблонов проектирования. Общая совокупность предлагаемых ими рецептов выстраивается длинным списком, и его длина грозит каждому из прочитанных приемов быть позабытым (как была забыта 53-яя личная группа в «телеге» до введения разбиения по каталогам). Но даже тот прием, который остался в памяти, чаще всего просто является описанием прикладной задачи, в которой было успешно его использование.

Почему конкретный прием был успешен в задаче-образце? Будет ли он успешен в твоём проекте? Какие признаки проекта дают понять, что использование приёма уместно?

В личном опыте существования в профессии не раз отмечено, что каждый Junior борется с одинаковыми ветряными мельницами и постигает методы создания программ основываясь только на своих ошибках. Но ведь такие ошибки совершили уже очень многие. Почему до сих пор не создана система правил программирования, которая поможет обойти новоиспеченному кораблю-программисту подводные прибрежные камни? Ну, например, объяснение вреда использования метода «Copy-Paste» для развития кода. Если такие правила получится объяснить малым набором причин, их сформировавшим, то это объяснение обеспечит их запоминание и последующее использование в практике, тем самым поможет уклониться от бесчисленных грабель, разложенных тут и там.

Для компактного и полезного набора объяснений нужно:

• систематизировать методы работы с кодом;
• разобрать по группам приёмы работы с алгоритмами, которые являются главной целью написания любого кода;
• выделить простые признаки применения шаблонов проектирования;
• разработать универсальные правила и наборы эффективных способов построения сложных алгоритмов.

Если обобщить, то нужны алгоритмы для написания и развития алгоритмов.

Задуманная серия статей не претендует на полное решение указанной проблемы. Предпринимается небесспорная попытка сделать первый шаг на пути к этому решению. Этот шаг состоит в выделении структуры и свойств главного кирпичика программиста — Алгоритма.

Задача

Сформулируем основную задачу, которую хочется решить. Для этого сначала запишем операции над алгоритмами, которые программист выполняет в ходе написания своего проекта:

• методы синтеза макро-алгоритма из под-алгоритмов (последовательной, параллельной и смешанной группировкой);
• методы структурной трансформации макро-алгоритмов (оптимизационной, специализирующей, стыковочной…);
• методы сохранения и переноса алгоритмов;
• методы синтеза универсального алгоритма из сходных алгоритмов разных областей исполнения;
• методы специализации универсального алгоритма в новой области исполнения;
• методы формирования и развития комплексной системы совместно работающих алгоритмов;
• методы взаимодействия одновременно исполняющихся алгоритмов;
• и другие методы, полный список которых привести сложно, да и нет необходимости.

Рассмотрим существующие на текущий момент варианты значения слова «алгоритм» в поисках подсказок, о том как можно работать с алгоритмами.

Так, например, формулировка «конечная совокупность точно заданных правил решения произвольного класса задач» говорит что есть возможность как-то «точно задать правила» из них собрать «совокупность» и этой совокупностью «решить» некоторый «класс задач».

Сразу возникает масса вопросов к этому определению:

• Что такое правило?
• Как, кому и для кого это правило можно задать?
• Что есть объединение совокупностью?
• Каким образом правила соотносятся с задачей?
• Что формирует класс задачи?
• Определяется ли способ формирования совокупности правилами и задачами?
• …

Другая формулировка «набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для решения некоторой задачи» говорит что есть «исполнитель», который может выполнять некоторые «действия», и при некотором «порядке» выполнения этих «действий» «решается задача». Вопросов не стало меньше:

• Какова структура набора?
• Какие есть варианты действий и исполнителей?
• Существуют ли минимально возможное действие, минимальный набор необходимых действий?
• Каким образом действия встроены в исполнителя?
• Какие есть способы создания копии исполнителя (например, если исполнитель — человек)?
• Как действия зависят друг от друга в упорядоченном выполнении?
• Что есть задача кроме того, что она выполняется последовательностью действий?
• Как задача соотносится с исполнителем и с действиями?
• Возможно ли использовать решение задачи в качестве действия?
• Какие возможны варианты указания порядка действий?
• Если воспроизведение патефоном записи звуков леса является алгоритмом, то какова структура этой задачи?
• Если репликация ДНК является алгоритмом, то каков её исполнитель?
• Если исполнителем является Машина Тьюринга, то как с её использованием решить механическую задачу, например, воспроизведение звука?

