Прикладная механика руководство к решению задач

Прежде чем изучать готовые решения задачи по прикладной механике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «прикладная механика», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Прикладная механика

Прикладная механика – это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Прикладная механика относится к ряду естественных наук, т.е. наук о природе. Это наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и возникающих при этом взаимодействиях между телами.

Основные положения статики. Плоская система сходящихся сил

Решение задач статики возможно лишь после того, как хорошо изучены аксиомы статики.

Аксиомы статики — это основные положения, на которых основана теория равновесия. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к телу.

Особое внимание следует обратить на аксиому о равенстве сил действия и противодействия. Эта аксиома рассматривает взаимодействие двух сил. Сила действия приложена к одному телу, а сила противодействия — к другому, поэтому они не могут уравновешиваться, так как эффект действия сил различен для каждого тела. На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия опоры тел или, как говорят, их связи, можно заменить силами. Одной из важнейших задач при этом является умение правильно определить направление силы реакции опоры. Для этого нужно внимательно разобраться в устройстве той или иной опоры и схематически изобразить опорные поверхности.

Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь, ремень). Реакции и направлены вдоль нити к точке подвеса (рис. 1.1).

Невесомый жесткий стержень. Невесомым называется стержень, массой которого можно пренебречь. Связь осуществляется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены шарнирно, например, как стержни и на рис. 1.2. Реакции и направлены вдоль прямой, соединяющей центры шарниров.

Гладкая поверхность. Поверхности называют гладкими, если силами трения, возникающими в точках их контакта, можно пренебречь. Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям тел в точке их касания и приложена в той же точке (рис. 1.3, а).

Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция ( или ) направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.3, б).

Шероховатая поверхность (рис. 1.4). Направление реакции такой связи заранее неизвестно, поэтому обычно определяют две ее составляющие: нормальную реакцию и касательную — силу трения

Сила трения действует в плоскости, касательной к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта, и направлена в сторону, противоположную той, куда активные силы стремятся сдвинуть тело. Сила трения может принимать любые значения от нуля до максимального значения, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

Максимальная сила трения скольжения равна произведению статического коэффициента трения на нормальную реакцию:

При скольжении одного тела по поверхности другого сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения. и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальную реакцию:

Значения коэффициентов трения для различных материалов приводятся в справочниках.

При практических расчетах рассматривают предельное равновесие тела, когда сила трения равна . При этом уравнения равновесия дополняют равенством (1.1).

Определив реакции связей из уравнений равновесия тела, получают исходные данные, необходимые, например, для расчета элементов конструкции на прочность.

Заделки. Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.5, а), исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом. При действии па балку плоской системы сил в заделке возникают пара сил с реактивным моментом и произвольно направленная реакция с составляющими и .

Скользящая заделка (рис. 1.5, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы и пары сил с моментом .

Свободная заделка (рис. 1.5, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их поворота. Поэтому, если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент .

Подвижный шарнир (шарнирно-подвижная опора). Нижняя обойма в опоре (рис. 1.6, а) установлена на цилиндрические катки. Поэтому балка имеет возможность поворачиваться относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

Условные изображения шарнирно-подвижной опоры показаны на рис. 1.6, б.

Неподвижный шарнир (шарнирно-неподвижная опора). Такая опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.7, а) закреплена на балке , а другая — на неподвижном основании. Кроме того, шарнирное соединение может выполняться с помощью пальца , вставленного в цилиндрические отверстия стержня и опоры (рис. 1.7, б). Балка и стержень могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены.

Направление реакции связи заранее неизвестно. Реакция связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям:

Условные изображения шарнирно-неподвижной опоры показаны на рис. 1.7, в.

Решение задач на равновесие геометрическим методом — построением силовых многоугольников — целесообразно лишь в том случае, если к телу приложено не более трех сил. Более удобным и универсальным методом решения задач на равновесие является аналитический метод. Он основан на составлении и решении уравнений равновесия. Для равновесия плоской системы сходящихся сил достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил па каждую ось координат равнялась нулю:

В различных учебниках можно встретить и другие формы записи этих же уравнений. Например:

В Международной системе единиц силы измеряются в ныотопах (Н). В ряде учебников и другой технической литературе встречается и другая единица измерения — килограмм-сила (кгс). В этом случае, при необходимости, приходится делать перевод старых единиц измерения в единицы СИ, пользуясь следующими соотношениями:

Напоминаем, что проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус ее острого угла с осью (рис. 1.8). Знак проекции определяется совпадением направлений проекции и оси (направление проекции — от к ).

Обращаем внимание на возможность упростить решение подобных задач путем рационального выбора направления координатных осей.

Решив задачу аналитическим методом, следует затем проверить правильность решения:

а) с помощью графоаналитического метода (если система состоит из трех сил);

б) с помощью графического метода (если в системе более трех сил).

Определение усилий в стержнях фермы по способу вырезания узлов

Этот способ состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Так как в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты и какие сжаты, то условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в результате вычислений получают ответ со знаком «минус», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия сил (двух для плоской фермы и трех для пространственной). Тогда эти неизвестные определяются сразу из уравнений равновесия сил, действующих на этот узел.

Если ферма плоская, то можно проверить правильность вычислений, построив многоугольники сил, приложенных к ее узлам. Эти многоугольники должны быть замкнутыми.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться равными нулю. Такие стержни принято называть нулевыми. Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся и два стержня, то усилия в этих стержнях равны пулю (рис. 1.9):

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 1.10).

Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.11):

Задачи с решением №1:

• Задача №1. Стержни и (рис. 1.17, а) соединены между собой шарниром , а с вертикальной стеной — посредством шарниров и . В шарнире приложена сила =1260 Н. Требуется определить реакции и стержней, действующие на шарнир , если .
• Задача №2. К вертикальной стене на тросе подвешен шар с центром (рис. 1.18, а) и весом = 120 Н. Трос составляет со стеной угол . Определить реакции натяжения троса и давления шара в точке стены .
• Задача №3. Два жестких стержня и АС имеют общую шарнирную точку и шарнирные опоры и (рис. 1.19, а). Сила = 500 Н приложена к шарнирному валику в точке . Стержни и образуют углы по 30° с линией действия силы . Определить усилия в стержнях.
• Задача №4. Определить силы, нагружающие стержни и кронштейна, удерживающего в равновесии груз = 6 кН и растянутую пружину, сила упругости которой = 2 кН. Весом частей конструкции, а также трением на блоке пренебречь (рис. 1.20, а).
• Задача №5. Определить силу натяжения троса, удерживающего в равновесии шар весом = 20 Н, а также силу давления шара на наклонную опорную плоскость (рис. 1.21, а).
• Задача №6. Определить усилия в стержнях и (рис. 1.22, а), если сила , действующая на шарнир , равна 50 кН; вес груза
• Задача №7. Определить силу давления ступенчатой колонны (рис. 1.23, а) на горизонтальную опору и силы взаимодействия частей колонны по сечению . Сила тяжести (вес) верхней части колонны = 30 кН, нижней = 60 кН.
• Задача №8. Определить опорные реакции, возникающие при действии па брус силы =50 кН (силой тяжести бруса можно пренебречь). Расстояние между опорами = 2 м. Сила приложена посредине между опорами под углом 45° к оси бруса в точке (рис. 1.24, а).
• Задача №9. Определить реакции стержней и , общий шарнир которых нагружен, как показано на рис. 1.25
• Задача №10 (рис. 1.26, а). Определить силу , при которой цилиндр весом 500 Н начнет вкатываться на наклонную плоскость, а также реакцию наклонной плоскости. Трением пренебречь. Указание: в момент начала вкатывания цилиндр отрывается от горизонтальной опорной плоскости.
• Задача №11 (рис. 1.27, а). Кулачковый механизм состоит из кулачка треугольной формы, движущегося равномерно под действием силы = 80 Н и получающего вертикальное перемещение толкателя с роликом па конце. В данном положении механизма ролик касается гипотенузы в ее середине. Определить реакцию горизонтальной опорной поверхности и силу давления кулачка на ролик. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №12 (рис. 1.28, а). Груз = 17 кН равномерно поднимается с помощью троса, перекинутого через блок и наматываемого на барабан лебедки. Определить силы, нагружающие стержни и кронштейна. Радиусом блока, весом частей конструкции и трением на блоке пренебречь.
• Задача №13 Под действием расположенной параллельно наклонной плоскости сжатой пружины, сила упругости которой равна 3 Н, шарик перекрывает проходное отверстие пневматического клапана. Определить силу давления сжатого воздуха, при которой проходное отверстие откроется, а также реакцию наклонной опорной поверхности. Весом частей механизма, а также трением пренебречь. Указание: в момент начала отжатия шарик отрывается от стенок проходного отверстия.
• Задача №14 (рис. 1.30, а). Груз весом с помощью наматываемого на барабан троса равномерно перемещается вниз по наклонной плоскости. Приняв силу сопротивления движению (силу трения) , определить силу натяжения троса, а также нормальную реакцию опорной плоскости.
• Задача №15 (рис. 1.31, а). Определить силы, нагружающие стержни и кронштейна, удерживающего груз F = 11 кН. Весом частей конструкции пренебречь.
• Задача №16 (рис. 1.32, а). Из-за разной длины стропильных тросов и равномерный подъем трубы весом 3 кН происходит с перекосом, причем трос оказался расположенным горизонтально. Определить силы натяжения стропильных тросов. Указание: центр тяжести трубы лежит па вертикали, проходящей через точку .
• Задача №17 (рис. 1.33, а). С помощью опорного троса и двух блоков удерживаются в равновесии три груза. Определить вес груза и силу натяжения опорного троса, если = 5 кН и = 7 кН. Трением на блоках пренебречь.
• Задача №18 (рис. 1.34, а). Тело весом = 4 Н под действием горизонтальной силы равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости. Приняв силу сопротивления движению (силу трения) , определить значение силы F, а также нормальную реакцию опорной плоскости.
• Задача №19 (рис. 1.35, а). Четыре стержня, приваренные к косынке, образуют узел фермы строительной конструкции. Стержень 2 расположен вертикально. Силы в стержнях 1 и 2 известны и равны соответственно = 12 кН и = 7 кН. Определить силы и в стержнях 3 и 4. Весом частей конструкции пренебречь.
• Задача №20. Определить по способу вырезания узлов усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 1.36, а, если к узлу фермы приложена вертикальная сила = 60 кН.
• Задача №21. Пример имеет своим прототипом схему по расчёту усилий в раскосах и поясах мачтовых опор ЛЭП. Для фермы (рис. 1.37, а) определить усилия в стержнях, если в узле приложена сила = 1800 Н, в узле — сила 2, а угол = 37°
• Задача №22. Применить леммы о нулевых стержнях к определению незагруженных стержней ферм, изображенных вместе с действующими на них внешними силами и реакциями опор (рис. 1.41 — 1.45).

Теория пар сил

Действие пары сил на тело (рис. 2.1) нужно знать хорошо, так как с эффектом действия на тело пары сил приходится встречаться довольно часто. Пары сил возникают не только при непосредственном приложении к телу двух равных по величине и противоположно направленных параллельных сил, но и как результат приведения произвольно расположенных сил к силе и паре сил. Такое преобразование сил приходится производить при решении многих задач.

Пара сил производит на тело вращательное действие. Вращательный эффект пары определяется произведением модуля одной из сил па её плечо:

Знак «плюс» принимается (рис. 2.2), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки.

Из определения момента пары сил следует, что можно:

• как угодно переносить и поворачивать пару сил в плоскости ее действия;
• перемещать ее в любую параллельную плоскость;
• не нарушая состояния тела, изменять одновременно силы и плечо пары так, чтобы момент пары оставался постоянным:

• несколько пар сил с моментами , произвольно

расположенных в пространстве, заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов всех пар сил:

Отметим, что пара сил может быть уравновешена только парой сил.

Для уравновешенности системы п пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов этих пар была равна нулю:

Обозначения моментов следует уточнить, а именно: — момент изгибающий, — момент крутящий.

Задачи с решением №2:

• Задача №23. Определить крутящие моменты в сечениях вала, расчетная схема которого показана на рис. 2.5,а. Вращающие моменты равны:
• Задача №24. Определить опорные реакции балки (рис.2.6,а), концы которой шарнирно закреплены. Балка нагружена парой сил с моментом
• Задача №25. Брус с левой шарнирно-подвижной опорой и правой шарнирно-неподвижной нагружен тремя парами сил (рис. 2.7), моменты которых
• Задача №26. Груз весом = 500 Н подвешен к канату, намотанному на барабан радиусом = 0,1 м. Барабан удерживается парой сил, приложенных к концам рукоятки длиной = 1,25 м, скрепленной с барабаном и лежащей в одной плоскости с веревкой. Определить реакцию оси барабана и силы пары , если они перпендикулярны к рукоятке (рис. 2.8, а).
• Задача №27. Балка длиной = 10 м имеет шарнирно-неподвижную опору и шарнирно-подвижную опору с наклонной опорной плоскостью, составляющей с горизонтом угол = 30°. На балку действуют три пары сил, лежащие в одной плоскости, абсолютные величины моментов которых
• Задача №28. Два диска диаметрами = 200 мм и = 100 мм закреплены на валу (рис. 2.10). Ось вала перпендикулярна их плоскости. Диски вращаются с постоянной угловой скоростью. Силы и расположены в плоскости дисков и направлены по касательной к ним. Определить силу , если =500 Н.
• Задача №29. К прямоугольному параллелепипеду, длина ребер которого приложены три взаимно уравновешивающиеся пары сил Силы первой пары имеют модуль Определить модули остальных сил (рис. 2.11).
• Задача №30.Концы балки шарнирно закреплены в точках и (рис. 2.12, а). К балке приложены пары сил, моменты которых Ось балки совпадает с плоскостью действия пары сил. Расстояние между опорами = 3 м. Определить опорные реакции балки, не учитывая силу тяжести балки.
• Задача №31. Вал, на котором закреплены три зубчатых колеса, вращается вокруг неподвижной оси. Силы и расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и направлены по касательным к окружностям зубчатых колес, как схематически показано на рис. 2.13.
• Задача №32. Груз при помощи рычага создает прижимное усилие на деталь (рис. 2.14, а). Плечи рычага Определить силу тяжести груза, если прижимное усилие равно 400 Н.
• Задача №33. Определить прижимное усилие на деталь (рис. 2.15, а), создаваемое при помощи рычага и груза = 300 Н. Отношение плеч рычага
• Задача №34. Три диска жестко закреплены на валу (рис. 2.16, а). Ведущий диск 1 передает момент =400 Н м. Момент, приложенный к ведомому диску 2, = 200 Нм. Определить величину и направление момента на диске 3 при условии, что вал вращается равномерно. Вычислить также окружные силы и , приложенные к соответствующим дискам. Эти силы направлены по касательным к окружности диска и расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вала.
• Задача №35. К стержню, опирающемуся в точках и (рис. 2.17, а), приложены две пары сил, моменты которых =6 кН-м и = 18 кН-м. Расстояние = 0,4 м. Определить реакции упоров и , не учитывая силы тяжести стержня. Плоскость действия пар сил совпадает с осью стержня.
• Задача №36. На рычаг в точке действует сила = 250 Н (рис. 2.18, а). Определить силу, приложенную к тормозным дискам в точке , если длина рычага = 900 мм, расстояние = 600 мм.
• Задача №37. Колодочный тормоз удерживает в покое вал, к которому приложена пара сил с моментом = 800 Н м. Диаметр тормозного диска = 400 мм (рис. 2.19, а). Определить, с какой силой надо прижимать колодки к тормозному диску, чтобы вал оставался в покое. Коэффициент трения покоя между тормозным диском и колодками принять = 0,15.
• Задача №38. На валу жестко закреплены два диска диаметрами (рис. 2.20, а). К первому диску приложена сила = 500 Н. Линия действия силы расположена в плоскости, перпендикулярной оси вала. Определить величину и направление силы, которую надо приложить ко второму диску, чтобы вал вращался равномерно. Вычислить вращающие моменты на каждом диске.
• Задача №39 (рис. 2.21, а). Груз = 11 кН, поднятый с помощью троса, намотанного на барабан диаметром =0,14 м, удерживается в покое храповым механизмом, состоящим из зубчатого колеса с расчётным диаметром = 0,24 м и упорного рычага. Весом частей механизма, а также трением пренебречь. Определить силу, нагружающую упорный рычаг.
• Задача №40 (рис. 2.22, а). Сила, приложенная человеком к концу рукоятки ручного рычажного пресса, равна = 120 Н. Определить силу давления поршня на прессуемый материал. Крепление в точках и шарнирное. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №41 (рис. 2.23, а). В лентопротяжном механизме прибора лента держится в натянутом состоянии с помощью двуплечего рычага . На одном конце рычага расположен нажимной ролик, другой конец оттянут пружинной лентой с силой упругости 4 Н. Определить силу давления ролика па ленту, считая, что общая нормаль в точке их касания расположена вертикально. Припять = 50 мм и с = 10 мм. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №42 (рис. 2.24). Груз весом 950 Н равномерно поднимается при помощи ворота, состоящего из барабана диаметром 0,14 м и рукоятки с плечом 0,4 м. Для данного положения механизма определить силу , прикладываемую рабочим, считая ее направленной вертикально. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №43 (рис. 2.25, а). Для перевода однородной колонны из горизонтального положения в вертикальное один ее конец зацепили тросом подъемного крана, а к другому концу приставили упор. Определить силу натяжения троса в момент начала подъема колонны, если ее вес 3 кН и длина 4 м.
• Задача №44 (рис. 2.26, а). Под действием передаваемого зубчатым колесом вращающего момента = 5 Н-м вал с насаженным на него кулачком равномерно вращается. Кулачок, надавливая на тарельчатый конец подпружиненного толкателя, сообщает ему вертикальное перемещение. Для данного положения кулачкового механизма определить силу упругости сжатой пружины, если плечо кулачка = 40 мм. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №45 (рис. 2.27, а). В измерительном приборе рычаг , несущий груз весом 1,2 Н, удерживается в горизонтальном положении с помощью растянутой пружины. Определить силу упругости пружины.
• Задача №46 (рис. 2.28, а). Поплавковый регулятор уровня, состоящий из двуплечего рычага с поплавком и запирающего трубопровод клапана , служит для перекрытия трубопровода в момент заполнения бака водой. В этот момент плечо рычага располагается горизонтально.
• Задача №47 (рис. 2.29, а). Кулачковый механизм состоит из кулачка, равномерно вращающегося под действием момента =0,8 кН м, и горизонтально перемещающегося подпружиненного толкателя. Для данного положения механизма определить силу давления кулачка на толкатель, если плечо кулачка = 30 мм. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №48. (рис. 2.30, а). Для данного положения заводной рукоятки автомобиля определить силу давления человека на рукоятку , считая ее приложенной вертикально. Припять плечо рукоятки = 0,24 м, плечо крестовицы = 50 мм и силу сопротивления на крестовине = 1,2 кН. Вращение рукоятки считать равномерным. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №49. Для предохранения воздухопровода от повышения давления сверх расчетного установлен предохранительный клапан (рис. 2.31, а). Прижимное усилие па клапан создается грузом и рычагом . Определить, какой груз надо повесить в точке , чтобы клапан открывался при избыточном давлении в сети . Диаметр клапана = 50 мм. Длина рычага = 800 мм, расстояние = 100 мм.

Плоская система произвольно расположенных сил. Момент силы относительно точки

Моментом силы (рис. 3.1) относительно точки или некоторого центра называется величина, равная произведению радиуса-вектора , проведенного из данной точки в точку приложения силы, на эту силу:

Момент силы относительно заданной точки является мерой вращательного действия этой силы на тело.

Расстояние от точки до линии действия силы называется плечом силы и обозначается .

Если действующие силы находятся в одной плоскости, то моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на плечо, т. е. на длину перпендикуляра, восстановленного из точки, относительно которой берется момент, к линии действия силы. Момент принято считать положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки (рис. 3.2, а), и отрицательным (рис. 3.2, б), если вращение направлено в противоположную сторону.

Необходимо отметить следующее:

Равновесие твёрдых тел под действием ПСПРС

До сих пор были рассмотрены частные случаи равновесия сил:

а) когда к телу приложены силы, направленные по одной прямой;

б) когда к телу приложено несколько сил, но линии их действия обязательно пересекались в одной точке;

в) когда к телу приложены пары силы.

В реальных условиях тело может находиться в равновесии под действием произвольно расположенной системы сил (рис. 3.3). Условием равновесия является равенство нулю главного момента и главного вектора. На основании этого условия можно составить три уравнения равновесия сил, расположенных в одной плоскости. В зависимости от конкретных условий задачи эти три уравнения могут быть составлены по-разному.

Поясним это следующим примером. На рис. 3.4 показана балка, нагруженная силами . Требуется определить опорные реакции .

Составим уравнения равновесия:

Уравнения равновесия можно было бы составить следующим образом:

Первый вид уравнений (3.1) более выгодный для решения задач, так как в каждое уравнение входит только одна неизвестная сила, которая может быть определена независимо от других неизвестных сил. Существует третий вид уравнений (уравнения трёх моментов):

здесь любые три точки не должны лежать на одной прямой.

При решении задач па равновесие рекомендуется соблюдать последовательность действий, указанную в табл. 3.1.

Плоская система параллельных сил (рис. 3.5). Пусть линии действия всех сил параллельны оси . Тогда уравнения равновесия записываются в виде

или

причём точки и не должны лежать на прямой, параллельной векторам сил.

Статически определимые и статически неопределимые задачи

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически неопределимыми называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

К статически неопределимым задачам относятся задачи по определению реакций опор составных конструкций (рис. 3.6).

План решения задачи на определение реакций опор составной конструкции:

• К конструкции прикладывают все задаваемые силы.
• Отбрасывают внешние связи, заменяя их соответствующими реакциями.
• Заметив, что число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для полученной системы сил, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние связи соответствующими реакциями (рис. 3.7).
• Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций внешних и внутренних связей.
• Сопоставляя общее число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия сил, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, является ли задача статически определимой.
• Составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу

• Если задача статически определима, то, решая полученную систему уравнений, определяют все неизвестные величины.

Определение усилий в стержнях по способу Риттера

Используем метод сечений для нахождения усилий в стержнях плоских ферм. Рассмотрим ферму, изображённую на рис. 3.8. На ферму действуют вертикальные внешние силы: реакции опор = 40 кН и = 20 кН и нагрузка = 60 кН.

При определении усилий все стержни фермы условимся считать растянутыми, знак «минус» в ответе будет означать, что стержень сжат. Допустим, требуется определить усилие в стержне 6 фермы. Для этого проводим сечение I-I, рассекая не более трех стержней, в том числе стержень 6, усилие в котором определяется. Мысленно отбрасываем левую часть фермы, заменяя ее действие на оставшуюся правую часть усилиями и , приложенными в соответствующих сечениях стержней и направленными в сторону отброшенной части (рис. 3.9).

Чтобы определить усилие независимо от усилий и , составляем уравнение моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки , в которой пересекаются линии действия сил и . Эту точку называют точкой Риттера:

Так как

то

Воспользуемся тем же сечением для определения усилия независимо от усилий и . Спроецируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось , так как проекции сил и на эту ось равны нулю:

Для определения усилия составим уравнение моментов этих же сил относительно точки Риттера , в которой пересекаются линии действия сил и :

Знаки полученных ответов показывают, что стержень 6 растянут, а стержни 7 и 8 сжаты.

Такой способ определения усилий в стержнях фермы предложен Риттером и носит название способа Риттера.

Задачи с решением №3:

• Задача №50. Горизонтальная балка и рама, длина которой равна , у одного конца закреплена шарнирно, а у другого конца подвешена к стене посредством тяги , угол наклона которой к балке равен . По балке перемещается груз , положение которого определяется переменным расстоянием от шарнира . Определить натяжение , тяги в зависимости от положения груза. Весом балки пренебречь (рис. 3.11).
• Задача №51. С помощью рычага-гвоздодера из деревянного бруса вытаскивают гвоздь (рис. 3.12, а). Какой должна быть сила , прикладываемая рабочим в начальный момент отжимания гвоздя, если сила сопротивления движению гвоздя составляет 1730 Н?
• Задача №52. Телескопическая стрела автокрана (рис. 3.13, а) весом = 4 кН с центром тяжести в точке песет на конце груз = 15 кН. Стрела удерживается в равновесии с помощью гидравлического домкрата.
• Задача №53. Однородная балка (рис. 3.14, а), сила тяжести которой 2 кН, закреплена в точке с помощью шарнирно-неподвижной опоры и опирается в точке на ребро стены.
• Задача №54. Однородная балка (рис. 3.15, а), сила тяжести которой = 600 Н, прикреплена к полу в точке с помощью шарнирно-неподвижной опоры; в точке поддерживается стержнем, имеющим па концах шарниры. К концу балки прикреплена веревка, перекинутая через блок и несущая груз = 200 Н.
• Задача №55. Брус (рис. 3.16, а) шарнирно закреплен в точке , а в точке опирается па выступ стенки, образуя с горизонтальной плоскостью угол 30°. В точке на расстоянии = 1 м брус нагружен перпендикулярной к нему силой = 800 Н. Определить реакцию шарнира и выступа, если = 2,4 м.
• Задача №56. Однородный брус весом = 16 Н опирается концом па гладкий горизонтальный пол и промежуточной точкой на ребро . Брус удерживается под углом = 60° к горизонтали веревкой , перпендикулярной к оси бруса, причем . Определить натяжение веревки и реакции опор и (рис. 3.19, а).
• Задача №57. Определить реакции опор консольной балки весом = 15 кН, находящейся под действием сил.
• Задача №58. Горизонтально расположенный вал установлен в подшипниках (рис. 3.22, а). На валу закреплены зубчатые колеса 1 и 2. Зубчатые колеса передают на вал в точках и силы, направленные вертикально вниз.
• Задача №59. (рис. 3.23, а). Однородная стрела настенного крана весом 1,6 кН, несущая груз весом 8 кН, удерживается в равновесии тросом . Определить реакции опорного шарнира и силу натяжения троса.
• Задача №60. Край для подъема небольших грузов имеет вертикальную ось вращения (рис. 3.24, а). Высота крана = 4 м, расстояние центра тяжести до оси вращения = 0,6 м. Сила тяжести крана 3,2 кН. Груз = 8 кН подвешен в точке . Расстояние между осью вращения и линией действия силы тяжести груза = 2,5 м. Определить реакции подшипника и подпятника .
• Задача №61. Однородная балка шарнирно закреплена в точке и удерживается в горизонтальном положении тросом, прикрепленным одним концом к балке в точке , а другим — к вертикальной стенке в точке . Тележка с грузом находится на балке в указанном па рис. 3.25, а положении.
• Задача №62. Автомобильный кран, схематически изображенный на рис. 3.26, а, удерживает в поднятом положении груз = 20 кН. Сила тяжести металлической конструкции крана равна 6,2 кН и приложена в точке . Край опирается на шарнирную опору в точке и удерживается в равновесии упором в точке . Расстояние от линии действия груза до вертикальной оси = 2,4 м. Расстояние от центра тяжести до вертикальной оси = 0,4 м. Точка упора расположена на расстоянии = 0,6 м от вертикальной оси . Определить реакции упора и шарнирной опоры .
• Задача №63. Рычаг имеет шарнирную опору и в точке опирается на гладкую цилиндрическую поверхность (рис. 3.27, а). К рычагу в точке прикреплен горизонтально направленный канат, натянутый силой = 15 кН. Длина = 800 мм. Угол = 45°. Вычислить реакции в точке и шарнира . Сила тяжести рычага равна 600 Н.
• Задача №64. Брус прикреплен к стенке шарниром и свободно опирается на гладкую наклонную плоскость в точке (рис. 3.28, а). Угол = 30°. Длина = 1,5 м. В точке к брусу приложена сила = 30 кН. Найти реакции шарнира и опорной плоскости в точке , учитывая собственную силу тяжести бруса, равную 400 Н.
• Задача №65. Балка длиной = 4 м расположена горизонтально. В точке балка прикреплена к стенке при помощи шарнира, а другим концом в точке удерживается тросом (рис. 3.29, а). Угол, образованный направлением троса и осью балки = 45°.
• Задача №66. Брус длиной =4м и силой тяжести 0,4 кН закреплен шарнирно в точке и опирается на выступ стены в точке (рис. 3.30, а). К концу стержня в точке подвешен груз = 0,6 кН. Ось бруса образует с горизонтом угол = 30°. Точки и расположены на одной горизонтальной прямой. Высота = 1,2 м. Определить реакцию в точке и реакции шарнирной опоры .
• Задача №67. Стержень длиной = 2 м и силой тяжести 0,5 кН опирается одним концом на горизонтальную гладкую плоскость, образуя с горизонтом угол = 45° (рис. 3.31, а). Стержень удерживается в равновесии тросом , наклоненным к горизонту под углом = 30°. Определить реакцию в точках и и натяжение троса .
• Задача №68. Кран-мачта при подъеме груза = 50 кН находится в положении, указанном на рис. 3.32, а. Нижний конец стрелы шарнир-но опирается в точке , а верхний конец стрелы удерживается в равновесии при помощи троса, закрепленного в точках и . Сила тяжести стрелы 2 кН. Точки и расположены на одной горизонтальной прямой. Длина стрелы крана = 10 м. Угол = 45° и угол = 30°. Вычислить реакции шарнирной опоры и натяжение троса .
• Задача №69. Вешалка укреплена шарнирно в точке и упирается в гладкую вертикальную стенку в точке (рис. 3.33, а). На равном расстоянии друг от друга = 0,15 м подвешены пять грузов силой тяжести по 40 Н. Длина вешалки = 2 м, расстояние = 0,8 м, угол = 60°. Вычислить реакции шарнира и опоры в точке .
• Задача №70 (рис. 3.34, а). Однородная лестница весом 140 Н опирается на пол и стены приямка. В точке па лестнице стоит человек весом 800 Н. Приняв определить опорные реакции в точках и . Трением пренебречь.
• Задача №71 (рис. 3.35, а). Однородная стрела платформенного подъемного крапа весом 5 кН, несущая на своем конце груз весом 22 кН, удерживается в равновесии с помощью троса барабанной лебедки.
• Задача №72 (рис. 3.36, а). Поворотный однородный рычаг с помощью растянутой пружины силой упругости 3 Н прижат к вращающейся кулачковой шайбе в точке . Приняв определить реакции опорного шарнира и силу давления рычага на кулачок. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.
• Задача №73 (рис. 3.37, а). Однородную плиту весом 4 кН равномерно вытягивают из приямка с помощью барабанной лебедки . Приняв определить для данного положения плиты опорные реакции в точках и и силу натяжения троса . Трением пренебречь.
• Задача №74 (рис. 3.38, а). Однородная плита весом 1,2 кН удерживается в равновесии в горизонтальном положении с помощью трех стержней. Приняв определить силы, нагружающие стержни.
• Задача №75 (рис. 3.39, а). Натяжное устройство представляет собой двуплечий рычаг , одно плечо которого песет груз весом 650 Н, а другое плечо служит для натяжения троса. Приняв = 0,1м и = 0,4 м, определить реакции опорного шарнира и силу натяжения троса. Весом рычага пренебречь.
• Задача №76 (рис. 3.40, а). Однородная плита односкатной крыши весом 14 кН испытывает ветровую нагрузку, равнодействующая которой = 5 кН приложена в точке горизонтально. Приняв = 6 м и , определить опорные реакции в точках.
• Задача №77 (рис. 3.41, а). Стоящий наклонно однородный щит весом 220 Н удерживается в равновесии веревкой . Пренебрегая трением и приняв определить опорные реакции в точках и и силу натяжения веревки.
• Задача №78 (рис. 3.42, а). Неподвижно зажатый, как показано на рисунке, опорный столб нагружен силой = 1,9 Н. Приняв = 5 м и = 1,5 м, определить опорные реакции в точках Весом столба, а также трением пренебречь.
• Задача №79. Для балки, изображенной па рис. 3.43, найти реакции опор
• Задача №80. На двухконсольную горизонтальную балку на пролете действует пара сил с моментом пары , на левую консоль — равномерно распределенная нагрузка интенсивности , а в точке правой консоли — вертикальная нагрузка . Определить реакции опор, если (рис. 3.44).
• Задача №81. Для балки (рис. 3.45, а) определить реакции опор в точках
• Задача №82. Для балки (рис. 3.46, а) определить реакции опор в точках
• Задача №83. Для заданной двухопорпой балки (рис. 3.47, а) определить опорные реакции.
• Задача №84. Однородная балка закреплена в точке с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается точке в стержнем (рис. 3.48, а). Найти реакции шарнирно-неподвижной опоры и стержня . Силой тяжести балки и стержня пренебречь.
• Задача №85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции по следующим данным.
• Задача №86. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 3.50) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.
• Задача №87. Для балки (рис. 3.51) определить реакции опоры защемления в точке
• Задача №88. Для заданной консольной балки (рис. 3.52, а) определить опорные реакции заделки.
• Задача №89. Определить реакции опор балки (рис. 3.53)
• Задача №90. Механизм манипулятора, состоящий из трёх звеньев, соединённых шарнирами, в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости (рис. 3.54, а).
• Задача №91. Пример имеет своим прототипом схему подъема мачтовых опор ЛЭП с помощью тягачей (рис. 3.55).
• Задача №92. Пластинка , поворачиваясь относительно оси шарнира , может устанавливаться под любым углом к горизонту (рис. 3.57, а). На пластинке лежит тело весом . Определить наибольший угол наклона пластинки, при котором тело будет оставаться в равновесии.
• Задача №93. Груз весом = 280 Н подвешен в точке горизонтальной балки весом = 160 Н. Балка укреплена при помощи шарнира и свободно опирается концом на балку весом = 120 Н. Балка имеет шарнир и концом опирается на гладкую вертикальную стену.
• Задача №94. Две балки и одинаковой длины = 3 м соединены между собой шарниром (рис. 3.60, а). Конец балки заделан в вертикальной стене, а конец балки опирается па подвижную опору, расположенную под углом = 30° к оси балки . На балку по всей её длине действует равномерно распределённая нагрузка интенсивностью = 3 кН/м. На балку действует сила = 10 кН, приложенная в середине балки под углом = 60° к её оси. Определить реакции опор и , а также в шарнире , пренебрегая силами тяжести балок.
• Задача №95. На губки схвата манипулятора при удержании детали действует сила = 6 кН (рис. 3.61, а). Найти реакции в шарнирах силу привода если а углы = 7°, = 9°. Силами трения и силами тяжести звеньев пренебречь.
• Задача №96. Определить усилия в стержнях 8, 9 и 10 фермы, изображённой на рис. 3.62.

Пространственная система сил. Момент силы относительно оси

Величина, равная проекции на ось вектора момента силы (рис. 4.1) относительно любой точки, принадлежащей данной оси, называется моментом силы относительно оси.

Моменты сил относительно координатных осей вычисляются по формулам

При решении задач необходимо помнить, что моментом силы относительно оси называется произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо. Плечом проекции силы называется перпендикуляр, проведённый из точки пересечения оси с плоскостью на проекцию силы или её продолжение. Момент силы относительно оси считается положительным, если плоскость под действием проекции силы стремится повернуться в направлении против хода часовой стрелки (если смотреть на плоскость со стороны стрелки оси), и отрицательным, если — в направлении часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

1. Если линия действия силы параллельна оси (проекция силы на плоскость обращается в нуль);
2. Если сила или линия действия силы пересекает ось (плечо проекции силы равно пулю).

Для вычисления момента силы, например, относительно оси , необходимо:

1. Провести в любом месте плоскость , перпендикулярную к оси , и найти точку пересечения этой плоскости с осью;
2. Спроецировать силу на эту плоскость и определить вектор ,
3. Опустить из точки пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на линию действия и найти его длину ;
4. Вычислить произведение ;
5. Определить знак момента

Приведение силы к центру

Всякую силу , приложенную к твёрдому телу в точке , можно переносить параллельно линии её действия в любую точку , присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки её приложения.

Докажем эту теорему. Пусть в точке твёрдого тела приложена сила (рис. 4.2, а). Выберем произвольную точку (точку приведения), не лежащую па линии действия силы . Приложим в точке параллельно данной силе две равные по модулю, по противоположные по направлению силы и (рис. 4.2, б). Полученная система сил эквивалентна одной силе .

Силы и образуют пару . Следовательно, система сил эквивалентна силе , приложенной в точке и равной по модулю силе , и паре сил с моментом (рис. 4.2, в).

Равновесие твёрдых тел под действием пространственной системы сил

Для равновесия тела при действии на него любой пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил были равны нулю:

В проекциях на координатные оси уравнения равновесия (4.1) твёрдого тела можно записать в виде следующих шести уравнений:

Для равновесия тела, в случае действия на него произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из осей и суммы моментов этих сил относительно координатных осей были равны пулю.

Пространственная система параллельных сил. Если параллельна линиям действия сил (рис. 4.3), то проекции сил на оси и , а также моменты относительно оси равны нулю.

Значит, уравнения равновесия принимают вид

Пространственная система сходящихся сил. Для равновесия тела в случае действия на него пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил па каждую из осей были равны нулю:

Задачи с решением №4:

• Задача №97. Барабан лебедки (рис. 4.4, а) диаметром = 0,14 м приводится в равномерное вращение с помощью зубчатого колеса расчетным диаметром = 0,25 м, па зуб которого действует расположенная в плоскости колеса сила = 6 кН. Пренебрегая весом частей механизма, а также трением в подшипниках и па барабане, определить грузоподъемную силу лебедки.
• Задача №98. На валу установлен барабан, к которому подвешен груз весом = 350 кН (рис. 4.5, а). Какой момент нужно приложить к рукоятке, чтобы груз оставался в покое, если радиус барабана = 240 мм? Силы тяжести вала и барабана не учитывать.
• Задача №99. На горизонтальный вал насажены зубчатое колесо радиуса 1 м и шестерня радиуса 10 см. Другие размеры указаны па рисунке. К колесу по направлению касательной приложена горизонтальная сила = 100 Н, а к шестерне , также по касательной, приложена вертикальная сила . Определить силу и реакции подшипников и в положении равновесия (рис. 4.6).
• Задача №100. Для горизонтального вала, несущего два зубчатых колеса с центрами и нагруженного, как показано на рис. 4.7, а, определить реакции опор и вала, если в точках и соответственно приложены силы.
• Задача №101. На рис. 4.8 изображен коленчатый вал двигателя. При вертикальном положении средней плоскости колена шатуна сила , действующая на середину шейки вала, составляет 12 кН и направлена к плоскости, перпендикулярной оси вала, под углом 15° к горизонтали.
• Задача №102. Для горизонтального вала, несущего зубчатое колесо с центром , как показано на рис. 4.10, а, определить реакции опор и вала, если в точке приложены силы.
• Задача №103. Вал со шкивом загружен в состоянии равновесия грузом и силами. Требуется определить реакции опор.
• Задача №104. Квадратная однородная пластина , сила тяжести которой равна , удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром и гибкой нерастяжимой нитью , составляющей с вертикалью угол (рис. 4.12, а). Найти реакции шарниров в точках и , натяжение нити, если = 45°.
• Задача №105. Тренога шарнирно опирается на горизонтальную плоскость (рис. 4.13, а) в точках и . В точке тренога имеет блок. Через блок перекинут гибкий трос, один конец которого закреплен в точке стены, а к другому прикреплен груз = 10 кН. Определить реакции стержней треноги.
• Задача №106. Определить усилия в стержнях пространственной фермы, изображенной на рис. 4.14, а также реакции опор фермы и если на узел фермы действует вертикальная сила = 50 кН, на узел — горизонтальная сила = 25 кН, направленная вдоль стержня . Размеры указаны на рисунке (рис. 4.14).
• Задача №107. Жестко заделанная балка длиной = 1,4 м и квадратным поперечным сечением со стороной = 0,2 м (рис. 4.16, а) нагружена горизонтальной силой = 2 кН и вертикальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью =1 кН/м. Определить реакции заделки.
• Задача №108. На валу жестко закреплены шестерня 1 и колесо 2 (рис. 4.17, а). Определить в положении равновесия вала реакции подшипников и , а также силы и , действующие на колесо. Силой тяжести вала, шестерни и колеса пренебречь.
• Задача №109. На валу жёстко закреплены шестерня 1 и колесо 2. Определить в положении равновесия вала реакции подшипников и , а также силы действующие на колесо.
• Задача №110. На барабан, закрепленный на валу, действует груз . Какую силу следует приложить к рукоятке , чтобы удержать вал в равновесии в положении, показанном на рис. 4.19, а? Определить также реакции подшипников
• Задача №111. На барабан, закрепленный па валу, действует груз . Какую силу следует приложить к рукоятке , чтобы удержать вал в равновесии в положении, показанном на рис. 4.20, а? Определить также реакции подшипников.
• Задача №112. На барабан, закрепленный па валу, действует груз . Какую силу следует приложить к рукоятке , чтобы удержать вал в равновесии в положении, показанном на рис. 4.21, а? Определить также реакции подшипников.
• Задача №113. Однородная квадратная крышка люка может вращаться вокруг оси, проходящей через петли и . Горизонтальная веревка удерживает крышку в равновесии в положении, показанном на рис. 4.22, а. Определить реакции опор и , если сила тяжести крышки = 48 Н.
• Задача №114. Полка, нагруженная, как показано на рис. 4.23, а, силой тяжести = 0,8 кН и могущая вращаться около оси, проходящей через петли и , удерживается в равновесии в горизонтальном положении стержнем , образующим с вертикалью угол 60°. Определить реакции петель и стержня.
• Задача №115. На вал жестко насажены шкив 1 и колесо 2, нагруженные, как показано на рис. 4.24, а. Определить силы а также реакции опор.
• Задача №116. На вал жестко насажены шкив 1 и колесо 2, нагруженные, как показано на рис. 4.25, а. Определить силы а также реакции опор.
• Задача №117. На вал жестко насажены шкив 1 и колесо 2, нагруженные, как показано на рис. 4.26, а. Определить силу , а также реакции опор и , если = 220 Н.
• Задача №118. Горизонтальный провод , натяжение которого равно 400 Н, подвешен к вертикальному столбу , укреплённому оттяжками и , расположенными симметрично относительно плоскости.
• Задача №119. Определить усилия в стержне пространственной фермы, изображённой на рис. 4.28, а также реакции опор фермы если на узел фермы действуют вертикальная сила = 20 кН и горизонтальная сила =40 кН, направленная вдоль стержня.