Перечислено много вопросов, но они мало помогают в поиске методов работы с алгоритмом. Поэтому поставим себе меньшую задачу, но тоже очень нам важную. Давайте попробуем сформулировать, что делает алгоритм способом решения наших задач, и какие процессы являются для него «действиями». Даже решение этой «маленькой» задачи оказывается очень объемным для одной статьи, поэтому будем его разбивать на части. И поэтому первую статью серии целиком посвятим только «Действию» и его признакам, которые опущены в указанных выше определениях алгоритма, но являются очень важными для ответов на все заданные вопросы.

Определение алгоритма

Рассмотрим определение алгоритма, говорящее, что он — приводящая к решению задачи последовательность действий. Как программисту мне приходится писать много кода. Этот код состоит из частей. Такими частями являются и функции, и классы, и модули. Когда я пишу текст функции — я занимаюсь написанием алгоритма.

Раньше алгоритм создавали в виде блок схем и полуавтоматически компилировали в машинные коды. Сейчас я избавлен от необходимости быть художником и компилятором для написания программы. Текст моей функции — это запись алгоритма в текстовом виде — его текстовая блок-схема. Здесь можно вспомнить Scratch, где используется визуальное создание блок-схемы алгоритма без написания текста. Способ записи алгоритма сейчас не так важен.

Важно, что в написании алгоритма функции я могу использовать вызовы других функции, которые я или другой программист уже написал до этого момента. Вспоминая фразу «последовательность действий, приводящая к решению задачи», можно отметить, что функции, написанные ранее, являются моими «действиями». То есть «действия» могут быть функциями. Если обобщать, то «действия» могут быть алгоритмами.

Если «действие = алгоритм», то определение можно попробовать переписать рекурсивно «алгоритм — это приводящая к решению задачи последовательность использования существующих алгоритмов». Рекурсивные определение не самое простое, что можно записать в словаре обычного человека. Но для программиста и математика эта форма знакома. Мы умеем с ней работать, и это даёт нам преимущество в рассмотрении разных задач, разбиваемых на подобные себе подзадачи. Так давайте воспользуемся этим преимуществом.

Чтобы разрешить рекурсию нам необходимо найти:

• терминальное условие выхода из рекурсии — минимальное неделимое «действие» (атомарный алгоритм), которое можно использовать в разработке алгоритма;
• способ перехода от текущего уровня рекурсии (набора «действий») к следующему уровню (алгоритму).

Действие

Для начала рассмотрим «действие» и попробуем найти причину, обеспечивающую возможность использования существующего «действия» для создания нового алгоритма.

Этой причиной является возможность повторного использования «действия» с получением тождественного результата. Только тогда разработанный с использованием этого «действия» алгоритм решения некоторой задачи будет одинаково решать эту задачу снова и снова. Мы нащупали важные законы нашего мира, в котором:

• существуют «действия», главным свойством которых является одинаковость результатов их исполнения в разные моменты времени и в разных местах,
• существует возможность создать такую схему использования нескольких «действий», которая сформирует из них новое «действие», которое мы назвали алгоритмом.

Какие признаки «действия» кроме повторимости делают возможным его использование в создании алгоритма? Что является терминальным неделимым «действием»? Чтобы ответить на этот вопрос стоит рассмотреть разные примеры «действий» из нашего опыта. Программисты встречали их много раз. Это и сложение, и умножение, и установка цвета пикселя на экране. Но мы знакомы с ними и вне программирования. Вся наука основывается на повторяемых явлениях.

Закон гравитации, описывающий повторяющееся явление падения яблока, тоже может стать действием. Ведь любое яблоко будет падать на землю? Значит этот процесс можно использовать в качестве «действия»! Например решая задачу прогнать Ньютона от яблони, на которую Вы случайно забрались ранее.