Основы построения и исследования механизмов

Механизмом называется система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел.

Машиной называется устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целыо замены или облегчения физического и умственного труда человека. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины. Энергетические машины предназначены для преобразования энергии. К ним относятся, например, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, турбины, электрогенераторы. Технологические машины предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, которое состоит в изменении его размеров, формы, свойств или состояния. Транспортные машины предназначены для перемещения людей и грузов. Информационные машины предназначены для получения и преобразования информации.

В состав машины обычно входят различные механизмы, которые составляют основу большинства машин. Кроме того, механизмы используются в приборах, аппаратах и других технологических устройствах.

Всякий механизм состоит из отдельных твердых тел, называемых деталями. Деталь является такой частью машины, которую изготовляют без сборочных операций. Детали могут быть простыми (гайка, шпонка и т. п.) и сложными (коленчатый вал, корпус редуктора, станина станка и т. п.). Детали частично или полностью объединяют в узлы. Узел представляет собой законченную сборочную единицу, состоящую из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта, редуктор и т. п.). Сложные узлы могут включать несколько узлов (подузлов), например, редуктор включает подшипники, валы с насаженными па них зубчатыми колесами и т. п. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называется звеном.

В каждом механизме имеется стойка, т. е. звено неподвижное или принимаемое за неподвижное. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным звеном называется звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном называется звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.

Классификация кинематических пар

По числу связей, наложенных кинематической парой на относительное движение ее звеньев, все кинематические пары делятся на пять классов. Свободное тело (звено) в пространстве обладает шестью степенями свободы, так как оно может совершать три независимых поступательных движения вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей и три вращательных движения вокруг тех же осей. После того как звено соединяется с другим звеном посредством кинематической пары, на его относительное движение накладываются некоторые ограничения (связи), причем номер класса кинематической пары определяется числом наложенных связей.

Основные кинематические пары представлены в табл. 5.1.

По характеру относительного движения звеньев кинематические пары делятся на плоские и пространственные. Если относительное движение одного звена пары по отношению к другому является плоским, то пара является плоской; в противном случае пара будет пространственной. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к плоским относятся вращательная и поступательная.

Поверхности, линии и точки, по которым соприкасаются звенья, называются элементами кинематической пары. Различают низшие пары, элементами которых являются поверхности, и высшие пары, элементами которых могут быть только линии или точки. Из кинематических пар, изображенных в табл. 5.1, к высшим парам относятся пары «цилиндр — плоскость» и «шар — плоскость», остальные пары являются низшими. Высшие пары обладают меньшей долговечностью и большей изнашиваемостью, так как удельные давления в этих парах выше, чем в низших парах.

Кинематические цепи

Кинематической цепыо называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами.

Кинематические цепи могут быть плоскими и пространственными, замкнутыми и незамкнутыми. В плоской цепи при закреплении одного из звеньев все остальные совершают плоское движение, параллельное одной и той же неподвижной плоскости (рис. 5.1). В остальных случаях кинематическая цепь является пространственной (рис. 5.2). В замкнутой кинематической цепи (см. рис. 5.1) звенья образуют один или несколько замкнутых контуров, а в незамкнутой цепи (см. рис. 5.2) звенья не образуют замкнутых контуров.

Кинематическая цепь входит в состав каждого механизма, образованного только из твердых тел.

Число степеней свободы механизма

При работе механизма все его звенья, за исключением неподвижного звена (стойки), перемещаются и в каждый момент времени занимают определенные положения. Чтобы определить положения всех звеньев, необходимо знать (задать) положения некоторых звеньев. Положения последних зависят от заданных параметров. Такими параметрами могут быть углы поворота звеньев (угловые координаты) или линейные перемещения звеньев (линейные координаты). Указанные угловые и линейные координаты иногда объединяют под общим названием «обобщенные координаты механизма».

Обобщенными координатами механизма называются независимые между собой координаты, определяющие положение всех звеньев механизма относительно стойки. Например, в механизме, изображенном на рис. 5.3, за обобщенную координату можно принимать угол поворота кривошипа . Звено, которому приписываются одна или несколько обобщенных координат механизма, называется начальным.

Число обобщенных координат механизма называется также числом степеней свободы механизма, так как оно показывает, сколько обобщенных координат (независимых параметров) может быть задано произвольно.

Получим формулу для определения числа степеней свободы механизма. Общее число координат, определяющих положение подвижных звеньев механизма, равно 6. Так как каждая пара -го класса дает уравнений связи, то общее число этих уравнений

где — число пар -го класса ( от 1 до 5).

Если все уравнения связи независимы, то разность между общим числом координат и числом уравнений, связывающих эти координаты, дает число независимых координат, т. е. число степеней свободы механизма:

Формула (5.1) используется для общего случая, т. е. для пространственного механизма. В плоских механизмах реализуются только пары пятого и четвертого классов (одно- и двухподвижные), хотя в действительности они могут быть и большей подвижности. При этом в роли одноподвижных пар обычно выступают низшие пары , а в роли двухподвижных — высшие пары . Поэтому для плоских механизмов

Формула (5.2) называется формулой ПЛ. Чебышева. Определим для плоского механизма, изображенного на рис. 5.3. Имеем 5, = 7 (вращательные пары: 1-0, 1-2, 1-4, 2-3, 4-5; поступательные пары: 3-0, 5-0), = 0 и

Шарнир является двукратным, т. к. он соединяет три звена (1,2 и 4) и при подсчете дает две кинематические пары. В общем случае кратность шарнира на единицу меньше числа сходящихся звеньев.

Определим для плоского кулачкового механизма (рис. 5.4). Звенья механизма: 1 — кулачок, 2 — толкатель, 3 — ролик, 0 — стойка. Имеем (вращательные пары: 1-0, 2-3; поступательная пара: 2-0), = 1 (высшая пара: 1-3) и

Из двух степеней свободы одна является местной (за счет возможности проскальзывания ролика) и не влияет на характер движения механизма в целом. Если условно удалить ролик, а действительный профиль кулачка заменить эквидистантным (равноотстоящим) центровым профилем , то получим механизм с остроконечным толкателем, для которого и

т. е. местной подвижности нет.

Рассмотрим пространственный механизм манипулятора «рука» (рис. 5.5). Звенья механизма: 1 — плечо, 2 — предплечье, 3 — кисть, 0 — стойка. Имеем

(вращательная пара: 1-2), (сферические пары: 1-0, 2-3) и

Избыточные (пассивные) связи в механизмах
При выводе формул (5.1) и (5.2) предполагалось, что все наложенные связи независимы. Однако в некоторых механизмах имеются повторяющиеся связи, которые дублируют другие связи, не уменьшая степеней свободы механизма. Такие связи называются избыточными или пассивными. Они требуют повышенной точности изготовления звеньев во избежание дополнительных нагрузок на звенья из-за их деформации.

Иногда избыточные связи специально вводят в механизм для повышения его жесткости или для устранения неопределенности движения звеньев в особых положениях. Например, в механизме двойного параллелограмма (рис. 5.6), используемого в качестве спарника тепловоза,

При этих условиях введение дополнительного звена 4 не вносит новых геометрических связей. Однако по формуле (5.2)

хотя в действительности = 1, так как механизм обладает определенностью в движении звеньев. Если условно удалить звено 4, то при подсчете получим

Формально избыточные связи проявляются в том, что число степеней свободы механизма получается равным нулю или отрицательным.

Структурный синтез и анализ механизмов

Структурный синтез механизма состоит в проектировании его структурной схемы, под которой понимается схема механизма, указывающая стойку, подвижные звенья, виды кинематических пар и их взаимное расположение.

Метод структурного синтеза механизмов, предложенный в 1914 г. русским ученым А.B. Ассуром, состоит в следующем: механизм может быть образован путем наслоения структурных групп к одному или нескольким начальным звеньям и стойке.

Структурной группой (группой Ассура) называется кинематическая цепь, число степеней свободы которой после присоединения ее внешними кинематическими парами к стойке равно нулю и которая не распадается на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию.

Принцип наслоения иллюстрируется па примере образования 6-звенного рычажного механизма (рис. 5.7).

Для структурных групп плоских механизмов с низшими парами

откуда

Этому соотношению удовлетворяют следующие сочетания (табл. 5.2).

Простейшей является структурная группа, у которой Она называется структурной группой второго класса. Существует пять видов групп второго класса (в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар) (рис. 5.8).

Порядок структурной группы определяется числом элементов ее внешних кинематических пар, которыми она может присоединяться к механизму. Все группы второго класса имеют второй порядок.

Структурные группы, у которых могут быть третьего или четвертого класса (рис. 5.9).

Класс структурной группы в общем случае определяется числом кинематических пар в замкнутом контуре, образованном внутренними кинематическими парами.

Класс механизма определяется высшим классом структурной труппы, входящей в его состав.

Порядок образования механизма записывается в виде формулы его строения. Для рассмотренного примера (см. рис. 5.7) (0, 1) II (2, 3) II (4, 6) — механизм второго класса. Римскими цифрами указывается класс структурных групп, а арабскими — номера звеньев, из которых они образованы. Здесь обе структурные группы относятся ко второму классу, второму порядку, первому виду.

Строение механизма и его класс зависят от выбора начальных звеньев. Если в рассмотренном механизме в качестве начального звена выбрать звено 5. то формула строения будет иметь следующий вид: (0, 5) III (1, 2, 3, 4) — механизм третьего класса. Структурный анализ механизма позволяет установить последовательность и методы его кинематического и силового анализа, поскольку структурные группы каждого класса и вида обладают единством методов их исследования.

Для структурного анализа механизмов с высшими парами используется метод построения заменяющих механизмов. Сопоставим два механизма: первый — с высшей парой, а второй — заменяющий (без высших пар), причем оба имеют одно и то же число степеней свободы (структурная эквивалентность), т. е.

Если то и . Таким образом, одна высшая пара эквивалентна одному добавочному звену, входящему в две низшие пары.

Рассмотрим простейший механизм с высшей парой (рис. 5.10). В точке касания элементов высшей пары проводится общая нормаль, на ней находятся центры кривизны и , в которых помещаются шарниры, связанные добавочным звеном . В результате получается мгновенный заменяющий механизм . Для заданного механизма

для заменяющего механизма

Конструктивно-функциональная классификация механизмов

Кроме структурной классификации механизмов, рассмотренной в предыдущем параграфе, существует конструктивно-функциональная классификация. Согласно этой классификации механизмы можно разделить на пять основных видов: рычажные, кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы и механизмы с гибкими звеньями. Имеется также много комбинированных механизмов, представляющих собой различные сочетания механизмов указанных выше основных видов.

К рычажным механизмам относятся механизмы, звенья которых образуют только вращательные, поступательные, цилиндрические и сферические пары. На рис. 5.11 показаны схемы наиболее распространенных плоских рычажных механизмов — кривошипно-ползунного (рис. 5.11, а), шарнирного четырехзвенного (рис. 5.11,6), кулисного (рис. 5.11, в).

Кривошипом называется вращающееся звено, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси (звено 1 на всех трех схемах). Шатуном называется звено, которое образует кинематические пары только с подвижными звеньями (звено 2 на рис. 5.11, а и 5.11,6). Ползуном называется звено, образующее поступательную пару со стойкой (звено 3 на рис. 5.11, а). Коромыслом называется вращающееся звено, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси (звено 3 на рис. 5.11,6). Кулисой называется звено, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару (звено 3 на рис. 5.11, в).

Кривошипно-ползунный механизм может быть центральным (аксиальным), если эксцентриситет (дезаксиал) ; в противном случае (при ) он является нецентральным (дезаксиальным). В шарнирном четырёхзвениике наименьшее звено 1 будет кривошипом, если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше или равна сумме длин двух других звеньев (теорема Ф. Грасгофа). Кулисный механизм может быть с качающейся кулисой, если , и с вращающейся кулисой (на полный оборот), если .

К кулачковым механизмам относятся механизмы, в состав которых входит кулачок, а кулачком называется звено, имеющее элемент высшей пары, выполненный в виде поверхности переменной кривизны. Кулачковые механизмы (рис. 5.12) предназначены для преобразования вращательного или возвратно-поступательного движения входного звена, которым, как правило, является кулачок 1, в возвратно-поступательное или возвратно-вращательное движение выходного звена — толкателя 2, причем движение толкателя может происходить с остановками заданной продолжительности. Для уменьшения потерь мощности на трение толкатель часто снабжается роликом. Механизмы на рис. 5.12, а, б, в являются плоскими, а механизм па рис. 5.12, г относится к пространственным. Основное достоинство кулачковых механизмов заключается в возможности получения практически любого закона движения толкателя за счет соответствующего выбора профиля кулачка.

Во фрикционных механизмах движение от входного звена к выходному передается за счет сил трения, возникающих в местах контакта звеньев (высшая пара). Простейшим фрикционным механизмом является фрикционная передача с параллельными (рис. 5.13, а, б) или пересекающимися осями (рис. 5.13, в).

Для плавного бесступенчатого изменения угловой скорости выходного звена при равномерном вращении входного звена используются фрикционные вариаторы. Например, на схеме, показанной на рис. 5.14, изменение угловой скорости выходного звена 2 осуществляется за счет перемещения ролика 3 вдоль его оси.

К зубчатым механизмам относятся механизмы, в состав которых входят зубчатые звенья. Зубчатое звено — это звено, имеющее выступы (зубья) для передачи движения посредством взаимодействия с выступами другого звена (тоже зубчатого). Вращающееся зубчатое звено называется зубчатым колесом. Зубчатое зацепление представляет собой высшую кинематическую пару.

На схемах механизмов цилиндрические зубчатые колёса изображаются окружностями (начальными), которые перекатываются одна по другой без скольжения (аналогично каткам фрикционной передачи).

Механизмы с гибкими связями применяют для передачи вращательного движения между валами при больших межосевых расстояниях. На рис.5.15 показан простейший механизм с гибкими связями. В зависимости от типа гибкой связи этот механизм может быть ременной, канатной или цепной передачей.

Основы кинематического анализа механизмов

Задачи и методы кинематического анализа механизмов

Кинематический анализ механизма состоит в определении движения его звеньев по заданному движению начальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т. е. его структурная схема с указанием размеров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа:

1) определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев;

2) определение линейных скоростей и ускорений точек и угловых скоростей и ускорений звеньев;

3) определение передаточных отношений между звеньями.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка (в миллиметрах), изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, равен = 50 мм, то масштабный коэффициент длин = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чертежному масштабу 1:1; если же = 25 мм, то = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1:2).

Масштабный коэффициент скоростей . Если скорость некоторой точки , а отрезок, изображающий , равен мм, то . Масштабный коэффициент ускорений .

Построение положений рычажных механизмов

Кинематический расчет механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.1).

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра делаем засечки радиусами и на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой , на равные части (например, па шесть) и отмечаем последовательные положения точки — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем методом засечек на линии движения ползуна получаем последовательные положения точки — 0, 1, 2, 3 (движение справа налево), 4, 5, 6 (движение слева направо). — ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

Кинематический анализ рычажных механизмов аналитическим методом

Используем метод замкнутого векторного контура, разработанный В.А. Зиновьевым. В качестве примера рассмотрим плоский кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.2).

Составляем векторное уравнение замкнутости контура , образованного звеньями механизма:

Проецируем это уравнение на оси координат, причем за положительное направление отсчета углов принимаем направление против часовой стрелки (в соответствии с этим угол на рис. 6.2 показан со знаком «минус»):

Из уравнения (6.2) находим угол :

где

Для определения и дифференцируем уравнения (6.1) и (6.2) по времени , учитывая, что

Из уравнения (6.4) находим

а затем из уравнения (6.3) — .

Для определения и дифференцируем уравнения (6.3) и (6.4) по времени , учитывая, что

Из уравнения (6.6) находим

а затем из уравнения (6.5) — . Если то . Для некоторой точки на звене 2 имеем

Путем дифференцирования уравнений (6.7) и (6.8) можно найти проекции скоростей и ускорений

затем

Передаточное отношение

В механизмах, предназначенных для передачи вращательного движения (фрикционных, зубчатых и др.), основным кинематическим параметром является передаточное отношение, представляющее собой отношение угловых скоростей звеньев:

Очевидно, что

При параллельных осях вращения звеньев передаточное отношение считается положительным, если направления угловых скоростей звеньев одинаковые (см. рис. 5.13,6), и отрицательным, если эти направления противоположные (см. рис. 5.13,а).

Передаточное отношение может быть выражено через параметры механизма: в случае фрикционной передачи — через радиусы фрикционных катков и , а в случае зубчатой передачи — через числа зубьев колес и :

Задачи с решением №5:

• Задача №120. Построить планы скоростей и ускорений всех звеньев кривошипно-ползунного механизма (рис. 6.3). Найти линейные скорости и ускорения обозначенных точек и угловые скорости и ускорения звеньев.
• Задача №121. Для механизма Витворта (кулисный механизм, рис. 6.4) построить планы скоростей и ускорений всех звеньев, определить линейные скорости и ускорения всех точек, а также угловые скорости и ускорения звеньев.
• Задача №122. Провести кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма (рис. 6.5, а): построить 2-3 плана положений механизма, для указанных положений механизма построить план ускорений.
• Задача №123. Выполнить кинематический анализ рычажного механизма, представленного на рис. 6.7, а. Построить планы скоростей механизма для двух положений и для одного положения план ускорений.

Основы расчета и проектирования механизмов

Передачами в машинах называют устройства, предназначенные для передачи энергии механического движения на расстояние и преобразования его параметров. Необходимость применения передач между приводными двигателями и исполнительными (рабочими) органами машины обусловлена в основном несовпадением требуемых скоростей движения исполнительных органов с оптимальными скоростями двигателей. Кроме того, в ряде случаев передачи выполняют и некоторые частные функции, например преобразование видов движения (вращательное в поступательное), регулирование скорости, распределение потоков мощности между различными исполнительными органами машины, реверсирование движения. По принципу работы механические передачи делятся на передачи с непосредственным соприкосновением звеньев (фрикционные, зубчатые, червячные, волновые, винт — гайка, шарнирно-рычажные) и передачи с гибкой связью (ременные, канатные, цепные).

Передачи выполняются с постоянным или переменным (регулируемым) передаточным отношением. В последнем случае регулирование может быть ступенчатое или бесступенчатое.

Наряду с механическими передачами широко применяются гидравлические, пневматические и электрические передачи.

Основные виды зубчатых передач

Зубчатая передача — это трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими между собой высшую пару. Зубчатые передачи — самый распространенный вид механических передач.

Основные их достоинства — высокая надежность работы в широком диапазоне скоростей и нагрузок, малые габариты, большая долговечность, высокий КПД. сравнительно малые нагрузки на валы и подшипники, постоянство передаточного отношения, простота обслуживания. Недостатки — высокие требования к точности изготовления и монтажа, повышенный шум при больших скоростях.

В зависимости от расположения осей вращения колес различают следующие виды зубчатых передач: 1) с параллельными осями (цилиндрические); 2) с пересекающимися осями (конические); 3) со скрещивающимися осями (гипоидные). Цилиндрические передачи относятся к плоским механизмам, а конические и гипоидные — к пространственным.

Цилиндрические передачи могут быть с внешним (рис. 8.1, а) и внутренним зацеплением (рис. 8.1, б); частным случаем является реечная передача (рис. 8.1, в), осуществляющая преобразование вращательного движения в поступательное.

Цилиндрические колеса могут быть с прямыми (рис. 8.2. а), косыми или винтовыми (рис. 8.2, б) и шевронными зубьями (рис. 8.2, в).

Цилиндрические колеса Конические передачи чаще выполняются ортогональными, у которых межосевой угол = 90°(рис. 8.3).

Конические колесо могут быть с прямыми (рис. 8.4, а), тангенциальными (рис. 8.4. б) и криволинейными (чаще всего круговыми) зубьями (рис. 8.4, в).

Основные виды гиперболоидных передач — червячная, винтовая зубчатая, гипоидная. Червячная передача (рис. 8.5) состоит из червяка 1, представляющего собой однозаходный или многозаходный винт, и червячного колеса 2. Винтовая зубчатая передача состоит из двух цилиндрических косозубых колес со скрещивающимися осями, а гипоидная передача — из двух конических колес также со скрещивающимися осями.

Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестерней, а с большим числом зубьев — колесом. Отношение числа зубьев колеса к числу зубьев шестерни называется передаточным числом:

По соотношению угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев зубчатые передачи делятся на: а) понижающие (редукторы) и б) повышающие (мультипликаторы). У понижающих передач ведомое звено вращается с меньшей скоростью, чем ведущее, а у повышающих — наоборот.

Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Основным кинематическим параметром зубчатого механизма является передаточное отношение.

Передаточным отношением называется отношение угловой скорости звена к угловой скорости звена (рис. 8.6).

Если

Если

где и — частота вращения, , звена 1 и звена 2.

Для механизмов с параллельными осями передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых скоростей и отрицательным — при противоположном.

Для цилиндрической передачи знак «плюс» соответствует внутреннему зацеплению (см. рис. 8.6, б), а «минус» — внешнему (см. рис. 8.6, а).

Передаточное отношение можно представить в виде

Для получения больших передаточных отношений применяются многоступенчатые передачи, составленные из нескольких простых зубчатых передач. В качестве примера рассмотрим трехступенчатую передачу (рис. 8.7).

На ведущем и ведомом валах посажено по одному колесу, а на промежуточных валах — по два колеса, причем каждое колесо входит только в одно зацепление с парным колесом. Передаточное отношение всего механизма

а передаточное отношение отдельных ступеней

Перемножим эти отношения:

Сравнивая выражения (8.1) и (8.2), получим

т. е. передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней.

Направление вращения колес можно определить с помощью стрелок, поставленных на схеме механизма. Указав произвольное направление вращения колеса 1, последовательно переходим к следующим колесам и ставим стрелки в соответствии с направлением вращения колес каждой ступени. В рассматриваемой передаче, как видно из рис. 8.7, колеса 1 и 4 вращаются в одну сторону. Таким образом,

Многоступенчатый зубчатый механизм можно образовать последовательным соединением колес (рис. 8.8), при котором вращение от ведущего вала передается ведомому валу через промежуточные валы и на каждом из которых помещено по два колеса: 2 и 2′, 3 и 3′.

Колеса 2 и 2′ жестко соединены с валом и имеют общую угловую скорость ; аналогично колеса 3 и 3′ жестко соединены с валом и имеют общую угловую скорость .

На одной проекции (см. рис. 8.8) направление угловых скоростей показано круговыми стрелками, а па второй — прямыми.

При последовательном ступенчатом соединении колес передаточное отношение равно произведению передаточных отношений промежуточных зацеплений (см. рис. 8.8):

В данном случае имеем трехступенчатую передачу. В общем случае передаточное отношение

где — число внешних зацеплений.

Частным случаем многоступенчатой передачи является ступенчатый ряд с промежуточными (паразитными) колесами.

При простом последовательном соединении зубчатых колес (рис. 8.9, а) величина общего передаточного отношения не зависит от количества промежуточных (паразитных) колес:

В общем случае

где — число внешних зацеплений.

Знак «минус» указывает на то, что колеса 1 и 4 вращаются в противоположные стороны. Как видно из полученного выражения, промежуточные колеса не влияют на величину общего передаточного отношения, но могут изменять его знак. Такие передачи применяются для изменения направления вращения ведомого звена, а также в случае передачи вращения между удаленными валами,

«Паразитные» колеса могут изменять знак передаточного отношения; например, при внешнем зацеплении (см. рис. 8.9, а) каждое четное колесо 2 и 4 вращается в сторону, противоположную вращению входного колеса 1, а каждое нечетное колесо 3 — в сторону вращения входного колеса 1.

На рис. 8.9, б показано последовательное соединение, состоящее из трех колес: 1, «паразитное» 2 и выходное 3 с внутренним зацеплением. Передаточное отношение

Передаточное отношение червячной передачи равно отношению числа зубьев колеса к числу витков червяка:

где — число зубьев червячного колеса; — число витков червяка;

и — частота вращения червяка и колеса, . Механизм, изображенный на рис. 8.10, состоит из пары цилиндрических колес 1 и 2, пары комических колес 2′ и 3 и червячной пары 3′ и 4, где звено 3′ — червяк, а 4 — червячное колесо. Общее передаточное отношение для этого механизма

где — число зубьев червячного колеса; — число витков червяка.

Знак для общего передаточного отношения ставят лишь в том случае, когда входной и выходной валы вращаются относительно осей, параллельных друг другу.

Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

К механизмам с подвижными осями относятся механизмы, в составе которых имеется хотя бы одно колесо с перемещающейся в пространстве осыо вращения (сателлит). Различают три вида таких механизмов: 1) дифференциальные; 2) планетарные; 3) замкнутые дифференциальные.

• Простые планетарные передачи, обладающие одной степенью подвижности, — передачи, у которых одно из основных звеньев закреплено неподвижно (рис. 8.12, закреплено звено 3). Такие механизмы служат для последовательной передачи потока мощности.
• Дифференциальные передачи, обладающие двумя степенями подвижности, — передачи, у которых основные звенья подвижны (рис. 8.11). Эти передачи позволяют суммировать несколько потоков мощности, поступающих от независимых источников, либо распределять их по независимым потребителям.
• Замкнутые дифференциальные передачи — передачи, получаемые из дифференциальных передач путем замыкания двух основных звеньев (центрального колеса и водила) простой передачей, состоящей из колес 1, 2, 3 (рис. 8.13). Такие передачи позволяют получить большие передаточные отношения при малых габаритах.

Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 8.11. Определим число степеней подвижности, если = 4 — число звеньев, = 4 и = 2 — число кинематических пар V и IV класса.

Определенность в движении звеньев у этого механизма будет в том случае, если законы движения будут заданы двум звеньям.

Основными звеньями механизмов с подвижными осями являются водило и соосные с ним колеса (1 и 3). В данном случае все основные звенья подвижны. Оба эти признака ( > 1, подвижные основные звенья) определяют дифференциальный механизм.

Определим степень подвижности для механизма, изображенного на рис. 8.12:

У этого механизма колесо 3 (основное звено) неподвижно и = 1. Оба признака определяют планетарный механизм. В механизмах замкнутых дифференциалов все основные звенья подвижны, но число степеней подвижности равно единице ( = 1). Таким образом, только по совокупности двух признаков механизмы с подвижными осями можно отнести к тому или иному типу.

Формулы (8.3), (8.4) для определения передаточного отношения планетарных и дифференциальных механизмов использовать нельзя, так как сателлит участвует в сложном движении, состоящем из вращения вокруг оси и вращения вместе с водилом вокруг оси (рис. 8.11, 8.12).

Для вывода зависимостей, связывающих угловые скорости механизмов, имеющих подвижные оси, воспользуемся методом обращения движения.