Рассмотрим, что происходит при выполнении «действия». Например, во время падения яблока с ветки яблони на землю. В этом процессе происходит несколько изменений. Если вспомнить школьную физику и рассмотреть ситуацию в системе отсчета, привязанной к Земле, то сила гравитации вызывает изменение скорости яблока, разгоняя его. При этом в процессе отмечается еще одно важное изменение — уменьшается расстояние между яблоком и Землей.

В рамках примера процесса «Земля-Яблоко» можно отметить у «действия» следующие признаки:

• наличие процесса изменения (расстояния и параметров движения объектов);
• наличие объектов, взаимодействие которых вызывает такие изменения;
• наличие локальности процесса, то есть существование значения расстояния между объектами, с превышением которого их взаимодействие перестает вызывать процесс изменения, что делает невозможным использование «действия» (Земля и гипотетическое яблоко, находящееся вне солнечной системы).

Рассмотрим с этими признаками разные области и процессы, выделяя в них примеры «действий» и контролируя особенности указанных признаков в описании структуры «действия».

Физические процессы

Для физических систем, процессы которых мы наблюдаем в нашем мире, характерные объекты и изменения опираются на фундаментальные взаимодействия и потому их достаточно просто выделить по аналогии с гравитационным взаимодействием Земли и яблока. Например, для системы из протона и электрона или системы двух протонов.

Отдельно от этих простых взаимодействий двух объектов стоят многокомпонентные процессы, например, ядерные реакции (по структуре «действия» близки к химическим процессам, рассматриваемым далее). Сложны и процессы описываемые суммарным взаимодействием большого числа элементов, например, «идеальный газ». Пока отложим их рассмотрение и сосредоточимся на самых простых примерах.

Химические процессы

Перейдем к следующей большой области — химическим процессам. Химические реакции (например, ) по признаку своей повторимости так же являются «действиями». Объектами в них являются атомы и молекулы. Для описания происходящих изменений необходимо немного преобразовать «физические» изменения. Так изменения параметров движения в совокупности дают нам изменение температуры в ходе химической реакции. А среди изменений расстояний между молекулами мы, игнорируя броуновское движение, можем выделить фиксацию расстояния в виде повторимого формирования и разрушения связей между частями взаимодействующих молекул. Локальность для химической реакции тоже существует — это отсутствие реакции при нахождении гидроксида натрия и соляной кислоты в разных пробирках и наличие реакции при соприкосновении веществ. Конечно, в «химической» области «действий» есть особенности не сводящиеся к молекулам, например, фотохимические реакции, где к объектам необходимо добавить фотоны. Самые простые процессы выбраны для рассмотрения намеренно.

Математические процессы

Следующей областью выберем «действия» из известных нам абстрактных алгоритмов. Самые яркие их представители — математические процессы. В этой области есть действительно «сложные случаи», но для этой статьи достаточно хорошо знакомых примеров. Рассмотрим в качестве «действия» достаточно элементарную операцию — сложение. А примером этого «действия» выберем сложение математиком двух целых чисел.

В ситуации с математиком можно выделить много объектов, но с точки зрения «действия» («сложение математиком двух целых чисел»), объекта всего три: это объект «математик», объект «первое число» и объект «второе число». В отличие от всех рассмотренных ранее объектов числа являются обозначениями, то есть виртуальными объектами. И их преобразование в алгоритме более сложно устроено нежели изменение расстояния и параметров движения объектов, как это было для «химических» действий. Подробности такого преобразования — это тема отдельной увлекательной статьи. А в рамках текущей рассмотрим древнего математика, который складывает числа, используя кучки камешков (рим. ‘calculi’), и более «современного» математика, использующего абак. Абстракции таких способов вычисления суммы не так далеко отошли от физических и химических процессов, поэтому структура процессов их «действий» полностью описывается изменениями расстояний и связей.

Интересно, что на примере древнего математика становится понятен смысл слова «сложить», которое отсылает нас к действию «класть» и к фразе «положить вместе».