Допустим, что в действительном движении звенья механизма (см. рис. 8.11) имеют угловые скорости и . Сообщим всем звеньям скорость, равную угловой скорости водила, но противоположно ей направленную, т. е. . В этом случае угловые скорости звеньев соответственно будут

Так как водила стало неподвижным ( = 0), то мы получили «обращенный механизм» с неподвижными осями. Для этого механизма справедлива зависимость

где — передаточное отношение «обращенного механизма», которое можно определить через число зубьев колес:

В правую часть предыдущей зависимости подставим значение относительных скоростей:

Полученное выражение называется формулой Виллиса для дифференциальных механизмов. Левая часть, как показано выше, может быть выражена через число зубьев колес. Определенность в решении правой части будет иметь место, когда будут известны скорости двух ведущих звеньев. Установим, какой вид примет формула Виллиса для планетарного механизма, изображенного па рис. 8.12. У этого механизма колесо 3 жестко соединено со стойкой (заторможено), т. е. .

Таким образом, имеем

Откуда

Полученная зависимость называется формулой Виллиса для планетарных механизмов, а передаточное отношение — планетарным передаточным отношением.

Как и для дифференциальных механизмов, — определяется через число зубьев колес.

В общем случае

где — передаточное отношение от звена к звену ( — соответствует неподвижному центральному колесу).

Достоинством планетарных механизмов является возможность получения больших передаточных отношений при малых габаритах.

Задачи с решением №6:

• Задача №142. В трансмиссии, показанной на рис. 8.14, входное коническое колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость и постоянное угловое ускорение , направленное по движению.
• Задача №143. Определить передаточное отношение планетарного механизма (рис. 8.16)
• Задача №144. В трансмиссии, показанной па рис. 8.17, входное цилиндрическое колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость и постоянное угловое ускорение , направленное по движению.
• Задача №145. В трансмиссии, показанной на рис. 8.19, входное цилиндрическое колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость и постоянное угловое ускорение, направленное против движения.
• Задача №146. Определить передаточное отношение замкнутого дифференциального механизма, показанного на рис. 8.21

Основы расчетов элементов конструкций

Основные понятия прочностной надежности типовых элементов конструкций

Основами расчета элементов конструкций называется наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов машин и сооружений. Основной целыо является создание практически приемлемых и простых приемов расчета типовых, наиболее часто встречающихся элементов конструкций.

Общие понятия

Реальные объекты часто имеют весьма сложную форму и изготовлены из материалов с различными физико-механическими свойствами. Поэтому приходится в допустимых пределах отступать от реальных условий их работы.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, называют расчетной схемой объекта. Как для одной и той же конструкции может быть предложено несколько расчетных схем, так и одна расчетная схема может быть поставлена в соответствие различным конструкциям.

Все многообразие деталей может быть сведено к следующим типам: брус, оболочка и массив.

Брусом (стержнем или балкой) называют тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной. Ось бруса — линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений.

Оболочка — тело, один из размеров которого намного меньше остальных (толщина).

Массив — тело, все размеры которого одного порядка.

Сила — мера механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действия последних на конструкцию заменяется силами, которые называют внешними. Внешние силы по способу приложения могут быть сосредоточенными и распределенными. Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью, т.е. значением нагрузки, приходящейся на единичную длину или площадь. По характеру воздействия нагрузки бывают:

статическими (которые при возрастании от нуля до конечного значения вызывают несущественные ускорения элементов конструкции);

динамическими (вызывают в конструкции такие ускорения, которыми пренебрегать нельзя). Все твердые тела состоят из мельчайших частиц, удерживаемых на некотором расстоянии друг от друга силами взаимодействия. При нагружении в материале возникают внутренние силы, сопротивляющиеся этому нагружению.

Для бруса, к которому приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия, можно выявить внутренние силы, если рассечь мысленно брус плоскостью А и рассмотреть равновесие одной из частей.

Взаимодействие левой и правой частей заменить системой внутренних сил, распределенных по сечению. Таким образом, силы, являющиеся внутренними для тела в целом, становятся внешними для одной из его частей.

Система внутренних сил приводится к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент. Спроецировав их на оси координат, получим в общем случае нагружения тела в его поперечном сечении шесть внутренних силовых факторов: продольная сила , две поперечные силы и , два изгибающих момента и и крутящий момент . Каждый из внутренних силовых факторов связан с определенным видом деформации.

Внутренние силовые факторы в произвольном сечении находятся с помощью метода сечений, который заключается в следующем:

1. Мысленно рассекаем плоскостью тело в том месте, где нужно определить внутренние силы.
2. Отбрасываем одну из частей (удобнее отбрасывать ту часть, на которую действует большее число внешних сил).
3. Чтобы равновесие не нарушилось, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами.
4. Составляя уравнения равновесия всех сил, действующих на оставленную часть тела, и решая их, находим неизвестные внутренние силы через внешние силы.

Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. За среднее напряжение на площадке принимаем отношение внутренней силы к , т.е.

при

Векторная величина представляет собой полное напряжение в точке сечения ( измеряют в ).

Полное напряжение раскладывают на три составляющие: по нормали к плоскости сечения (обозначают и называют нормальным напряжением) и по двум осям в плоскости сечения ( — касательные напряжения).

Совокупность напряжений образует напряженное состояние в точке. Элемент считается достаточно прочным, если максимальное расчетное напряжение в опасной точке меньше предельного напряжения в определенное число раз. Число, показывающее во сколько раз максимальное расчетное напряжение меньше предельного для материала рассчитываемой детали, называется коэффициентом запаса прочности детали или просто запасом прочности и обозначается .

Деталь, прочна в том случае, если запас прочности не меньше требуемого (нормативного) запаса, который обозначается и зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчёта и других факторов. Таким образом, условие прочности запишется: . Часто условие прочности записывают через допускаемые напряжения . Допускаемым напряжением называется максимальное значение напряжения, которое можно допустить при работе конструкции и при котором будет гарантироваться прочность детали: . Условие прочности через допускаемое напряжение будет иметь вид: . Незначительное превышение расчетного напряжения (в пределах 5 — 6%) считается неопасным.

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил реальное тело деформируется. Изменяется первоначальное положение его сечений. Линейным называется перемещение, если сечение сдвинулось вдоль прямой, угловым — перемещение, вызывающее поворот линий и плоскостей.

Понятие деформация введено для характеристики интенсивности изменения линейных и угловых перемещений.

После снятия нагрузки деформации исчезают, они называются упругими, неисчезающие — «статочными.

Предел отношения приращения длины отрезка к первоначальной длине называют относительной линейной деформацией:

Деформации в направлении координатных осей обозначают

Угловой деформацией или углом сдвига называют:

В координатных плоскостях углы сдвига имеют обозначения

Деформированное состояние тела в точке характеризует совокупность линейных и угловых деформаций.

В расчетах на жесткость определяются максимальные перемещения, соответствующие данному виду деформации, и сравниваются с допускаемым значением перемещения. Жесткость элемента считается обеспеченной, если максимальное перемещение не превышает допускаемого.

Общие принципы расчета

В зависимости от постановки задачи, ее исходных данных существует три вида расчетов на прочность, жесткость и устойчивость: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Определяя из условия прочности и жесткости необходимые размеры рассчитываемой детали, можно получить два значения размера. В качестве окончательного следует выбрать больший.

Независимо от вида деформации расчет на прочность можно схематично представить в виде следующих этапов:

• Отыскивается опасное сечение рассчитываемого элемента, для чего с помощью метода сечений строятся эпюры внутренних силовых факторов, соответствующих данному виду деформации.
• Зная закон распределения напряжений по площади поперечного сечения при данном виде деформация, определяется напряжение в опасной точке.
• Для опасной точки записывается условие прочности, а затем, в зависимости от исходных данных задачи производится один из указанных выше расчетов на прочность.

Продольные силы и напряжения в поперечных сечениях стержней. Упругие деформации

Осевое центральное растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которой совпадает с осью бруса. Эту равнодействующую называют продольной силой и обозначают буквой .

В частном случае , когда стержень растягивается или сжимается двумя равными силами , приложенными вдоль оси стержня , продольная сила во всех поперечных сечениях равна .

Величина продольной силы не зависит от площади поперечного сечения стержня. При сжатии поперечную силу считают отрицательной, при растяжении — положительной.

Чтобы выявить участки бруса или его сечения, где его продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил на базисной линии параллельно оси бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, достаточно отдаленных от точек приложения действующих сил, при растяжении или сжатии распределяются равномерно по сечению:

где — площадь поперечного сечения стержня, .

Эпюрой нормальных напряжений называют график, показывающий закон изменения напряжения в поперечном сечении по длине бруса.

Продольные и поперечные упругие деформации, возникающие при растяжении или сжатии, связаны друг с другом зависимостью

где и — соответственно поперечная и продольная деформация; — коэффициент Пуассона.

Зависимость между напряжением и продольной деформацией выражается законом Гука:

где — модуль продольной упругости материала стержня, . Удлинение или укорочение (изменение длины) участка бруса определяется по формуле:

где — жесткость стержня при растяжении или сжатии; — длина участка бруса, м.

Приведенная формула для определения изменения длины справедлива, если продольная сила и жесткость постоянны по всей длине стержня. В ином случае стержень разбивают на участки, для каждого из которых указанное требование соблюдается, и изменение длины стержня определяют, как сумму изменений длин участков:

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии возникают как от действия внешних сил, так и от действия силы тяжести стержня. В подавляющем большинстве элементов машиностроительных конструкций напряжения и перемещения, возникающие под действием силы тяжести, очень малы по сравнению с напряжениями и перемещениями, возникающими от действия внешних сил, и их, как правило, в расчет не принимают.

Расчет на прочность

Условие прочности при осевом растяжении или сжатии имеет вид:

где — наибольшее напряжение в некоторой точке детали от наибольшей ожидаемой нагрузки;

— допускаемое напряжение при растяжении или сжатии. Величину допускаемых напряжений при растяжении или сжатии принимают как некоторую часть от предельных напряжений материала. Для пластичных материалов за предельное напряжение принимают предел текучести , а для хрупких материалов — предел прочности , то есть для пластичных материалов

для хрупких:

где и — нормативные коэффициенты запаса прочности.

Различают три вида расчета на прочность: проверочный — проверка прочности, проектный- подбор сечения и определение допускаемой нагрузки.

Проверка прочности. При проверочном расчете определяют наибольшее напряжение в опасном сечении и сравнивают с допускаемым:

Наибольшее рабочее напряжение не должно превышать допускаемое напряжение больше чем на 3 — 5%.

При проверочном расчете часто сравнивают фактический запас прочности с нормальным коэффициентом запаса прочности:

где — предельное напряжение для данного материала.

Проектный расчет. Определяют требуемую площадь поперечного сечения элемента конструкции при заданных материале и нагрузках:

Определение допускаемой нагрузки. По известной площади поперечного сечения и материалу определяют допускаемое значение продольных сил:

Найдя допускаемое значение продольной силы, определяют допускаемое значение внешней нагрузки.

Статически неопределимые системы

Система статически неопределима, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы. Каждая статически неопределимая система может рассматриваться как некоторая статически определимая система, на которую наложены дополнительные связи.

Изменение длин стержней, образующих систему, не могут быть независимыми, а должны удовлетворять некоторым условиям, следующим из особенностей конструкции. Аналитическая запись этих уравнений дает уравнения перемещения, решая которые вместе с уравнениями равновесия можно определить неизвестные усилия.

Этапы решения статически неопределимых задач:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшие в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину деформации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнение статики;

5) в уравнении перемещений произвести необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расчетов:

а)проверочный;

б) определение допускаемой нагрузки;

в) проектный.

В ходе решения очень важно правильно представить себе картину деформации. В задачах 73, 76 и 79 сечение, в котором приложена нагрузка , перемещается вниз на величину (рис. 10.1), следовательно, участок бруса выше сечения удлинится на величину , а участок ниже этого сечения укоротится па величину . Значит, уравнение перемещений для этих задач примет вид

Величины определяются по формуле Гука (10.1).

В некоторых задачах стальные и алюминиевые стержни (трубки) укорачиваются или удлиняются под действием силы на одинаковые величины. Следовательно, уравнение перемещения будет иметь вид:

Картина деформации других задач имеет вид, показанный на рис. 10.2, из которого легко найти геометрическую зависимость между удлинениями и стержней, удерживающих жесткий брус в равновесии, и длинами и частей бруса. Действительно, из подобия образовавшихся треугольников следует, что

При подстановке значений и в формулу для необходимо соблюдать соответствие между наименованиями величин. Например, если величина выражена в , то площадь необходимо выразить в , а длину в мм.

Кстати более подробно рассмотрено это в учебниках вот теория из учебников тут.

Расчет проводов на прочность

Расчет проводов основывается на следующих соображениях.

При подвеске любого провода между двумя изоляторами и , расположенными на одном горизонтальном уровне (рис. 10.3), он никогда не будет прямолинейным, а примет вид дуги «цепной линии», которую приближенно можно считать параболой. Причиной кривизны являются два фактора: удлинение от изменения температуры и упругое удлинение под действием внешних нагрузок, состоящих из силы тяжести самого провода, веса гололеда и давления ветра.

Температурное удлинение определяется формулой Гей-Люссака

где — длина пролета (хорда параболы);

— коэффициент линейного расширения;

— изменение температуры.

Упругое удлинение определяется формулой Гука:

где — продольное усилие (так называемое «тяжение» провода, рис. 10.4)

— модуль продольной упругости (модуль Юнга); — площадь поперечного сечения провода.

Кроме того, из курса математики известно, что длина дуги параболы превышает длину хорды на величину , где — стрела провисания.