Сложение и древний математик

Для математика, оперирующего камешками, сумма это «действие» со следующими характеристиками.

Исходные объекты:

• это сам «математик» (он взаимодействует со слагаемыми);
• лежащая отдельно кучка №1, содержащая и связывающая вместе камешки (подобно химическим связям), и обозначающая первое слагаемое;
• лежащая отдельно кучка камешков №2, обозначающая второе слагаемое.

Процессы:

• «математик» подходит к кучкам (физически изменяет расстояние между кучками и собой) и начинает с ними взаимодействие;
• «математик» объединяет две кучки (физически изменяет расстояние между двумя кучками или переносит все камешки одной кучки в другую, возможно, используя «действие» «Перенос по-одному» камешку)

Результирующие объекты:

• сформированная кучка камешков, обозначающая результат (сумму);
• «математик», отошедший от кучки результата и переставший на неё воздействовать.

Сложение и математик-абакист

У математика с абаком ситуация сложнее. Кучки разделены по значению на разрядные борозды.

Можно рассмотреть самый простой абак с двумя разрядами-бороздами. Пусть он будет десятичный. Тогда один камешек на борозде десятков соответствует десяти камешкам на борозде единиц. И 10 — это максимальное количество камешков на борозде единиц. По сравнению с действием первого математика меняется представление слагаемых. И в арсенале математика уже необходимы нескольких готовых «действий».

Действия:

• «Перенос по-одному» из борозды в борозду одинакового уровня (действие, позаимствованное у первого математика);
• «Перенос в десятки», которое необходимо выполнять, если борозда единиц полностью заполняется, тогда из неё убираются все камешки кроме одного, который переносится в борозду десятков.

Исходные объекты:

• это сам «математик» (он взаимодействует со слагаемыми);
• группа камешков №1, лежащих и удерживаемых двумя бороздами (единиц и десятков), и обозначающих первое слагаемое;
• группа камешков №2, лежащих и удерживаемых двумя бороздами (единиц и десятков), и обозначающих второе слагаемое;

Процессы:

• «математик» подходит к группам борозд (физически изменяет расстояние между ними и собой) и начинает с ними взаимодействие;
• «математик» объединяет камешки из двух борозд единиц (физически изменяет расстояние между камешками, разрушает связи со старой бороздой и создает связи с новой) с использованием действий «Перенос по-одному» и «Перенос в десятки»;
• «математик» объединяет камешки из двух борозд десятков с использованием действия «Перенос по-одному»

Результирующие объекты:

• сформированная группа камешков в двух бороздах (единиц и десятков), обозначающая результат (сумму);
• «математик», отошедший от группы камешков результата и переставший на них воздействовать.

Локальность в этих математических «действиях» описывается отсутствием взаимодействия двух слагаемых, находящихся далеко от математика, и запуском процессов сложения когда все три объекта сложения «близко». Повторяемое изменение в математическом «действии» выражается в изменении связей между камнями и удерживающими их локациями (кучками, бороздами).

Сложение и машина Тьюринга

Можно пойти чуть дальше и заменить математика в таких «действиях» на «управляющее устройство» машины Тьюринга. Тогда «ячейки ленты» машины Тьюринга будут содержать слагаемые.

При этом остаётся и признак локальности как возможность взаимодействия управляющего устройства только с текущей ячейкой ленты, и признак изменения параметров объектов, который можно описать как изменение состояния ячеек.

Подробное описание исходных и результирующих состояний объектов, а так же «действий» производящих эти изменения для сложения, исполняемого машиной Тьюринга, оставим за рамками этой статьи. Но упомянем, что перейдя к машине мы снижаем требования к исполнителю «действия», что является главным способом для создания формальных методов работы с алгоритмом. Можно поставить себе целью упрощение каждой составляющей алгоритма до состояния, когда её выполнение можно будет поручить компьютеру. Тогда в определении алгоритма не останется тёмных мест, и многочисленные вопросы, перечисленные в начале, найдут свои ответы. Пока формализован только исполнитель. Скажем спасибо за это Тьюрингу и вспомним про «действие», формализация которого уже на пороге.