Объедение предыдущие выражения в одно уравнение, получим:

Поскольку отношение продольной силы к площади поперечного сечения определяет растягивающее напряжение , предыдущее уравнение можно записать так:

а после ряда преобразовании можно получить наиболее простую формулу, называемую «уравнением состояния провода»:

где — неизвестное растягивающее напряжение в проводе в летних условиях (точнее — в условиях температуры и нагрузки в момент подвешивания проводов), и — вспомогательные коэффициенты;

где, в свою очередь, вспомогательный коэффициент :

(коэффициент — коэффициент перегрузки в зимних условиях, задается в условии задачи);

где и — единичные нагрузки в сечениях раздельно взятых алюминиевого и стального проводов. Они выражаются в единицах (то же самое, что ). Тем самым и совпадают с величиной удельного веса материалов проводов. Величина представляет собой «приведенную» единичную нагрузку биметаллического провода, а — больше этой величины за счет гололедной и ветровой нагрузок.

Величина есть «приведенное» допускаемое напряжение в зимних условиях, вычисляемое по формуле

где — заданный коэффициент запаса прочности;

и — пределы прочности материалов провода;

— «приведенный» модуль упругости, определяемый формулой

— «приведенный» коэффициент линейного расширения, определяемый формулой

Механические характеристики алюминия и стали приведены в табл. 10.1.

Задачи с решением №7:

• Задача №147. Для двухступенчатого бруса (рис. 10.5) определить и построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить удлинение (укорочение) бруса.
• Задача №148. Определить натяжение тросов, которые поддерживают грузы весом: (рис. 10.6,а). построить эпюру продольных сил.
• Задача №149. К стальному тросу длиной 50 м, диаметром 40 мм подвешен груз 120 кН (рис. 10.7, а). Определить нормальные напряжения в поперечном сечении троса, изменение его длины и величину продольной деформации.
• Задача №150 (рис. 10.8, а). Для бруса с заданными в миллиметрах размерами поперечного сечения определить допускаемые значения нагрузок и . Для материала бруса (сталь СтЗ) принять допускаемые напряжения при растяжении = 160МПа и при сжатии = 120МПа.
• Задача №151. Для ступенчатого чугунного бруса (рис. 10.9, а) определить из расчета на прочность допускаемую нагрузку, если площадь поперечного сечения в верхней части бруса равна , и в два раза меньше площади сечения в нижней части,
• Задача №152 (рис. 10.10, а). Проверить прочность колонны, выполненной из двутавровых профилей заданного размера. Для материала колонны (сталь СтЗ) принять допускаемые напряжения при растяжении = 160 МПа и при сжатии = 120 МПа. В случае перегрузки или значительной недогрузки подобрать новые размеры двутавров, обеспечивающие оптимальную прочность колонны.
• Задача №153. Колонна (материал — сталь марки СтЗ) состоит из двух частей и нагружена силами, как показано на рис. 10.11, а. Сила . Предел текучести материала , модуль продольной упругости . Построить эпюру продольных сил и определить, с каким запасом прочности работает каждая часть колонны. Вычислить, па сколько опустится верхняя и средняя опорные плиты. Размеры колонны указаны па рисунке.
• Задача №154. Для заданного нагруженного стержня определить: допускаемую нагрузку.
• Задача №155. Найти наибольшее напряжение в сечении круглого бруса (рис. 10.13) и определить величину перемещения стального стержня переменного сечения, находящегося под действием продольной силы и собственного веса.
• Задача №156. Из условия прочности подобрать сечение стержня (рис. 2.14). Проверить прочность стержня.
• Задача № 157. (рис. 10.15, а). Для стержня , удерживающего в равновесии жесткую балку и выполненного из равнополочного уголка, подобрать размеры сечения и определить удлинение (укорочение) стержня. Для материала стержня (сталь СтЗ) принять допускаемые напряжения при растяжении = 160 МПа и при сжатии = 120 МПа и модуль продольной упругости = 200 ГПа.
• Задача №158. Жесткий брус (рис. 10.16, а), шарнирно закрепленный в точке , удерживается в равновесии с помощью стержней 1 и 2. В точке брус нагружен силой . Определить напряжения в поперечных сечениях обоих стержней, если , площади поперечных сечений соответственно.
• Задача №159. Абсолютно жесткий брус (рис. 10.17, а) опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням в точках и с помощью шарниров. Определить: а) нормальные силы, возникшие и стержнях; б) допускаемую нагрузку , приравняв большее из напряжений, возникшее в одном из стержней, допускаемому напряжению = 160 МПа.
• Задача №160. Проверить прочность тяг, поддерживающих весьма жесткую балку, изгибом которой можно пренебречь. Балка шарнирно укреплена в стене, как указано на рис. 10.18, а. Тяги одинакового поперечного сечения площадью выполнены из стали, допускаемое напряжение для которой задано.
• Задача №161. Абсолютно жесткий брус (рис. 10.19) опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров.
• Задача №162. Абсолютно жесткий брус (рис. 10.20) опирается на шарпирно неподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров.
• Задача №163. Для стального бруса, жестко заделанного двумя концами и нагруженного, как указано па рис. 10.21, необходимо определить из расчета на прочность требуемую площадь поперечного сечения.
• Задача №164. Рассчитать на прочность провод (рис. 10.23), у которого длина , полная площадь сечения , алюминиевая часть превосходит стальную в четыре раза; температура изменилась от до ; удельные приведенные нагрузки отличаются в 2,4 раза, рекомендуемый запас прочности.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Предмет прикладная механика
• Задачи прикладной механики
• Курсовые работы по прикладной механике
• Контрольная работа по прикладной механике
• Помощь по прикладной механике
• Заказать работу по прикладной механике

Примеры решения задач по всем темам прикладной механики

Прикладная механика изучает устройство и принцип действия различных механизмов и на основе фундаментальных закономерностей механики систематизирует особенности решения отраслевых задач.

Прикладная механика является комплексной дисциплиной. Она включает в себя в том или ином объеме основные положения традиционных курсов «Теория механизмов и машин», «Сопротивление материалов» и «Детали машин».

Тема: «Структура механизмов»

Пример решения задачи №1

По кинематической схеме механизмов упаковочной машины (рис. 1) определить степень ее подвижности.

Методические рекомендации по выполнению задания:

Изделию И сообщается последовательно горизонтальное и вертикальное перемещения. В состав машины входят три простейших механизма: кулисно-ползунный, зубчатая передача и кулачково-рычажный.

Точки звеньев всех трех механизмов совершают плоское движение, параллельное одной и той же плоскости, т.е. их можно рассматривать как плоские механизмы. Число степеней подвижности каждого из плоских механизмов системы можно определить по формуле Чебышева:

где — число подвижных звеньев;

— число одноподвижных кинематических пар; — число двухподвижных кинематических пар.

Для кулисно-ползунного механизма = 5 (кривошип 1, шатун 2, кулиса 3, шатун 4 и ползун 5); число одноподвижных кинематических пар

двухподвижных кинематических пар в кулисно-ползунном механизме нет, т.е. = 0.

Тогда по формуле получают: = 3- 5- 2- 7- 0 = 1, т.е. механизм обладает одной степенью подвижности. За начальное звено, которому приписывают обобщенную координату (pi, принимают кривошип /.

Рядовая зубчатая передача состоит из двух цилиндрических колес с неподвижными осями. Следовательно,

Этот механизм также имеет одну степень свободы. Зубчатое колесо 7 закреплено на валу кривошипа 1 и вращается вместе с ним.

Кулачково-рычажный механизм состоит из кулачка 9, ролика 10, толкателя 11, шатуна 12 и ползуна 13. Число подвижных звеньев =5. Число одно-подвижных кинематических пар = 6 и двух подвижных = 1. Степеней подвижности этого механизма

Одна подвижность местная (вращение ролика 10 относительно собственной оси); основная подвижность = 1 реализуется в кулачковом механизме вращением кулачка 9, соединенного жестко с зубчатым колесом

Тема: «Зубчатые механизмы, их типы и синтез»

Пример решения задачи №2

Определить коэффициент полезного действия двух соединенных механизмов, привода барабанов складского рольганга (рис.3), если их к.п.д. и заданы.

Методические рекомендации по выполнению задания:

Пусть работа движущих сил на валу рольгангов с учетом потерь в редукторе равна . Часть , этой работы идет на преодоление полезного сопротивления , а другая часть — на преодоление полезного сопротивления . Очевидно, что

Из выражений для отдельных КПД

можно написать

После подстановки получим

Рассмотрим частные случаи: 1. При

т.е. общий КПД равен каждому из частных значений. 2. При

т.е. общий КПД равен среднему арифметическому частных к.п. д.

Тема: «Растяжение-сжатие стержней при осевом нагружении»

Пример решения задачи №3

Для заданной схемы нагружения стержня, изображенной на рис. 5а), осевыми нагрузками проверить опасные сечения (участок) на прочность, если задано: величина нагрузки = 12,0 кН, площадь поперечного сечения участка стержня ; допускаемое напряжение = 170 МПа, модуль упругости при растяжении-сжатии МПа, длина участка стержня .

Методические указания к решению задания:

• разбиваем стержень на участки;
• применяем метод сечений для определения нормальных сил;
• определяем напряжения на каждом из участков стержня;
• находим опасное сечение стержня и проверяем его на прочность;
• определяем перемещения на каждом участке стержня;
• строим эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений стержня.

Данный алгоритм реализуем при решении задачи:

• В начале решения стержень разбиваем на участки. Это разделение проводится с учетом изменения нагрузки или площади поперечного сечения стержня при переходе от одного участка к другому.

Для данной на рис. 1а) схемы нагружения стержня разбиваем его на три участка: первый — ; второй — и третий — .

• Определяем нормальные силы (внутренние силовые факторы) на каждом из участков методом сечений. Для этого мысленно рассекаем стержень

плоскостью, перпендикулярной оси стержня, например I-I, на первом участке, отбрасываем одну из его частей и рассматриваем равновесие оставшейся части, проецируя все силы на вертикальную ось стержня. В нашем примере это нижняя часть стержня от точки до плоскости I-I.

Знак нормальной силы в сечении определяется так: если нагрузка на данном участке направлена от сечения, то нормальная сила положительна, т.е. на этом участке стержень растягивается; в противном случае нормальная сила отрицательна, а стержень — сжимается. В нашем примере, на первом участке нагрузка величиной 2 направлена от сечения I-I (рис.5а)), значит уравнение равновесия имеет вид:

отсюда нормальная сила

т.е. на этом участке стержня имеет место его растяжение.

Применяя метод сечений на других участках стержня, получим: — второй участок — растяжение;

• третий участок — растяжение.

• Напряжение на каждом участке определяем как отношение нормальной силы к площади поперечного сечения стержня:

• Определяем опасное сечение. Оно находится по наибольшей величине напряжения. В нашем примере это второй участок — , где каждое сечение является опасным, т.к.

Согласно условию прочности при растяжении- сжатии в нашем примере имеем:

Условие прочности выполняется.

• Для определения перемещений на каждом участке применяем закон Гука, который имеет вид:

где — нормальная сила на каждом -том участке; — длина каждого участка; — модуль упругости; -площадь поперечного сечения каждого участка. В нашем примере получим:

• По проведенным расчетам строим эпюры, нормальных сил, напряжений и перемещений по длине стержня. Построение проводится от вертикальной нулевой линии в соответствующем масштабе. Эпюры штрихуют перпендикулярно нулевой линии. При построении эпюры перемещений следует учесть, что в заделке, т.е. точке , перемещение равно нулю. Построение эпюры перемещения проводится от этой точки по участкам, применяя равенство:

где суммирование проводится, считая от точки вниз по каждому участку:

Построенные эпюры приведены на рис.1б,в,г).

Тема: «Сдвиг — срез. Расчеты на смятие»

Пример решения задачи №4

Определить, исходя из условий прочности на срез и смятие, необходимый диаметр болта в соединении , показанном на рис.3, если = 20мм; =12мм; допускаемые напряжения:

растягивающая сила = 120 кН. Болт установлен в отверстие без зазора.

Методические рекомендации по выполнению задания:

• составляем расчетную схему по условию задачи;
• из условия прочности определяем размеры соединения;
• проводим проверочный расчет на смятие.

Данный алгоритм применяем при решении задачи:

По условию прочности на срез:

откуда диаметр болта

Округляем диаметр болта до ближайшего стандартного значения. Согласно данным задачи , поэтому опасной в отношении смятия является внутренняя деталь площади смятия .

• Выполняем проверочный расчет соединения на смятие. Находим площадь поверхности смятия

или

откуда

Из двух значений диаметра , найденных по условиям прочности на срез и смятие, следует принять большее, т. е. мм. Согласно стандарту это болт с диаметром не нарезанной части 28 мм и резьбой М27.

Тема: «Кручение валов круглого сечения»

Пример решения задачи №5

Для заданной схемы нагружения вала (рис.8):

• построить эпюры крутящих моментов;
• найти опасное сечение;
• определить диаметр вала из условия прочности;
• определить углы закручивания;

Методические указания к решению задания:

• разбиваем вал на участки;
• применяем метод сечений на каждом из участков вала для определения крутящих моментов;
• определяем опасное сечение вала;
• находим из условия прочности вала его диаметр;
• определяем углы закручивания на участках вала;
• строим эпюры крутящих моментов и углов закручивания вала.

Данный алгоритм реализуем при решение задачи:

1. Разбиваем вал на участки, учитывая изменение нагрузки на каждом из них: первый —, второй — и третий .
2. При кручении в поперечном сечении вала возникает внутренний силовой фактор — крутящий момент, который необходимо найти. Для этого применяется метод сечений. Рассмотрим первый участок . Проводим сечение 1-1 и из условия равновесия отсеченной части определяем крутящий момент в этом сечение. Правило знаков крутящих моментов следующее: если при взгляде со стороны сечения направление крутящего момента против хода

часовой стрелки, то он считается положительным; в противном случае знак момента отрицательный. Таким образом, на первом участке, в сечении 1-1, имеем крутящий момент:

Проводим на втором участке — сечение 2-2 и определяем крутящий момент в данном сечение:

Аналогично определяем крутящий момент на третьем участке — в сечение 3-3:

Определяем опасное сечение вала. Вал является гладким, т.е. имеет постоянное поперечное сечение, поэтому опасным является сечение участка с наибольшим крутящим моментом, значит это все сечения участка 2, где

1. Находим диаметр вала из условия прочности при кручении:

отсюда полярный момент сопротивления

Известно, что для вала, т.е. бруса круглого сечения, работающего на кручение, полярный момент сопротивления зависит от диаметра вала по выражению:

Отсюда находим формулу для диаметра вала и рассчитываем его величину:

Принимаем диаметр вала равным 190 мм.

1. Определяем углы закручивания на участках вала по выражению:

где — крутящий момент на — том участке вала; — длина участка вала; -полярный момент инерции участка вала, который является геометрической характеристикой поперечного сечения вала и определяется по формуле:

произведение модуля сдвига на полярный момент сопротивления называется жесткостью вала при кручении. Она определяется и вычисляется так:

Подставляя значения величин в (1), определяем углы закручивания на участках вала:

• на третьем участке:

• на втором участке:

• на первом участке:

1. По расчетным данным строим эпюры крутящих моментов и углов закручивания на рис. 8. Построение эпюры углов закручивания а начинаем от заделки, считая в ней угол закручивания равным нулю, далее углы суммируются с их значениями на предыдущих участках. Таким образом, должны выполняться равенства:

Тема: «Плоский изгиб балок»

Пример решения задачи №6

Для заданной схемы нагружения балки (рис. 10) определить из условия прочности размеры сечения прямоугольной формы, если дано:

ширина сечения ( ) в два раза меньше его высоты , допускаемое нормальное напряжение =120 МПа.

Методические указания к решению задания:

• составляем расчетную схему балки;
• определяем реакции опор балки;
• разбиваем балку на участки;
• применяем метод сечений на каждом из участков балки для определения поперечных сил и изгибающих моментов;
• определяем опасное сечение балки;
• находим из условия прочности балки размеры ее сечения;
• строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Данный алгоритм реализуем при решении задачи:

1. Для составления расчетной схемы балки необходимо выполнить ряд построений (рис.66). Начало плоской прямоугольной системы координат совместим с точкой , ось абсцисс проведем по оси балки, а ось ординат из точки вертикально вверх. Освобождаемся от связей шарнирах и заменяем их реакциями , направленными вверх. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью , заменяем сосредоточенной нагрузкой величины , приложенную к балке в середине отрезка и направим вектор этой нагрузки против оси ординат — вниз.

1. Определяем опорные реакции. С этой целью удобно составить два уравнения моментов всех сил, действующих на балку, относительно точек и приложения неизвестных реакций:

отсюда

вычисляя, получим:

отсюда

вычисляя, получим:

Проверка:

подставляя данные, получим:

значит реакции опор найдены правильно.

1. Разбиваем балку на два участка и . Определяем поперечные силы и изгибающие моменты на каждом участке. Для этого применяем метод сечений:

Поскольку поперечная сила на данном участке изменяет свой знак с плюса на минус, т.е. проходит через нуль, то согласно соотношению:

изгибающий момент должен иметь максимум в этом сечение. Определим координату «» при которой В этом случае, выражение поперечной силы должно быть равно нулю:

отсюда

Тогда

1. Определяем опасное сечение. С этой целью строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 6в) и рис 6 г)). Опасным является сечение балки в точке , где, изгибающий момент максимальный:

1. Размеры сечения балки определяем из условия прочности:

где — максимальное нормальное напряжение в опасном сечение балки; — осевой момент сопротивления сечения балки для заданного прямоугольного сечения балки:

выражая из условия прочности осевой момент сопротивления, получим:

С учетом заданного соотношения высоты и ширины сечения из последнего неравенства можно выразить ширину прямоугольного сечения балки:

подставляя данные и округляя до стандартного значения, получим ширину сечения:

отсюда высота

Тема: «Расчет сварных соединений»

Пример решения задачи №7

Рассчитать кронштейн и сварное соединение (см. рис.13) при

нагрузка статическая, толщина листа =12 мм, материал листа — сталь СтЗ ( = 220 МПа), сварка ручная электродом.

Методические рекомендации по выполнению задания:

Расчетная схема приведена на рис.1 с указанием нагрузки и возникающих в соединении напряжений.

Учитывая только основную нагрузку , получаем выражение момента сопротивления изгибу

или

С учетом нагрузки принимаем = 165 мм. Проверяем прочность при суммарной нагрузке:

При этом, согласно табл. 1 в приложении, принимаем

из этого равенства найдем = 35 мм. Пусть = 40 мм ( исполнительный размер с учетом неполноценности шва на концах = 50…60 мм ).

• Проверяем прочность швов по суммарной нагрузке, используя формулу суммарного максимального напряжения:

Напряжение от нагрузки определяем по формуле:

уточняем величину напряжения от нагрузки согласно выражению (1):

подставляя значения напряжений от силы и момента в формулу (2) получим:

Отмечаем, что по условию равнопрочности детали и соединения при действии изгибающей нагрузки как основной требуемая длина фланговых швов невелика и составляет около 0,25 , т.е. длины лобового шва.

Тема: «Расчет резьбовых соединений»

Пример решения задачи №8

Определить силу , которую необходимо приложить к стандартному ключу при завинчивании гайки до появления в стержне болта напряжений, равных пределу текучести = 200 МПа (сталь 10). Определить также напряжения смятия и среза в резьбе. Расчет выполнить для болтов М6 и М24 и сравнить полученные результаты. Длину ручки стандартного ключа в среднем принять , коэффициент трения в резьбе и на торце гайки .

Методические рекомендации к решению задачи:

• составить расчетную схему с указанием нагрузки и напряжений, возникающих в соединении;
• собрать данные по параметрам рассчитываемых резьб;
• определить нагрузку, возникающую при затяжке болта гаечным ключом;
• вычислить напряжения, действующие в резьбе под влиянием нагрузки;
• сравнить результаты расчетов для болтов с разным диаметром резьбы.

Данный алгоритм реализуем в решении задачи.

1. Расчетная схема соединения приведена на рис.2. При затяжке ключом резьбы болта и отсутствии внешней нагрузки, например для крепления герметичных крышек корпусов пищевых машин, стержень болта растягивается осевой силой и закручивается моментом сил в резьбе . В результате возникает сложное напряженное состояние резьбы, которая подвергается воздействию нормальных напряжений смятия и касательных среза.
2. Используя таблицы стандартов, находим необходимые для расчетов размеры (табл.1).

• Под влиянием нагрузки в резьбе возникает сложное напряженное состояние, и прочность болта определяют по эквивалентному напряжению, которое рассчитывают по формуле

Из этой формулы выражаем силу затяжки , при которой эквивалентное напряжение в стержне болта равно по условию , тогда для болта М6 имеем:

• Момент завинчивания определяем по формуле

Здесь принято, что диаметр отверстия в соединяемых деталях

средний диаметр торца гайки определен по формуле

приведенный коэффициент трения в резьбе выражен через действительный коэффициент трения в резьбе по формуле

угол , т.е. половине угла профиля резьбы для метрических резьб; угол трения в резьбе

1. Силу , приложенную к ключу с длиной рукоятки , определяем по формуле (выигрыш в силе раза).
2. Напряжения в резьбе при вычисляем по формулам:

• напряжение смятия

• напряжение среза

Здесь принято, что коэффициент полноты резьбы для треугольных резьб; коэффициент неравномерности нагрузки по виткам резьбы . Результаты расчетов для болтов М6 и М24 приведены в табл.2.

Сравнение результатов расчетов позволяет отметить, что резьбу болтов малого диаметра, например М6, можно легко разрушить, т.к. человек может приложить к ключу силу до 200 Н, а нагрузочная способность болта большого диаметра, например М24, трудно использовать полностью. Напряжения смятия в резьбе меньше, чем напряжения среза.

Тема: «Расчет валов на выносливость»

Пример решения задачи №9

Выполнить проверочный расчет вала и его опор (см. рис. 15): = 645 Н-М; , ширина шестерни — 100 мм, ее диаметр ( = 40; = 5); ; на выходном конце вала установлена упругая пальцевая муфта; материал вала — сталь 45, улучшенная,

Срок службы длительный, нагрузка близка к постоянной, допускается двухкратная кратковременная перегрузка.

Методические рекомендации по выполнению:

• провести анализ конструкции вала;
• выполнить силовой расчет зацепления;
• составить расчетную схему вала;
• определить реакции опор и построить эпюры изгибающих и крутящих моментов;
• определить запасы прочности в опасных сечения вала;
• проверить статическую прочность вала при перегрузках.

Данный алгоритм реализуем в следующем решении задачи:

В результате проектного расчета вала разработана его конструкция и оценены размеры: диаметр в месте посадки шестерни ; диаметр в месте посадки подшипников ; диаметр в месте посадки муфты

Определяем допускаемую радиальную нагрузку на выходном конце вала, полагая, что редуктор может быть использован как редуктор общего назначения:

Вычисляем силы в зацеплении по формулам:

• окружная

• осевая

• радиальная

1. Составляем расчетную схему вала (см. рис. 4). Учитывая наклон зуба шестерни и направление момента , левую опору заменяем шарнирно- неподвижной, а правую — шарнирно-подвижной опорами. Расчетные нагрузки считаем сосредоточенными. Вал нагружен силами: окружной, осевой и радиальной, которые прикладываем на расстоянии радиуса делительной окружности шестерни . Вал также нагружен крутящим моментом на полумуфте . Направление окружной силы на полумуфте выбирают так, чтобы она увеличивала напряжения и деформации от окружной силы (худший случай).

На рис. 46, г силы в зацеплении приведены к оси вала и изображены раздельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. При этом возникают пары сил, равные и момент .

Сумма моментов относительно левой опоры

При этом

Реакции от сил и , действующих в горизонтальной плоскости

• Определяем запасы сопротивления усталости в опасных сечениях по формулам:

• при совместном действии напряжений кручения и изгиба запас сопротивления усталости выражается равенством:

где — запас сопротивления усталости только изгибу;

— запас сопротивления усталости только кручению.

В этих формулах и — амплитуды переменных составляющих циклов напряжений, а и постоянные составляющие. Принимаем циклы напряжений симметричный для изгиба и от нулевой для кручения. Согласно этому условию:

и — коэффициенты, корректирующие влияние постоянной составляющей цикла напряжения на сопротивление усталости (см. табл. 2 в приложение);

и — пределы выносливости, определяемые по формулам:

и — масштабный фактор и фактор шероховатости поверхности (см. табл. 3 и 4 в приложение);

и — эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (см. табл. 5 в приложении).

Просчитываем два предполагаемых опасных сечения (см. рис. 4,а): сечение I-I под шестерней, ослабленное шпоночным пазом, в сечение IX—II рядом с подшипником, ослабленное галтелью. Для первого сечения изгибающий момент

Крутящий момент

Напряжение изгиба

Напряжение кручения

По формулам (6) вычисляем пределы выносливости

По табл. 5 в приложении для шпоночного паза

По табл. 3 и 4 в приложении для шлифованного вала

По формулам (4) с учетом (5), принимая по табл. 2 в приложении находим:

По формуле (3),

Для второго сечения изгибающий момент

Принимая галтели равным 2 мм; и находим (см. табл. 5 в приложении):

Больше нагружено второе сечение.

Проверяем статическую прочность при перегрузках по формуле

где и — определяют по формулам (5) как для амплитудных переменных нормальных и касательных напряжений в опасном сечении; — предельно допускаемое напряжение близко к пределу текучести .

При перегрузках напряжения удваиваются, тогда для более нагруженного второго сечения

Статическая прочность при перегрузках обеспечена.

Тема: «Выбор муфт»

Пример решения задачи №10

Выбрать муфту для соединения вала ротора электродвигателя и ведущего вала редуктора. Известна величина крутящего момента на валу ротора электродвигателя: , угловая скорость вала , диаметр ротора может быть 42 или 48 мм. Муфта является узлом привода ленточного конвейера.

Методические рекомендации по решению задачи:

• проводим анализ условия задачи или схему привода для установления необходимого типа выбираемой муфты;
• определяем расчетный момент муфты;
• сравниваем расчетный момент с номинальным вращательным моментом, который установлен стандартом и выбираем типоразмер муфты;
• проводим проверочный расчет выбранной муфты.

Данный алгоритм выбора муфты реализуем, решая выше приведенную задачу:

1. В проектируемых студентами приводах технологических машин обычно применяют компенсирующие разъемные муфты нерасцепляемого класса стандартного исполнения.

Для соединения выходных концов ротора двигателя и входного быстроходного вала редуктора, установленных, как правило, на общей раме, применяют упругие втулочно-пальцевые муфты и муфты со звездочкой. Эти муфты обладают достаточными упругими свойствами и малым моментом инерции для уменьшения пусковых нагрузок на соединяемые валы.

Для соединения выходных концов тихоходного вала редуктора и приводного вала рабочей машины применяют цепные муфты и муфты с торообраз-ной оболочкой. Эти муфты обладают достаточной податливостью, позволяющей компенсировать значительную несоосность валов (см. рис. 7 и табл. 8 в приложении).

В рассматриваемой задаче для соединения вала ротора электродвигателя и быстроходного вала редуктора выбираем муфту упругую втулочно-пальцевую (МУВП).

1. Определяем расчетный вращающий момент по формуле

где — коэффициент режима нагрузки, определяемый по табл. 6 в приложении; — номинальный момент, Н • м. Подставляя данные получим:

Согласно ГОСТ 21425-93 (см. табл. 6 в приложении) выбираем муфту МУВП с номинальным моментом

и диаметром под валы 42 мм. Если диаметр вала электродвигателя равен 48 мм, то выбираем из той же таблицы муфту МУВП с номинальным моментом

Проверочный расчет муфты проводится по напряжениям смятия

где и — диаметр и длина полумуфты под вал, мм; — число упругих элементов; — наружный диаметр полумуфты, мм. Для выбранной полумуфты по табл. 6 в приложении имеем:

Подставляя значения в (7) вычисляем напряжение

Величина допускаемого напряжения = 1,5…2 МПа [2], таким образом, прочность муфты обеспечена.