Выводы

Соберём всё, что мы отметили рассматривая разные примеры «действия»:

• «действие» можно использовать для создания алгоритма;
• «действие» может быть элементарным;
• «действие» может быть реализовано алгоритмом;
• в «действии» обязательно участвует некоторый объект или группа объектов;
• для группы объектов «действие» происходит только тогда, когда эти объекты «достаточно близко»;
• в действии изменяются связи и параметры объектов (включая параметры их движения);
• «действие» всегда и обязательно должно быть повторимо.

Признак Повторимости помогает нам в создании наших алгоритмов. С его использованием мы из всех процессов выделяем те, что являются «действием» и на их основе создаём новые алгоритмы. Более того этот признак достаточно прост и на основе его формализации можно снизить требования к системе обнаруживающей и создающей «действия» и поручить это нашему компьютеру.

Следующая статья серии (Часть 2) будет посвящена рассмотрению способов, с использованием которых «действия» могут быть сгруппированы в алгоритм. Этих способов достаточно много и есть предпосылки, что их описание не получится уместить в одну статью. Напишем — увидим.

Спасибо Вам за внимание.

Отзывы

Буду очень благодарен за отзывы и предложения, так как они помогают мне скорректировать направление развития работы в области.

Отдельное волнение у меня есть по стилю и форматированию, используемым в статье (кавычки, абзацы, курсив). Напишите, пожалуйста, если у Вас есть замечания к ним. Можно личным сообщением.

Ссылки

• Главная страница и теория работы (GitLab GPL): Проект «Общая теория алгоритмов»
• Вводная статья работы «Разрабатываем теорию алгоритмов как проект с открытым исходным кодом». Пожалуйста, не судите строго эту наивную публикацию «сверх-идеи» устаревшей версии 2019 года.
• Статьи серии «Что такое алгоритм?!»
  • №1 «Действие» (текущая)
  • №2 «Жизнь»
  • №3 «Синтез алгоритма запоминанием»
  • №3.1 «Эволюция памяти»
  • №3.14 «Обучение»
  • №5 «Эволюция поведения»
  • №4 «Математика»
  • №4.0 «Физика»
  • №3.25 «Язык»
  • №5.0 «Философия»
  • №5.00 «Искусственный интеллект»
• Статьи в хабе «Программирование»:
  • Детская сказка программисту на ночь
  • Эволюция программного проекта и ООП
  • Как не понимать принципы развития архитектуры SOLID
• Все рисунки к статье (кроме заглавного) сформированы сообществом Wikipedia. Лицензия (Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International)

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Алгори́тм — это точный набор инструкций, описывающих порядок действий некоторого исполнителя для достижения результата, решения некоторой задачи за конечное время.

Общие определения

Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет.
Наиболее известные варианты определения опираются на интуитивное понятие «задачи»:

• Алгоритм — это конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и обладает пятью важными чертами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность (Д. Э. Кнут).
• Алгоритм — это всякая система вычислений, выполняемых по строго определённым правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи (А. Н. Колмогоров).
• Алгоритм — это последовательность действий, либо приводящяя к решению задачи, либо поясняющая, почему это решение получить нельзя.

Формальные признаки алгоритмов

• Детерминированность: в каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием исполнителя. Алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных.
• Понятность: алгоритм должен включать только команды из заранее оговоренной системы команд исполнителя.
• Завершаемость (конечность): при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов.
• Массовость: алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

Алгоритмы анализа данных

В анализе данных под алгоритмом понимается функция,
преобразующая входные данные в выходные данные,
эффективно вычислимая на компьютере за конечное время,
точнее, за приемлемо малое для данной задачи время.

В машинном обучении понятие алгоритм может употреблять в трёх смыслах.

Литература

1. Рудаков, К. В. Алгебраическая теория универсальных и локальных ограничений для алгоритмов распознавания: Дис. док. физ.-мат. наук: 05-13-17. — Вычислительный центр АН СССР, 1992. — 274 с.  (подробнее)

Ссылки

• Алгоритм — Википедия (русский).
• Algorithm — Wikipedia (english).

Человеку в жизни
приходится решать множество разнообразных
задач. Простые задачи имеют простое
решение, а для решения сложных задач
используются различные приемы, способы,
системы и т.п. Понятие «алгоритм»
связано, как правило, с решением сложных
задач, требующих привлечения вычислительной
техники. Вместе с тем, это понятие можно
использовать и при описании простых
операций и решений.

Примеры простых
решений, в которых используются
алгоритмические подходы:

• рецепты
  кулинарной книги;

• порядок
  автоматической стирки;

• кипячение
  воды в чайнике.

Понятие «алгоритм»
связано, как правило, с решением сложных
задач, требующих привлечения вычислительной
техники.

Алгоритм
– набор инструкций, описывающих порядок
действий исполнителя для достижения
результата решения задачи за конечное
время⁸.

Алгоритм
– это конечный набор правил, позволяющих
чисто механически решать любую конкретную
задачу из некоторого класса однотипных
задач⁹.

Различают процессы
создания и реализации алгоритмов.

Создание
алгоритма
– творческий
процесс, выполняемый специалистом в
области разработки алгоритмов.

Реализация
– процесс
выполнения предписанных команд формальным
исполнителем, к которым, в первую очередь,
относятся различные автоматические
устройства, в том числе, вычислительная
техника.

Формальный
исполнитель не вникает в смысл того,
что он делает, но получает при этом
необходимый результат. Строгое выполнение
последовательности операций с отвлечением
исполнителя от содержания поставленной
задачи выражается в особенности, которая
называется формальностью
алгоритма.

Алгоритм –
искусственная конструкция,
которая строится по определенным
правилам и характеризуется конкретными
свойствами.

1. Дискретность.
   Одно из свойств алгоритма, которое
   выражается в разбиении описываемого
   процесса на последовательность отдельных
   шагов или команд. Совокупность отдельных
   шагов образует дискретную
   структуру алгоритма.

2. Понятность.
   Для создания алгоритма могут быть
   использованы только те команды, которые
   исполнитель понимает и может выполнить.
   Другими словами, алгоритм должен
   состоять из команд, которые имеются в
   системе
   команд исполнителя.

3. Определённость
   или
   детерминированность.
   При разработке
   алгоритма не могут быть использованы
   команды, смысл которых воспринимается
   исполнителем неоднозначно. Иначе
   говоря, алгоритм не должен оставлять
   места для произвола исполнителя.

4. Результативность.
   Процесс, описываемый алгоритмом, должен
   прекратиться за конечное число шагов
   с получением определённого результата.

5. Массовость.
   Чаще всего алгоритмы обеспечивают
   решение не одной конкретной задачи, а
   некоторого класса задач данного типа.
   Это свойство позволяет выделять область
   применимости алгоритма.

Из перечисленных
свойств вытекают
правила построения алгоритма, которые
выражаются в следующем.

1. Алгоритм приступает
   к работе с набором данных, которые
   называются входными,
   в результате
   работы выдает данные, которые называются
   выходными.
   Таким
   образом,
   алгоритм
   преобразует
   входные данные в выходные.

Это правило
позволяет сразу отделить алгоритмы от
«методов» и «способов». Пока
мы не имеем формализованных входных
данных, мы не можем построить алгоритм.

1. Для работы
   алгоритма требуется дискретная память,
   в ячейках
   которой размещаются входные данные, а
   также промежуточные и выходные данные,
   которые являются результатом работы
   алгоритма.

2. Алгоритм
   строится из отдельных шагов, действий,
   операций или команд, при
   этом множество шагов алгоритма всегда
   конечно.

3. После каждого
   шага необходимо
   указывать, какой шаг в алгоритме
   выполняется следующим, либо
   давать команду на остановку.

4. Алгоритм должен
   завершать работу после конечного числа
   шагов.
   При этом
   необходимо указывать,
   что считать результатом работы
   алгоритма.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #